6.1 Modèle autocohérent (micro/macro)

Les principaux modèles autocohérents sont ceux proposés par Patoor [60], Gao [61], Sun [62] et Lim [63] qui a utilisé le modèle de Patoor [60] pour simuler des chargements multiaxials. Ce modèle a été utilisé également par Arbab Chirani [64] pour déterminer la surface de charge de début de transformation dans un AMF Cu-Zn-Al. Bouvet [65] a repris le modèle de Lexcellent [66] afin de déterminer la surface de charge de début de transformation de l’AMF Cu-Al-Be sous chargement uniaxial et/ou multiaxial. Qualitativement, les résultats de ce modèle sont en bon accord avec les résultats expérimentaux [65]. Le modèle autocohérent qui nous intéresse ici est celui développé par Entemeyer [7] et appliqué à des

AMF à base de cuivre. Ce modèle est bien adapté aux matériaux massifs et il fournit des informations à une échelle très comparable à celle accessible par les expériences réalisées au cours de cette étude.

Entemeyer [7] a modélisé le comportement thermomécanique lors d’essai superélastique ou de fluage anisotherme des AMF à base de cuivre et en particulier les Cu-Al- Be et Cu-Zn-Al. Ses travaux ont montré qu’une variante (n) ne peut être activée que lorsque sa contrainte résolue atteint une valeur critique, dépendante de la température et de la fraction volumique des autres variantes déjà formées. Ils ont montré que dans le cas du monocristal, le début de la transformation n’est fonction que du mode de sollicitation, mais la fin de la transformation est fortement dépendante de l’état microstructural. Dans un monocristal l’évolution de la fraction volumique d’une variante (n) est donnée par :

[ ]

H

(

d

BdT)

df

m

n

=Σ

ε

Σ

−

B : constante du matériau,

εijn : déformation de transformation associé à la variante n,

Σij : tenseur de contrainte appliqué sur le cristal,

T : température,

Hnm : matrice d’interaction (24x24). Cette matrice tient compte des interactions entre les variantes.

Deux modes d’interactions sont distingués, ils correspondent aux interactions entre variantes auto-accommodantes et aux interactions entre variantes incompatibles. L’équation (I-3) montre que la progression d’une variante dépend non seulement de la contrainte appliquée mais aussi de la présence d’autres variantes. La matrice d’interaction Hnm influe sur la progression des variantes en privilégiant certaines variantes au détriment des autres.

Pour modéliser le comportement du polycristal il faut prendre en compte la texture cristallographique donnée par les orientations cristallographiques de chaque grain du polycristal par rapport au repère de l’éprouvette.

Entemeyer [7] a utilisé le modèle autocohérent pour simuler le comportement des AMF de type Cu-Zn-Al, les deux phases (austénite et martensite) sont supposées élastiquement isotropes et identiques.

Les travaux d’Entemeyer [7] ont montré que l’orientation cristallographique des grains est un facteur déterminant dans leur comportement. L’initiation de la transformation dans l’éprouvette est caractérisée par la coexistence des grains plus au moins transformés avec des grains qui ne se déforment qu’élastiquement. On observe alors une forte hétérogénéité de la contrainte interne des différents grains. Entemeyer [7] a défini la contrainte interne dans la direction de traction dans les grains (σint_{) par :}

σint _{= σ}

11 - Σ11 (I-4)

Avec :

σ11 : la contrainte dans le grain dans la direction de traction

Σ11 : la contrainte macroscopique

Selon leur orientation, Entemeyer [7] classe les grains en trois catégories ;

a) les grains qui ont une orientation proche de [111], sont des grains mal orientés par rapport à la direction de traction. Ces grains développent une contrainte interne de traction très importante (σint _{> 150MPa). Ils se transforment peu en début de}

chargement puis cette tendance s’inverse et ils sont les premiers à être transformer complètement en martensite, mais pour des niveaux de contraintes très élevés. Le départ tardif de la transformation est dû à la mauvaise orientation de ces grains, mais la forte contrainte interne provoque une transformation rapide une fois que cette dernière s’amorce. Cette contrainte interne augmente de façon importante suite aux interactions avec les autres grains qui continuent de se transformer et de se déformer, b) les grains qui ont une orientation proche de [001], sont des grains bien orientés par

rapport à la direction de traction. Ils se transforment rapidement mais la fraction de martensite formée sature à 60% en fin de chargement pour une fraction globale de 75%, par exemple. L’interaction avec le milieu environnant (les grains peu transformés) bloque leur transformation et ces grains développent une contrainte interne de compression très importante (σint _{< -200MPa),}

c) les grains qui ont une orientation intermédiaire ont des comportements très différents les uns par rapport aux autres. Leur comportement et leur transformation sont intermédiaires aux deux cas précédents. En général, de nombreuses variantes sont activées dans ces grains.

Au niveau de l’évolution microstructurale dans les grains, le modèle proposé par Entemeyer [7] prédit une transformation de l’éprouvette en trois étapes :

a) Initiation de la transformation : une première étape au cours de laquelle tous les grains s’activent, la déformation de transformation générée reste faible, environ 0,4%,

b) Transformation homogène : tous les grains sont actifs et les variantes apparues lors de la phase (a) croissent sans apparition de nouvelles variantes,

c) Durcissement : le nombre de grains actifs diminue, quelque grains ne sont plus actifs parce qu’ils sont entièrement martensitique.

Ce modèle prédit également que le nombre de variantes actives par grain est faible. Cet effet est lié directement au pouvoir d’orientation de la contrainte macroscopique qui privilégie les variantes les mieux orientées. Pour une fraction globale de martensite de 75%, aucun grain n’a produit plus de six variantes. Entre 2% et 3% de déformation de transformation (des valeurs comparables à celle des essais expérimentaux) le nombre de variantes actives par grain est moins de trois variantes. On note que ce modèle suppose que le comportement élastique de grain est isotrope est homogène. Cette hypothèse sera vérifiée et comparée avec les résultats expérimentaux.