PARTIE III – Analyse locale du comportement hygromécanique intra-cerne par
Chapitre 5 Analyse d’essais hygromécaniques du bois sous microtomographie aux rayons X par
3. Corrélation d’images volumiques
3.2. Mise en place d’un protocole de DVC adapté au matériau bois
3.2.1. Critères sur le coefficient de corrélation
Une procédure classique de DVC locale consiste à quantifier localement la pertinence du positionnement d’un point en définissant une valeur seuil du coefficient de corrélation, appelée critère de corrélation (crit), définie globalement. Les points dont le coefficient de corrélation est supérieur au critère sont considérés comme non pertinents et exclus (5.17). Cela se produit par exemple lorsqu’un point de corrélation est mal positionné, ou lorsque le contraste local est de moins bonne qualité ou a évolué entre les deux images. Un repositionnement manuel de ces points peut être réalisé par l’opérateur mais s’avère très fastidieux et peut conduire à des erreurs « humaines ». Pour une procédure automatisée, ces points peuvent être extrapolés à partir des points acceptés, appelés points supports.
{
si C(X) < crit (point accepté)
si C(X) > crit (point exclu) (5.17)
Le choix du critère joue un rôle primordial dans la pertinence des mesures de DVC. S’il est trop faible, seuls quelques points sont acceptés ce qui ne permet pas de fournir une mesure locale du déplacement. Si le critère est trop élevé, des points aberrants risquent d’être pris en compte. Dans le cas des images de taille de voxel 8 µm du bois, ce choix est particulièrement délicat. En effet, le contraste de l’image évolue selon la direction radiale du fait du changement progressif de microstructure du bois initial vers le bois final comme montré sur la Figure 5.6. Un critère constant sur toute l’image n’est donc pas approprié. L’objectif est donc de mettre en place un critère local du coefficient de corrélation adapté au contraste local de l’image.
3.2.2. Définition d’un critère local
L’expression C3 du coefficient de corrélation est utilisée dans ce travail. Elle peut être mise sous la
forme suivante, comme démontré dans l’Annexe B :
C3= min b,c ∫ (f(𝑥) – c.g[φ 0→h(𝑥)] – b)2d𝑥 D ∫ (f(𝑥) – f̅)D 2d𝑥 (5.18)
L’écart-type des niveaux de gris dans la fenêtre de corrélation de l’image de référence σf est
introduit : σf =√ 1 n∫ (f(𝑥) – f̅) 2 d𝑥 D (5.19)
avec n le nombre de voxels dans D. D’où : C3= min b,c ∫ (f(𝑥) – c.g[φ 0→h(𝑥)] – b)2d𝑥 D nσf2 (5.20)
Si l’appariement entre les deux images est parfait, le numérateur de cette expression de C3 est relié
directement au bruit de l’image de référence σima, comme démontré dans l’Annexe B. Le coefficient de
corrélation dans cette condition idéale est appelé Cidéal. Finalement, en faisant l’hypothèse que le bruit
est Poissonnien, le carré de l’écart-type du bruit devient alors proportionnel à la moyenne des niveaux de gris dans la fenêtre de corrélation de l’image de référence µf (Annexe B). Ainsi, le coefficient de
corrélation idéal est relié à la moyenne et à l’écart-type des niveaux de gris dans la fenêtre de corrélation par :
Cidéal ∝
µf
σf2 (5.21)
L’hypothèse que le bruit de nos images de microtomographie aux rayons X est Poissonnien n’a pas été vérifiée au cours de ce travail mais il serait intéressant, en perspective, de s’assurer la validité de cette hypothèse. Cependant, il a été constaté que cette hypothèse permettait d’obtenir une expression de Cideal proportionnelle à µf/σf2, comme montré par la suite.
Cidéal est donc une estimation de ce que le coefficient de corrélation doit valoir au point Xk en cas
de bon appariement et il peut être calculé uniquement à partir des niveaux de gris situés dans la fenêtre de corrélation au point 𝑥k de l’image de référence. Ce coefficient peut être utilisé comme
critère local.
La corrélation entre C et Cidéal est illustrée dans la Figure 5.12a dans le cas d’une DVC effectuée entre
deux images de l’échantillon C1 équilibré à 44% HR, avec une différence de taille de voxel entre les deux images acquises successivement induisant une déformation homogène apparente de 1,00%. Cette figure met en évidence la relation entre Cidéal et C dont la régression linéaire a pour équation :
Cidéal = αC + β (5.22)
Cette relation est sensible à différents paramètres, en particulier la rotation entre deux configurations car la fonction de forme utilisée dans cette étude est un polynôme d’ordre 0. La
de rotation entre les configurations de référence et déformée, appliquée lors de la reconstruction de l’image (rotation virtuelle) (paramètres de corrélation décrits dans le paragraphe 3.3.2. ). La sensibilité est particulièrement prononcée dans ce cas car les fenêtres ont un rapport d’aspect élevé. Ainsi, les paramètres α et β doivent être systématiquement adaptés pour chaque analyse, et la rotation doit être minimisée.
