2.4 Compléments sur l’étude 2D
3.1.2 Modèle de comportement monocristallin
Ces coefficients sont donnés par Huntington [25] et répertoriés dans le tableau 3.1, il n’est donc pas nécessaire de les identifier.
3.1.2 Modèle de comportement monocristallin
Le comportement plastique de chaque grain est régi par le modèle de monocristal de Méric– Cailletaud [86] présenté en détail dans la section 1.3.1. Nous nous contentons de rappeler les équations de comportement du modèle. La surface de charge, basée sur la cission résolue τs est calculée pour chaque système s à partir du tenseur de contraintes σ∼ et du tenseur d’orientation
m∼s. L’expression du taux de glissement plastique de chaque système fait intervenir une loi d’écoulement viscoplastique de type Norton et comporte un terme d’écrouissage isotrope rs et
un terme d’écrouissage cinématique xs. ˙ε ∼ p =X s ˙γsm ∼ s (3.2) τs= σ∼ : m∼ s (3.3) m∼s= 1 2 ls⊗ ns+ ns⊗ ls (3.4) ˙γs= vssign(τs− xs) ˙vs (3.5) ˙vs= |τs− xs| − τ0− rs K n avec hxi = ( x si x ≥ 0 0 si x < 0 (3.6) ˙γs= sign(τs− xs) ˙vs (3.7)
Les lois d’évolutions des écrouissages sont non linéaires à saturation et font intervenir la matrice d’interaction h : xs= cαs (3.8) ˙αs= ˙γs − dαs˙vs (3.9) rs= bQX r hsrρr (3.10) ˙ρs = (1 − bρs) ˙vs (3.11)
Les équations (3.10) et (3.11) peuvent se rassembler en une seule : rs= QX r hsr 1 − e−bvr (3.12)
Comme mentionné précédemment, l’acier 316L est constitué de grains austénitiques dont le réseau cristallin est de type CFC. Les systèmes de glissement associés correspondent aux plans et directions atomiques les plus denses. Ici, il s’agit des systèmes de glissement octaédriques, caractérisés par les plans de type {111} et les directions de type h110i. Ces systèmes, illustrés par la figure 1.12b (cf. section1.2.2), sont listés selon la numérotation dans le code Zebulon et la notation de Boas dans le tableau1.1.
La matrice d’interaction h, proposée par Franciosi [26, 152], pour le réseau CFC fait in- tervenir 6 coefficients, qui sont décrits plus précisément dans [153]. Une brève description de chaque type d’interaction est donnée en se basant sur le système no1 (B4 en notation de Boas,
cf. tableau 1.1), le nombre entre parenthèses correspond au nombre d’interactions de ce type pour un seul système :
h1 : Auto-écrouissage (1 système : B4)
Ce coefficient représente l’auto-écrouissage des systèmes de glissement sur eux-mêmes. On parle aussi d’interaction dipolaire.
h2 : Interaction coplanaire (2 systèmes : B2 et B5)
Il s’agit des interactions entre systèmes de même plan. h3 : Jonction de Hirth (2 systèmes : C3 et B3)
Cela représente l’interaction entre les systèmes dont les vecteurs de Burgers (i.e. les di- rections de glissement) sont orthogonaux.
h4 : Interaction colinéaire (un système : D4)
Interaction entre un système de glissement et son système dévié, i.e. de même direction mais de plan différent.
Identification par Dynamique Discrète des Dislocations
Auteur Année a1 a2 a3 a4 a5 a6 Matériau
Madec [107] 2003 0,051 1.265 0,075 0,084
Devincre [156] 2006 0,045 0,625 0,137 0,122 Cuivre Monnet [154] 2009 0,124 0,124 0,07 0,625 0,137 0,122 Acier 316L Identification par méthode inverse sur le modèle physique de Tabourot [80]
Auteur Année a1 a2 a3 a4 a5 a6 Données
Gérard [20] 2008 0,025 0,01 0,04 14,3 0,6 0,5 Polycristaux de cuivre Identification par méthode inverse sur le modèle phénoménologique de Méric–Cailletaud [86]
Auteur Année h1 h2 h3 h4 h5 h6 Données
Méric [157] 1994 1 4,4 4,75 4,75 4,75 5 Monocristaux de cuivre
Gérard [20] 2008 1 1 0,2 90 3 2,5 Polycristaux de cuivre
Tab. 3.2 – Récapitulatif des résultats de plusieurs études numériques visant à déterminer les coefficients de la matrice d’interaction a ou h pour le réseau CFC.
h5 : Jonction glissile (4 systèmes : A2, C5, D1 et D6)
Il s’agit des systèmes partagent le même plan de glissement que le système dévié du système en question et des systèmes déviés des systèmes coplanaires.
h6 : Verrous de Lomer (2 systèmes : A6 et C1)
Les systèmes faisant intervenir ce type d’interaction ont leur système dévié dans le même plan de glissement.
