Mise en équations

Cette modélisation s’appuie sur une approche enthalpique (méthode VOF), ne distinguant pas a priori les domaines solides et liquides. Ainsi, les simulations sont réalisées sur un seul domaine de calcul où cohabitent les deux phases, solide et liquide. Ces deux phases sont régies par les mêmes équations, et sont distinguées par la valeur de la fraction solide. Cette fraction solide 𝛼 (en volume) est définie en fonction de la température normalisée notée 𝑇∗, elle-même donnée par l’expression :

𝑇∗= ^𝑇−𝑇𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠

𝑇_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠}−𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠} , _(II-1)

avec 𝑇 la température, et avec 𝑇_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠} et 𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠} respectivement les températures du liquidus et du solidus. Dans le cas des alliages faiblement concentrés, on peut considérer que ces températures sont égales à la température de fusion, notée 𝑇_𝑓. En revanche, pour éviter les singularités numériques lors des calculs, on considèrera que 𝑇_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠} et 𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠} sont définis tels que :

𝑇_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠}= 𝑇_𝑓+ 𝜀 , (II-2)

𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠}= 𝑇_𝑓− 𝜀 , (II-3)

avec 𝜀 l’écart à la température de fusion, qu’il faudra choisir suffisamment faible pour limiter la taille de la zone de transition solide/liquide tout en évitant les artefacts numériques (pour cela, il est recommandé que la zone de transition ait une épaisseur au moins égale à une taille de maille).

Chapitre II. Modélisation thermique et hydrodynamique

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La fraction solide 𝛼 (en volume) est donnée sous forme d’une fonction définie par morceaux par l’expression suivante [CD-adapco and Siemens, 2016] :

𝛼 = {1 − 𝑇¹ ∗ 0 ^𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑖 ^𝑇 ∗< 0 0 ≤ 𝑇∗≤ 1 1 < 𝑇∗ . (II-4)

Ainsi, la fraction solide 𝛼 varie linéairement avec la température 𝑇. En particulier, on constate que lorsque la température est égale à la température de fusion 𝑇_𝑓, en remplaçant les équations (II-2) et (II-3) dans l’expression (II-1), la température normalisée 𝑇∗ égale 0,5 et la fraction solide 𝛼 est par conséquent aussi égale à 0,5.

Ainsi, la fraction solide 𝛼 permet d’identifier l’état du matériau, solide ou liquide. Le matériau est à l’état solide si la fraction solide 𝛼 est égale à 1. Le matériau est donc à l’état liquide si la fraction solide 𝛼 est égale à zéro. Lors de la simulation, lorsque la fraction solide 𝛼 est comprise entre 0 et 1 dans une maille, ce modèle donne une coexistence des états solide et liquide au sein de la même maille, à proportion de la fraction solide. On parle alors de zone de transition, qui peut être assimilée à une zone pâteuse vue comme un milieu poreux, par analogie avec le cas d’alliages métalliques concentrés présentant un front dendritique. Dans le cas des études présentées ici, le front de solidification est lisse, c'est-à-dire non dendritique. Je chercherai donc à réduire l’épaisseur de la zone pâteuse, grâce au paramètre 𝜀, afin de reproduire au mieux cette propriété du front de solidification. Pour le post-traitement des résultats, je considèrerai que la délimitation entre les phases solide et liquide est définie par l’isosurface de fraction solide 𝛼 = 0,5. Cette hypothèse revient donc à considérer l’épaisseur de la zone pâteuse au cours des calculs pour éviter les divergences numériques, tout en considérant son épaisseur nulle lors du post-traitement des résultats.

2) Équations de Navier-Stokes

Selon la documentation du logiciel Star-CCM+ [CD-adapco and Siemens, 2016], les équations discrétisées et implémentées numériquement dans ce logiciel sont les équations de Navier-Stokes écrites sous forme conservative. Ces équations sont donc écrites sous la forme suivante [Versteeg, 1995], avec l’équation de continuité :

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝛻⃗⃗. (𝜌(𝑣⃗ − 𝑣⃗𝑔)) = 0 , (II-5)

avec 𝜌 la masse volumique, 𝑣⃗ la vitesse dans le fluide et 𝑣⃗_𝑔 la vitesse de grille liée à un éventuel déplacement du maillage.

