Chapitre II. Modélisation thermique et hydrodynamique
D. Le cas de Stelian
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𝐸𝑟𝑟(𝑡) = 𝑇ℎ0− 𝑇𝑙(𝑥 = ℎ, 𝑡) , (II-29)
avec 𝑇𝑙(𝑥 = ℎ, 𝑡) donné analytiquement grâce à l’équation (II-24). On considèrera que le modèle est représentatif de la configuration de Stefan tant que l’écart 𝐸𝑟𝑟(𝑡) entre la température à l’infini et la température à l’abscisse 𝑥 = ℎ reste inférieur à 0,001 K, ce qui est un critère extrêmement rigoureux. Pour déterminer le temps de simulation critique correspondant, on utilise donc la table suivante, obtenue pour ℎ = 18 𝑐𝑚.
Temps de simulation 𝑡 Condition à l’infini 𝑇ℎ0 Température analytique 𝑇𝑙 Écart 𝐸𝑟𝑟(𝑡)
0 s 1737 K 1737,0000 K 0 10 s 1737 K 1737,0000 K -1,8370.10-16 20 s 1737 K 1737,0000 K -4,3043.10-8 30 s 1737 K 1737,0000 K -2,8740.10-5 40 s 1737 K 1736,9992 K -7,7088.10-4 50 s 1737 K 1736,9943 K -0,0057 60 s 1737 K 1736,9783 K -0,0217
Tableau II-1 : Table des écarts entre la température à l’infini et la température 𝑇𝑙 à l’abscisse 𝑥 = ℎ,
calculée analytiquement à l’aide de l’expression (II-29), en fonction du temps. Cette table est calculée pour du silicium et une hauteur ℎ de 18 cm.
Le Tableau II-1 indique que pour une simulation allant jusqu’à 𝑡 = 40 𝑠, l’écart 𝐸𝑟𝑟(𝑡) reste inférieur à 0,001 K. Au-delà de 𝑡 = 40 𝑠, la diffusion de la chaleur commence à avoir de l’influence au bord de la cavité, qui ne peut plus, par conséquent, être considérée à l’infini. Le temps critique à ne pas dépasser pour réaliser les comparaisons entre le modèle présenté ci-dessus et le cas de Stefan, avec les paramètres choisis pour ce modèle, est donc déterminé. Bien que les méthodes de résolution mises en œuvre dans ce modèle et dans la formulation analytique du cas de Stefan diffèrent, il s’agit bien de la reproduction du même phénomène physique, dans des conditions similaires : la comparaison de ces deux approches, qui sera présentée dans une partie suivante, permettra de valider le modèle présenté avec la méthode de maillage glissant. Elle donnera aussi une estimation des gains en performance et en coût de calcul que l’on peut espérer grâce à l’utilisation de cette méthode.
D. Le cas de Stelian
Le modèle numérique présenté dans cette partie s’appuie sur les travaux de Stelian [Stelian et al., 2001 ; Stelian et al., 2003]. Dans ces travaux, Stelian réalise une simulation numérique d’un four Bridgman vertical ("Four de Grenoble") afin de comparer ses résultats à des données expérimentales. Le modèle présenté est un modèle 2D axisymétrique représentant la croissance cristalline d’un alliage GaInSb (Gallium-Indium-Antimoine) faiblement concentré en Indium. Le voisinage du creuset en nitrure de bore n’est pas simulé dans ce modèle, son action est traduite par les conditions aux limites appliquées sur les bords du domaine. Un gradient thermique axial constant (proche des conditions thermiques réelles) est appliqué et déplacé dans le four, afin de réaliser la solidification dirigée de l’alliage. Dans ce modèle, Stelian résout la thermique avec le suivi du front, ainsi que la ségrégation, de manière instationnaire. La partie solide et la partie liquide sont définies comme deux domaines de calcul distincts avec une méthode de maillage adaptatif (déformable). Les calculs ont été réalisés dans un premier temps avec le logiciel FIDAP (qui n’est plus commercialisé aujourd’hui), pour un cas de comparaison expérience/numérique avec une vitesse de tirage de 7 µm/s. Pour cette vitesse de tirage élevée, un effet d’amortissement solutal de la convection a été observé. Les dernières données communiquées ont été obtenues avec le logiciel COMSOL Multiphysics, pour une vitesse de tirage de 1 µm/s, qui est plus favorable pour la validation des modèles présentés dans cette étude.
