Mise en place d’un algorithme de résolution de problèmes inverses

nécessite de tenir compte du facteur correctif lors de l’étude de l’ADRS de solitons courts.

4.3

Mise en place d’un algorithme de résolution de pro-

blèmes inverses

4.3.1 Nécessitée d’une méthode de résolution inverse

Les relations 4.2 à 4.5 permettent de prédire l’évolution de la longueur d’onde centrale et la durée d’un soliton durant l’ADRS, et ainsi de décrire la dynamique complète d’un soliton le long de la fibre. De plus, ces relations nous renseignent sur le fait que le contrôle de cette dynamique requiert l’ajustement simultané des paramètres β₂(z) et γ(z) vus par le soliton. C’est ce que nous proposons de réaliser grâce à des fibres topographiques. Cependant, comme l’ADRS dépend de plusieurs paramètres liés d’une façon non triviale, il est impossible de prédire analytiquement la topographie de fibre optimale correspondant à une trajectoire spectrale souhaitée. Il nous faut donc considérer l’approche inverse à ce problème : partant d’un soliton fondamental d’une durée et d’une longueur d’onde donnée à l’entrée de la fibre (correspondant par exemple aux caractéristiques du laser utilisé en expérience), nous utiliserons un algorithme de résolution de problèmes inverses afin de déterminer le profil de fibre topographique optimisé permettant d’obtenir la trajectoire spectrale de décalage voulue.

Plusieurs travaux ont rapporté l’utilisation de ce type d’algorithmes en optique fibrée. Il s’agit pour la plupart d’algorithmes génétiques (AGs) [94], dont le fonc- tionnement, qui imite les lois de la sélection naturelle, a pour but de trouver une solution approchée à un problème d’optimisation. Le point de départ d’un algo- rithme génétique est une population de solutions potentielles. Cette population subit un ensemble d’opérations de sélections, croisements et de mutations afin de la faire converger progressivement vers une solution optimale. Par exemple, des algorithmes génétiques ont permis de concevoir une fibre optique à dispersion chro- matique plate sur l’intervalle spectral 1000 nm-1700 nm [95,96]. De même, ils ont été utilisés, avec succès, dans le but de contrôler la largeur de bande et la dispersion d’un réseau de Bragg photo-inscrit dans le cœur d’une fibre optique [97]. Dans le domaine de la photonique non-linéaire, l’emploi d’un AG a permis le design d’une structure de FOM maximisant à la fois la largeur de bande et la cohérence d’un supercontinuum [98]. Dans la référence [99], N. Broderick utilisa un algorithme gé- nétique pour déterminer le profil longitudinal de variation de β2(z) afin de contrôler

le profil temporel d’une impulsion. Le calcul basé sur la résolution de l’équation de Schrödinger non-linéaire requiert cependant la mobilisation de capacités de calculs importantes (360 processeurs durant 5 heures).

Notre première approche, qui s’est inspirée des travaux de N. Broderick, a été d’utiliser un algorithme génétique couplé à l’intégration des équations4.2à4.5qui ne nécessitent que quelques secondes de temps de calcul au lieu de plusieurs minutes

50

Chapitre 4. Contrôle spectral de solitons dans des fibres optiques topographiques

pour une simulation numérique, soit un gain de deux ordres de grandeur. Le temps de calcul restant important (de l’ordre d’une dizaine d’heures), nous avons, dans un second temps, opté pour un algorithme de descente (Hill climbing algorithm). Contrairement aux algorithmes génétiques, un algorithme de descente ne considère qu’un individu unique, puis tente d’améliorer progressivement les caractéristiques de cet individu de manière à se rapprocher incrémentalment de la solution du problème [94]. Nous détaillons à présent le fonctionnement de cet algorithme d’optimisation.

4.3.2 Fonctionnement de l’algorithme de descente

fin début oui non oui non

Soliton (λs,Ts) + trajectoire cible

Profil topographique retrouvée

J < 0.1 THz/m min(Jenfants)

< Jpère

Figure 4.2 – Organigramme de programmation de l’algorithme de descente mis en place.

La figure4.2présente l’organigramme de programmation de l’algorithme de des- cente mis en place. Cet algorithme requiert comme paramètres d’entrées la connais- sance de la durée Tsdu soliton, sa longueur d’onde λs d’injection ainsi que la forme

du décalage que nous voulons lui donner (décalage cible). Une fois ces paramètres définis, la procédure numérique de résolution du problème est la suivante (Fig.4.2) : 1. Un profil topographique de fibre (appelé profil père) est généré aléatoirement.