La présence de points situés dans la partie inférieure droite du graphique et éloignés du nuage de points principal montre que ces points sont mal positionnés (points faux) ou que le contraste local au voisinage de ces points a fortement évolué entre l’acquisition des deux images. La Figure 5.12c représente le nuage de points en présence d’une rotation de 1,5° où des points faux sont présents et illustre la mise en évidence de points faux.
a b
c
Figure 5.12 – Relation entre le coefficient de corrélation idéal µ/σ² et le coefficient de corrélation mesuré par DVC. Cas de l’échantillon C1 avec des fenêtres de corrélation de 20x20x100 voxels3. (a) Relation pour une rotation nulle. (b) Evolution
de la relation avec l’angle de rotation. (c) Relation pour une rotation de 1,5° montrant la présence de points faux.
3.2.3. Discrimination des points de corrélation
Compte tenu de la forte dispersion de la relation Cidéal = f(C), il est proposé d’effectuer le tri des
points de corrélation par une approche statistique. La méthode de tri choisie raisonne en termes de proportion de points supports fps situés au-dessus de la droite Cidéal = αC + β. En pratique, cela revient
à ne retenir que les points dans la partie supérieure gauche du nuage de points, c’est-à-dire ceux ayant le meilleur coefficient de corrélation réel lorsqu’il est comparé au coefficient de corrélation idéal. La discrimination des points suit donc maintenant la règle suivante :
{ si C(X) < Cidéal(X) - β α (point accepté) si C(X) > Cidéal(X) - β α (point exclu) (5.23)
α est obtenu par régression linéaire sur l’ensemble des points de corrélation en considérant que les points faux influent peu sur sa valeur du fait de leur faible proportion par rapport aux points pertinents. α permet ainsi de décrire la relation moyenne entre Cidéal et C. Il a été choisi de garder la valeur de α
constante et d’ajuster la proportion de points supports uniquement en faisant varier β. La fonction de répartition de β pour α fixé sur l’ensemble des points de corrélation est construite. A partir de cette fonction, la valeur de β correspondant au seuil de points supports choisi est déterminée. Le seuil de points supports est choisi au moyen d’une analyse d’erreurs décrite dans la dernière partie de ce chapitre.
Une autre méthode de tri aurait pu être utilisée mais celle-ci a permis une mise en place rapide et l’obtention de résultats satisfaisants.
3.2.4. Intégration du critère local dans la procédure de DVC
Afin d’alléger la procédure de DVC, le critère local est appliqué après une corrélation préliminaire. Il permet de sélectionner une proportion de points supports. Une procédure de régularisation développée par Gaye (2015) [136] permet alors d’approcher les points exclus près du bon minimum local du coefficient de corrélation. A partir du gradient de déplacement local des points supports les plus proches, les positions des points exclus sont extrapolées. La recherche de la position du minimum local est ensuite effectuée dans le voisinage de ces nouvelles positions a priori par optimisation.
Pour initier la procédure, une corrélation au voxel près est effectuée. Cette étape demande à l’opérateur d’intervenir manuellement pour positionner le premier point de corrélation. Il doit aussi s’assurer d’une position pertinente des premiers points de corrélation.
Les positions subvoxels des points de corrélation sont ensuite déterminées par optimisation. Les points de corrélation sont ensuite discriminés avec la méthode de tri mise en place : le critère local Cidéal est calculé à partir de l’image de référence pour l’ensemble des points de corrélation, la courbe
Cidéal = f(C) est tracée en utilisant les coefficients de corrélation mesurés lors de l’optimisation et la
fraction des points considérés comme non pertinents est exclue. Ceux-là sont ensuite extrapolés à une nouvelle position a priori (repositionnement) définie en se basant sur le gradient de déplacement local, calculé à partir des points supports les plus proches. Enfin, une optimisation finale permet de rechercher les positions subvoxels des points exclus à partir de leur nouvelle position a priori. Ces trois dernières étapes sont itérées jusqu’à ce que la courbe Cidéal = αC + β soit cohérente.
La Figure 5.13 illustre la pertinence du résultat de cette procédure de tri pour un échantillon de bois final (BF3) analysé entre 44 et 97% HR et en prenant une fraction de points supports seuil de 30% lors de la procédure de discrimination. Avant l’étape de discrimination, un nuage de points à tendance linéaire est observé. Cependant, plusieurs points s’écartent de cette tendance et sont situés dans une zone où le coefficient de corrélation mesuré est nettement supérieur au coefficient de corrélation idéal. Ces points sont repérés dans l’image déformée où leur position ne s’avère pas pertinente, comme l’illustre la Figure 5.13b. La Figure 5.13c montre que les points faux ont été correctement
replacés grâce aux étapes de discrimination puis repositionnement et optimisation (Figure 5.13c) et leur position dans l’image déformée semble alors beaucoup plus cohérente.
Cette méthode peut aussi être utilisée comme outils pour détecter la présence de points de corrélation mal positionnés.
a b
c d
Figure 5.13 – Relation entre le coefficient de corrélation idéal µ/σ² et le coefficient de corrélation mesuré par DVC et visualisation d’un point repositionné par la procédure (a), (b) avant discrimination et (c), (d) après discrimination de 30%
des points suivie d’une extrapolation et optimisation subvoxel. Cas d’un échantillon de bois final (BF3) dont les états de référence et déformés sont 44 et 97% HR.