La forme de la matrice d’interaction des réseaux cristallins de type CFC est décrite dans le tableau 3.3. L’identification des coefficients hi a fait l’objet de récents travaux numériques. D’une part avec une approche physique, en passant par la Dynamique Discrète des Disloca- tions [109,154], d’autre part avec une approche plus phénoménologique, alliant calculs d’agré- gats et modèles d’homogénéisation [20,155]. Les résultats de ces études sont répertoriés dans le tableau3.2. Étant donné que les modèles utilisés diffèrent pour chacune de ces études, il n’y a pas d’analogie directe entre les coefficients hi et ai. Les modèles physiques font appel à une loi d’écrouissage de forme quadratique proposée par Franciosi et al. [152]. L’évolution de la cission critique est définie comme suit :
τsr c = αµb
sX p
asrρr (3.13)
où µ est le module de cisaillement, b la norme du vecteur de Burgers et α un paramètre adi- mensionnel. On déduit de cette équation que hi est proportionnel à a2
i.
On peut souligner les difficultés rencontrées pour identifier ces coefficients tant par les mé- thodes expérimentales que numériques. Les valeurs identifiées restent donc critiquables. Les conclusions principales de ces travaux permettent plus particulièrement de classer l’importance de chaque type d’interaction dans le phénomène d’écrouissage du matériau. Notamment, le rôle des interactions de type colinéaire a été caractérisé comme prépondérant [20,154].
Étudier l’influence de cette matrice ne fait pas partie de nos objectifs. La plupart des études numériques réalisées sur les polycristaux l’ont considérée soit diagonale soit pleine [80]. Nous
Système A2 A3 A6 B2 B4 B5 C1 C3 C5 D1 D4 D6 ns/ls A2 h1 h2 h2 h4 h5 h5 h3 h5 h6 h3 h6 h5 (111)[011] A3 h1 h2 h5 h3 h6 h5 h4 h5 h6 h3 h5 (111)[101] A6 h1 h5 h6 h3 h6 h5 h3 h5 h5 h4 (111)[110] B2 h1 h2 h2 h3 h6 h5 h3 h5 h6 (111)[011] B4 h1 h2 h6 h3 h5 h5 h4 h5 (111)[101] B5 h1 h5 h5 h4 h6 h5 h3 (111)[110] C1 h1 h2 h2 h4 h5 h5 (111)[011] C3 h1 h2 h5 h3 h6 (111)[101] C5 sym h1 h5 h6 h3 (111)[110] D1 h1 h2 h2 (111)[011] D4 h1 h2 (111)[101] D6 h1 (111)[110]
Tab. 3.3 – Matrice d’interaction pour les réseaux cristallins de type CFC [26]. Coefficient h1 h2 h3 h4 h5 h6
Valeur 1 1 0,6 12,3 1,6 1,3
Tab. 3.4 – Valeurs choisies pour les coefficients de la matrice d’interaction.
nous contentons de travailler avec un jeu de coefficients « consensuel ». Il a donc été choisi ici de définir les coefficients hi comme un « compromis » entre les résultats découlant des études citées précédemment. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau 3.4.
La loi explicitée dans cette section décrit le comportement local d’un monocristal, qui est fortement anisotrope. Pour l’identifier directement, il faudrait disposer de résultats d’essais sur des monocristaux. Les données expérimentales proviennent d’essais réalisés à l’échelle macro- scopique sur le matériau polycristallin lors de campagnes d’essais effectués par EDF sur le 316L [158]. Le comportement macroscopique du 316L est très proche d’un matériau isotrope. Il faut donc identifier les paramètres de la loi de comportement sur un Volume Élémentaire Représentatif (VER). Pour cela, il faut réaliser une transition d’échelle entre le comportement d’un grain isolé (monocristal anisotrope) et le VER (polycristal isotrope).