conditions réalistes
L’excitation d’un breather d’Akhmediev requiert de pouvoir synthétiser un champ du type 7.5, ce qui n’ai pas chose aisée, car cela nécessite de pouvoir ma- nipuler la phase et l’intensité de nombreuses composantes spectrales. Nous allons voir dans cette section qu’il est tout de même possible de générer des ABs à partir de conditions initiales faciles à mettre en œuvre.
Approximation de l’expression d’un AB
Si l’on considère un AB loin de son point de compression maximale, il est possible de montrer que la solution 7.5peut être approximée par la forme [150] :
A(ξ → ±∞, 0) ' 1 + amode−iΨ±cos(Ω0τ ) (7.10)
où :
amod= 2be−b|ξ| (7.11)
Ψ± = ± tan−1
q
2a/(1 − 2a) (7.12) L’expression 7.10 est obtenue par un développement de Taylor la formule 7.5 du- rant lequel les ordres supérieurs à 1 ainsi que les termes de phase constants furent négligés. Cette expression montre clairement qu’un AB se forme à partir d’une onde plane faiblement modulée. Nous pouvons donc générer un AB en injectant, à l’entrée de la fibre, un champ optique de la forme :
A(z = 0, t) =pP0· [1 + amode−iΨ−cos(ωmodt)] (7.13)
ce qui mènera à l’excitation d’un AB dont la distance de compression maximale, z0
est donnée par [150] :
z0 = −
LN L
b ln(
amod
2b ) (7.14) Au cours de la propagation, la phase relative entre la pompe et les bandes latérales Ψ± reste constante. Cependant, l’amplitude de modulation amod, qui évolue selon
la relation7.11, subit une phase d’amplification suivie d’une décroissance à un taux donné par le gain paramétrique b [150].
La synthèse d’un champ décrit par 7.13 nécessite un dispositif expérimental complexe, car il faut injecter dans la fibre optique une pompe continue ainsi que deux signaux pour former les bandes latérales. Il faut également réussir à maitriser la phase relative des différentes ondes injectées. L’alternative possible à cette approche est de considérer l’excitation d’un AB à partir d’une modulation purement réelle réalisable facilement en utilisant un modulateur d’intensité [151] :
7.3. Excitation d’un breather d’Akhmediev sous des conditions
réalistes 109
A(z = 0, t) =pP0[1 + amodcos(ωmodt)] (7.15)
Notons que la forme exacte d’un AB (Eq. 7.5) n’est qu’approximativement ap- prochée par les champs7.13et7.15. L’utilisation de telles formes résulte donc en une évolution similaire à celle d’un breather d’Akhmediev idéal, c’est-à-dire, un cycle de croissance-décroissance [150]. Cependant, lors de la phase de décroissance, l’AB ne tend pas à se stabiliser vers une onde plane, mais subit au contraire de multiples autres cycles croissance-décroissance [137,140,150] comme cela est représenté sur la figure 7.8. Spectralement, cela se manifeste par des cycles périodiques, analogue à la récurrence FPU (Fig. 7.6), d’échange d’énergie entre la pompe et les bandes latérales de modulation. Également, dans le cas où le champ d’entrée est de la forme
7.15, il apparait une déviation par rapport à la position de compression maximum
z0 donnée par la relation7.14[148,150]. Cette déviation provient physiquement de
la différence du taux de croissance de la modulation qui est en réalité sensible au déphasage relatif entre la pompe et les raies de modulation [150].
−4 −2 0 2 4 0 100 200 0 200 Z (m) T (ps) P ( W)
Figure 7.8 – Simulation numérique de l’évolution longitudinale d’un breather d’Akhmediev excité par un champ du type 7.15. Paramètres utilisés : γ = 2 W−1km−1, ωmod = 800π · 109 rad.s−1, a = 0,1, amod = 0,05.
Excitation à partir d’une seule bande latérale de modulation
La synthèse d’un champ temporel modulé sinusoïdalement du type de l’Eq.7.15
peut être accomplie uniquement à l’aide d’une pompe et d’un signal continu, ce qui peut être réalisé expérimentalement à l’aide de deux diodes lasers [138,152]. À l’exception d’une déviation temporelle du centre des impulsions formant le breather, l’évolution qui résulte de telles conditions d’entrées est similaire à celle de l’AB réaliste (Fig.7.8). Ceci s’explique par la génération, dès le début de la propagation, d’une bande de modulation complémentaire (idler) grâce au mélange à quatre ondes entre la pompe et le signal. La différence de phase pompe-bande latérale est alors
110 Chapitre 7. Introduction aux solutions périodiques de l’ESNL
automatiquement fixée à la valeur de −π/2, ce qui correspond au décalage de phase d’un AB dont le paramètre de modulation a = 0, 25 [148,150]. De ce fait la position de compression maximale du breather ne diffère pas, quelle que soit la valeur du paramètre a, d’une valeur supérieure à 15 % par rapport à z0 [148,150].
Chapitre 8
Dynamique de stabilisation de
breathers d’Akhmediev dans
une fibre à dispersion variable
8.1
Contexte
Nous avons vu dans le chapitre précédent que la propagation d’une onde continue faiblement modulée pouvait conduire à l’excitation d’un AB. Ces structures de localisation ont été observées à la fois dans le domaine de la photonique [153] et de l’hydrodynamique [145]. Dans ce chapitre, nous nous proposons d’étendre les travaux déjà effectués dans ce domaine par l’ajout d’un contrôle sur la dynamique de leur propagation. Pour cela, il est nécessaire d’introduire un nouveau degré de liberté au système et de considérer des situations allant au-delà de l’ESNL pure (dispersion d’ordre deux et auto-modulation de phase).
Différentes études se sont déjà intéressées au sujet de la propagation d’ABs dans des conditions hors ESNL. Par exemple, en 2012, Tian et al. montrèrent qu’une va- riation de dispersion et de non-linéarité le long de la fibre permettait de maitriser la propagation d’un soliton de Peregrine (a = 0, 5) de façon à annihiler son excitation, à la retarder ou bien le stabiliser à son point de compression maximale [128,129]. D’autres études proposèrent également différentes méthodes pour influencer la pro- pagation d’ondes scélérates. Les plus notables de ces travaux font référence à des potentiels externes perturbant la dynamique de propagation de breathers [131,154]. Dans le domaine de l’hydrodynamique, Onorato et al. ont proposé d’utiliser un cou- rant d’eau venant de la direction opposée à la propagation et qui joue le rôle d’une non-linéarité dépendante de z [130]. Néanmoins, le dénominateur commun à ces études est leur limitation à un cadre théorique. Aucune démonstration expérimen- tale n’est encore venue appuyer ces travaux.