Mise en place des simulations

Les configurations tourbillonnaires simulées ont été choisies d’une part pour correspondre à des paramètres expérimentaux et d’autre part pour effectuer des simulations numériques directes.

Ainsi, le nombre de Reynolds basé sur la circulation est Re_Γ= 10000 pour les deux configura-

tions. Les caractéristiques du système tourbillonnaire co-rotatif imposées dans le plan d’entrée sont récapitulées dans le tableau 5.4. Les rapports caractéristiques a/b entre le rayon de dis- persion a des tourbillons et la distance b qui les sépare sont inférieurs à la valeur critique de

déclenchement du processus de fusion stable (a/b)c ∼ 0.22 − 0.24 étudiée dans la section 5.3.2.

Configuration a/b vθ_max w0 w(r = 0) Lx, Ly, Lz nx, ny, nz

spa₁ 0.212 0.06 0.2 0.223 100, 100, 500 241∗ 241 ∗ 2001

spa₂ 0.166 0.31 0.2 0.552 120, 120, 420 291∗ 291 ∗ 1401

Tab. 5.4 – Caractéristique du système tourbillonnaire dans le plan d’entrée, du domaine de calcul et du nombre de points dans chaque direction. Les vitesses sont adimensionnalisées par la vitesse du son c et les longueurs par le rayon caractéristique d’un tourbillon de Lamb-Oseen rc.

Le champ solution bidimensionnel imposé dans le plan d’entrée du domaine de calcul a été ob- tenu à l’aide d’une pré-simulation bidimensionnelle initialisée par superposition de deux tour- billons de Lamb-Oseen (Eq. 3.1). Le rapport caractéristique a/b de ce système augmente au

cours du temps par diffusion visqueuse des cœurs tourbillonnaires (initialement a₀/b₀ = 0.1).

Lorsqu’il atteint la valeur visée, la solution est extraite pour servir de champ initial du plan d’entrée de la simulation spatiale. De plus, pendant cette phase diffusive, chaque tourbillon s’adapte au champ de contrainte imposé par son voisin, prenant alors une forme elliptique (processus de relaxation mis en évidence par Le Dizès et Verga [49]). Cette procédure permet donc d’obtenir une solution bidimensionnelle aux équations de Navier-Stokes.

Les deux tourbillons tournent l’un autour de l’autre à la période tc = 2π2b2₀/Γ. La vitesse de

convection w₀ dans la direction longitudinale a pour conséquence la torsion des tubes tour-

aval pour laquelle les tourbillons ont effectué un tour complet. Ce pas d’hélice est déterminé par la relation dh= w0tc.

Une différence notable entre les deux configurations est la vitesse azimutale des tourbillons, impliquant une longueur de retournement du système plus grande lorsque la vitesse azimutale

est plus faible (configuration spa₁). Ainsi, les effets tridimensionnels seront plus prononcés

pour la configuration spa₂, tandis que le pas d’hélice du système sera plus long pour la confi-

guration spa₁, se rapprochant ainsi de l’hypothèse employée pour les simulations temporelles.

Pour ces simulations spatiales, la vitesse axiale n’est pas explicitement imposée dans le plan d’entrée. Elle est calculée par la résolution du système d’équations de Navier-Stokes et corres- pond au niveau choisi de pression et de température totale qui est imposé dans ce plan (choix de la condition limite). En première approximation, la pression totale s’écrit Pt = p +1₂ρw2,

et comme la pression statique p au cœur du tourbillon dépend de la vitesse azimutale du tourbillon, la vitesse axiale w(r = 0) est plus ou moins élevée selon la configuration choisie.