Dans le cadre de cette étude, on peut néanmoins considérer que les fluides sont incompressibles (hypothèse de densité constante). La masse volumique 𝜌 est donc considérée constante : on choisira alors d’utiliser la valeur 𝜌_𝑙, la masse volumique de la phase liquide, pour l’ensemble du domaine.

On a également l’équation de bilan de quantité de mouvement sous forme conservative : 𝜕(𝜌𝑣⃗)

𝜕𝑡 + 𝛻⃗⃗. (𝜌𝑣⃗ ⊗ (𝑣⃗ − 𝑣⃗_𝑔)) = −𝛻⃗⃗𝑝 + 𝛻⃗⃗. 𝑇̿ + 𝑓⃗_𝑔+ 𝑓⃗_𝐷 , (II-6)

avec ⊗ le symbole du produit dyadique, 𝑝 la pression, 𝑓⃗_𝑔 le terme de poussée d’Archimède dans l’approximation de Boussinesq et 𝑓⃗_𝐷 le terme de Darcy. Pour un écoulement laminaire, le tenseur des contraintes visqueuses, noté 𝑇̿, est égal à :

II.A. Mise en équations

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𝑇̿ = µ [(𝛻⃗⃗𝑣⃗) + (𝛻⃗⃗𝑣⃗)^𝑇−²

3^{(𝛻⃗⃗. 𝑣⃗)𝐼̿] , (II-7)}

avec 𝐼̿ le tenseur unité et µ la viscosité dynamique du matériau, qui est constante (voir partie II.A.6).

3) Équation de l’énergie

L’équation de l’énergie s’écrit de la manière suivante : 𝜕(𝜌𝐻 − 𝑝)

𝜕𝑡 + 𝛻⃗⃗. (𝜌𝐻(𝑣⃗ − 𝑣⃗_𝑔) + 𝑣⃗_𝑔𝑝) = 𝛻⃗⃗. (𝜆𝛻⃗⃗𝑇) + 𝛻⃗⃗. (𝑇̿. 𝑣⃗) + (𝑓⃗_𝑔+ 𝑓⃗_𝐷). 𝑣⃗ , (II-8)

avec 𝜌 la masse volumique, ici égale à 𝜌_𝑙 la masse volumique de la phase liquide, 𝐻 l’enthalpie totale, 𝑝 la pression, 𝑣⃗ la vitesse dans le fluide, 𝑣⃗_𝑔 la vitesse de grille, 𝜆 la conductivité thermique, 𝑇 la température, 𝑇̿ le tenseur des contraintes visqueuses, 𝑓⃗_𝑔 le terme de Boussinesq et 𝑓⃗_𝐷 le terme de Darcy. Afin de modéliser le changement de phase solide/liquide, le rejet de chaleur latente est intégré à cette équation d’énergie dans l’expression de l’enthalpie totale 𝐻, qui est alors égale à :

𝐻 = 𝐶𝑝. 𝑇 + (1 − 𝛼)ℎ_{𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛}+‖𝑣⃗‖2

2 ^{, (II-9)} avec 𝐶𝑝 la capacité thermique et ℎ_{𝑓𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛} la chaleur latente de fusion du matériau. La modélisation du changement de phase fait ainsi intervenir la fraction solide, notée 𝛼.

4) Terme de Boussinesq

Le terme de Boussinesq permet d’intégrer l’hypothèse de densité constante (fluide incompressible) dans les équations tout en conservant l’effet de convection naturelle. En effet, la convection naturelle est normalement due à la variation de la densité en fonction de la température. Cette variation de densité, considérée dans le champ de pesanteur, entraine la convection naturelle. Afin de modéliser cet effet sans complexifier les autres termes des équations, la densité est considérée constante et le terme de Boussinesq, décrit ci-après [CD-adapco and Siemens, 2016], ajoute un champ de force volumique lié aux efforts de gravité :