4.3. Mise en place d’un algorithme de résolution de problèmes inverses51

2. L’ADRS dans ce profil est évalué en utilisant les Eqs 4.2à 4.5.

3. Le degré d’adaptation (de performance) du profil père est estimé en calculant la fonction erreur (fonction performance) J :

J = v u u t 1 L2 X i [fp(zi) − fc(zi)]2+ s X i _df p dz(zi) − dfc dz(zi) 2 (4.6) où fp est l’évolution fréquentielle du soliton dans le profil père et fcl’évolution

fréquentielle ciblée. L est la longueur de la fibre et s une constante choisie empiriquement afin de minimiser la consommation de temps machine (dans notre cas s ∼ 0.045). La fonction J correspond à un calcul des moindres carrées sur la fréquence du soliton (premier terme) et le taux d’ADRS (deuxième terme). De ce fait, J = 0 correspond à la solution topographique exacte. Le problème consiste donc à adapter le profil longitudinal père, le long de la fibre, afin de minimiser J et se rapprocher le plus possible du décalage ciblé. 4. n nouveaux profils topographiques (appelées profils enfants ou profils voisins)

sont générés en apportant des modifications locales au profil père. Dans notre cas, n = 3 permet d’optimiser le temps de calcul.

5. La trajectoire spectrale de décalage et la fonction erreur associées à chaque profil enfant sont évaluées.

6. Si l’un des profils enfants donne une trajectoire spectrale plus proche de la trajectoire ciblée (min(Jenf ants) < Jpère), ce profil devient le nouveau profil

père, conformément aux lois des algorithmes de descente [94].

Le processus de modification-évaluation-sélection (étapes 4 à 6) est répété jusqu’à obtenir un accord satisfaisant (fonction erreur J faible) entre le décalage trouvé et le décalage ciblé ou jusqu’à ce qu’un nombre maximum d’itérations soit atteint (généralement 1000). L’algorithme de descente utilisé inclut l’appel à une routine basée sur le modèle empirique de Saitoh-Koshiba [71] afin d’évaluer la dispersion d’ordre deux et le coefficient non-linéaire le long des profils étudiés.

4.3.3 Description du profil

Dans la mesure où l’on étudie l’ADRS dans des fibres qui peuvent présenter des variations longitudinales de profil quelconques, il est important d’utiliser une méthode adéquate nous permettant de décrire analytiquement la variation du pas de la microstructure Λ(z) le long de la fibre. Cette description est possible grâce à des polynômes de Legendre ou d’Hermite. Cependant, de tels polynômes peuvent présenter de fortes oscillations aux bornes du domaine de leurs définitions [0, L]. La solution retenue consiste donc à définir le profil Λ(z) comme étant la fonction d’in- terpolation d’un ensemble fini de points Λi appelés nœuds de contrôle (ou points

de contrôle) correspondant à des positions équidistantes zi ∈ [0, L]. La fonction

Λ(z) entre deux nœuds successifs Λ_i est évaluée à partir d’une interpolation de type

52

Chapitre 4. Contrôle spectral de solitons dans des fibres optiques topographiques 3.0 2.5 2.0 1.5

Λ

(µ

m)

Longueur de fibre (m)

Figure 4.3 – Profils longitudinaux d’effilage crées par une interpolation spline des coordonnées de six nœuds de contrôle (indiqués par des marqueurs).

Cette méthode, assez simple, de description du profil Λ(z) offre l’avantage de per- mettre la description de fonctions mathématiques complexes à partir d’un nombre réduit de paramètres. Elle permet également de générer facilement des profils en- fants proches du profil père (étape 4 de notre algorithme inverse) simplement en changeant l’ordonnée Λi d’un nœud de contrôle pris au hasard. C’est ce que l’on

nomme une mutation. La courbe noire de la figure4.3montre l’exemple d’un profil longitudinal de fibre créée à partir de seulement six nœuds de contrôle (indiqués par des marqueurs noirs). La courbe rouge correspond à un profil enfants créé à partir d’une mutation effectuée sur le nœud numéro 3.

Au fur et à mesure que l’algorithme converge vers J = 0, le nombre de nœuds de contrôle est augmenté et l’intervalle sur lequel se fait une mutation réduit au- tomatiquement, afin de permettre une description plus détaillée et un ajustement plus minutieux de la solution trouvée.

4.3.4 Validation du code informatique de résolution

Afin de tester la validité de cet algorithme, un profil topographique sinusoïdal a été généré. L’évolution du pas Λ de ce profil est représentée en noir sur la Fig.4.4(a), son rapport d/Λ vaut 0,6 le long de la fibre. Le décalage correspondant a ce profil (Fig. 4.4(b)) est calculé à partir des Eqs 4.2-4.5 en considérant un soliton initial d’une durée de T_s = 48 fs centrée à λ_s = 1100 nm. L’algorithme de descente mis en place a ensuite été utilisé pour retrouver le profil topographique correspondant à ce décalage calculé.

Les courbes rouges (Figs.4.4(a) et (b)) représentent les profils longitudinaux et les décalages spectraux obtenus via l’algorithme de recherche au bout de 500 cycles de modification-évaluation-sélection. La courbe Λ(z) (trait rouge, Fig. 4.4(a)) qui a permis de minimiser la fonction J est en excellent accord avec la courbe originale (trait noir, Fig. 4.4(a)). De ce fait, la différence entre le décalage retrouvé par l’algorithme de résolution et le décalage ciblé est inférieure à 1 nm sur tout le long

4.4. Résultats numériques de contrôle du décalage spectral 53