Domaine de calcul

Le domaine de calcul est un parallélépipède dont les dimensions Lx, Ly, Lz sont précisées

dans le tableau 5.4 pour chaque configuration. Les valeurs des longueurs transverses Lx, Ly

sont fixées de manière à minimiser l’impact des conditions limites sur la dynamique. Pour limiter le nombre de points, on utilise un maillage régulier uniquement dans la zone d’intérêt

de la dynamique (domaine Lxreg, Lyreg = [50, 50]), avec un pas d’espace Δx = Δy = 0.25rc

où rc est le rayon caractéristique initial du tourbillon de Lamb-Oseen dans la pré-simulation

bidimensionnelle. Au début de la simulation spatiale, il y a huit points dans le cœur de chaque

tourbillon pour la configuration spa₁ et six points pour spa₂. La longueur axiale Lz permet

de simuler au moins deux rotations du système tourbillonnaire, en corrélation avec le rapport des vitesses axiale et azimutale. Cependant, ce choix ne permet pas de garantir que la fusion sera obtenue avant la fin de la boîte de calcul, il correspond seulement à un ordre de grandeur du processus de fusion instable qui serait réalisé avec une simulation temporelle. Le maillage

est régulier dans cette direction axiale, telle que Δz = 0.3rc pour la configuration spa1 et

Δz = 0.25rc pour spa2. Bien que la prédiction théorique des caractéristiques de l’instabilité

elliptique de Le Dizès et Laporte [48] ne tienne pas compte de la vitesse axiale, elle permet d’indiquer une gamme de longueurs d’onde des modes instables. Ainsi, pour les systèmes tour- billonnaires considérés, la discrétisation axiale correspond à huit points par longueur d’onde. Au total le nombre de point de calcul est 118.63×106pour la configuration spa₁et 116.22×106. Ces deux simulations ont été réalisées par des calculs massivement parallèles (1024 processeurs) et ont posées des difficultés au niveau du stockage des données mais également en terme de post-traitement pour la visualisation (capacité mémoire).

Conditions limites

Les conditions limites des faces latérales sont basées sur l’approche du traitement des ondes caractéristiques, développé et détaillé dans la section 2.4.2.3 du chapitre 2. Elles correspondent à des conditions de type entrée/sortie, avec un écoulement entrant irrotationnel (Eq. 2.139, 2.140).

Une condition d’injection subsonique est utilisée dans le plan d’entrée, qui impose une pres- sion et une température totale (section 2.4.2.2) ainsi que les composantes transverses de vitesse (associé au champ tourbillonnaire). La condition limite de sortie du domaine de calcul est une

condition de non-réflexion basée sur l’approche de Giles [31] (section 2.4.2.4).

Perturbations des tourbillons

Pour provoquer le développement d’instabilités, il est nécessaire de fournir de l’énergie aux modes potentiellement instables de l’écoulement. D’un point de vue numérique, deux stratégies existent pour les exciter :

(i) l’ajout d’une perturbation aléatoire de très faible amplitude (bruit blanc), (ii) un forçage explicite d’une fréquence prédéterminée de l’instabilité.

La première (i) a l’avantage de laisser libre le développement d’instabilités liées aux conditions de l’écoulement, mais ne garantit pas le type d’instabilité qui va gouverner la dynamique, contrairement à la seconde stratégie (ii).

Pour s’assurer du développement d’une instabilité elliptique dans les systèmes considérées ici, un autre type de perturbation est proposé. L’idée est de laisser une part de liberté aux in- stabilités mais en utilisant le fait que l’instabilité elliptique est connue pour affecter le cœur des tourbillons en changeant leur position. La perturbation utilisée pour les deux simulations spatiales se base sur cette propriété, où un mouvement de translation aléatoire de faible am- plitude est introduit dans le champ d’entrée. Cela correspond à l’ajout d’une perturbation de vorticité autour de chaque cœur tourbillonnaire, telle que

ω= (₁cos θ + ₂sin θ) exp 

−r2 b2

, (5.21)

où ₁ et ₂ sont des nombres aléatoires (₁ = ₂ ∈ [0.0002, 0.0004]), et b délimite l’aire de la perturbation (ici b = 2rc). La loi de Biot et Savart [82] est ensuite utilisée pour traduire la

perturbation en termes de composantes transverses de vitesse.