𝑓⃗_𝑔= {_{−𝜌𝛽(𝑇 − 𝑇}^0⃗⃗

𝑓)𝑔⃗ ^𝑠𝑖𝑠𝑖 ^{𝛼 = 1}0 ≤ 𝛼 < 1 ^{, (II-10)} avec 𝜌 la masse volumique, ici égale à 𝜌_𝑙 la masse volumique de la phase liquide, 𝛽 le coefficient de dilatation thermique du liquide, 𝑇 la température, 𝑇_𝑓 la température de fusion et 𝑔⃗ le vecteur gravité. L’expression du terme de Boussinesq dépend également de la fraction solide 𝛼. En effet, pour le cas 𝛼 = 1 correspondant à une phase complètement solidifiée, le terme de Boussinesq est égal à zéro afin d’éviter d’appliquer le champ de force sur la phase solide.

5) Terme de Darcy

Afin de compléter ce modèle, il faut introduire un terme qui permet d’annuler ou de réduire très fortement les vitesses dans la phase solide. C’est la fonction du terme de Darcy, qui s’exprime de la manière suivante :

𝑓⃗_𝐷= − ^µ

Chapitre II. Modélisation thermique et hydrodynamique

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avec 𝐾 la perméabilité du milieu. Cette perméabilité varie en fonction de la fraction solide, selon la définition par défaut dans le logiciel de simulation : la loi de Carman-Kozeny [CD-adapco and Siemens, 2016]. L’évolution de la résistance visqueuse µ/𝐾 en fonction de la fraction solide est tracée en Figure II-1 ci-dessous.

Figure II-1 : Évolution de la résistance visqueuse µ/𝐾 introduite dans le terme de Darcy en fonction

de la fraction solide 𝛼. L’échelle de l’axe des ordonnées est logarithmique. Pour 𝛼 = 0, la résistance

visqueuse µ/𝐾 tend vers zéro.

La valeur de la résistance visqueuse augmente donc avec la proportion de matériau solide présent dans une maille. De cette manière, dans les mailles « solidifiées », ce terme de Darcy amortit les vitesses présentes afin de les faire tendre vers zéro. Par défaut, pour améliorer la convergence, la valeur maximale de la résistance visqueuse est en réalité limitée par une valeur seuil, qui peut être modifiée dans les paramètres de la simulation. Dans les mailles « complètement liquides », ce terme tend vers zéro, ramenant ainsi le système d’équation au cas d’une phase liquide. Cependant, il faut noter que si le terme de Darcy permet de réduire drastiquement la valeur des vitesses présentes dans la phase solide, ce terme ne peut pas imposer parfaitement une vitesse nulle. En effet, ce terme, agissant comme un amortissement visqueux très élevé, freine l’écoulement mais ne peut pas le figer complètement. On observe donc un faible écoulement résiduel dans la phase solide. Le logiciel Star-CCM+ donne normalement une méthode numérique (option « Flowstop ») permettant de figer les vitesses de la partie solide à zéro, afin de supprimer cet écoulement résiduel. Cependant, cette méthode numérique n’est pas compatible avec les méthodes de maillage glissant [CD-adapco and Siemens, 2016], qui seront présentées par la suite. Pour cette raison, nous avons dû nous limiter à l’implémentation du terme de Darcy présenté à l’équation (II-11), qui permet de réduire néanmoins très significativement l’écoulement dans la phase solide.

6) Paramètres thermo-physiques

Dans ce modèle, les valeurs de la masse volumique 𝜌 et de la viscosité dynamique µ sont considérées comme des constantes. En revanche, la conductivité thermique 𝜆 et la capacité thermique massique 𝐶𝑝 sont considérées comme des fonctions linéaires de la température dans la zone de transition, selon les définitions suivantes :

𝜆 = { 𝜆_𝑠 𝑠𝑖 𝑇 < 𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠} 𝜆_𝑠− 𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠} ^𝜆𝑙 − 𝜆𝑠 𝑇𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠 − 𝑇𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠 𝑠𝑖 𝑇_{𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑢𝑠}≤ 𝑇 ≤ 𝑇_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠} 𝜆_𝑙 𝑠𝑖 𝑇_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑢𝑠} < 𝑇 , (II-12) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10^-5 10⁰ 10⁵ 10¹⁰ 10¹⁵ 10²⁰

Résistance visqueuse poreuse en fonction de la fraction solide

Fraction solide alpha

m

u