Afin de valider l’approche numérique que je propose dans cette étude, avec notamment la méthode Overset Mesh de maillage glissant, je vais chercher à reproduire le modèle de Stelian afin de pouvoir comparer mes résultats avec ses données numériques et expérimentales.
Chapitre II. Modélisation thermique et hydrodynamique
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Le creuset est assimilé à un cylindre creux de hauteur ℎ, de rayon intérieur 𝑅𝑖𝑛𝑡 et de rayon extérieur 𝑅𝑒𝑥𝑡, entourant une cavité dans laquelle est placée une charge à solidifier. Le modèle étant axisymétrique, le creuset et la cavité sont modélisés par deux domaines rectangulaires distincts, en deux dimensions, de hauteur et de largeur correspondantes. La cavité dans laquelle est placée la charge en GaInSb à solidifier est donc rectangulaire, de dimension ℎ et 𝑅𝑖𝑛𝑡. Le creuset, enveloppe solide en nitrure de bore, est accolée à un bord de la cavité.
Comme indiqué sur la Figure II-6, une condition de symétrie axiale est appliquée sur l’axe central de la géométrie. Une condition aux limites adiabatique est appliquée sur le bord extérieur du creuset. Le bord intérieur entre la partie solide et la charge à solidifier est une interface entre deux domaines de calcul distincts, assurant une continuité du champ de température et des flux de chaleur. Des conditions aux limites en température sont imposées aux bords supérieurs et inférieurs : on applique la température 𝑇ℎ (chaude) au bord supérieur, et la température 𝑇𝑐 (froide) au bord inférieur, calculées selon les expressions (II-30) et (II-31) données plus loin.
Figure II-6 : Géométrie du modèle et application des conditions aux limites. La cavité et le creuset sont deux domaines rectangulaires accolés et distincts. Le modèle est axisymétrique. Une condition aux limites adiabatique est appliquée sur un bord extérieur du creuset. Une condition de continuité en
température et en flux de chaleur est appliquée sur le bord commun aux deux domaines. Sur ce bord, une condition de vitesse nulle est également appliquée, ainsi que sur les bords supérieurs et inférieurs.
En haut et en bas, on applique également des conditions de températures imposées. Le vecteur 𝑔⃗
représente la gravité.
Sur les bords supérieurs et inférieurs, ainsi que sur le bord commun à la cavité et au creuset, on applique des conditions de vitesse nulle à la paroi. Le vecteur gravité 𝑔⃗, introduit dans le terme de Boussinesq par l’équation (II-10), est dirigé vers le bas.
Pour initialiser le calcul, on applique une condition initiale en température et en vitesse, correspondant à l’instant 𝑡 = 0. En accord avec le protocole présenté par Stelian [Stelian et al., 2003], les champs utilisés pour la condition initiale sont issus d’une simulation stationnaire préalablement réalisée sur la même géométrie, avec des conditions aux limites analogues. D’un point de vue physique, cela revient à considérer qu’avant de réaliser le tirage pour la solidification dirigée, les conditions imposées par le four restent constantes suffisamment longtemps pour que le système atteigne un état stationnaire. Les températures imposées en haut et en bas sont respectivement choisies plus grande et plus petite que la température de fusion : de cette manière, pour cet état stationnaire, l’interface solide/liquide existe. Sa position est alors déterminée par la résolution de ce problème stationnaire, et le maillage glissant est alors positionné de manière à couvrir la zone de l’interface.
Paroi adiabatique
Axe de symétrie Température Th
Paroi, vitesse nulle
Continuité en température Paroi, vitesse nulle
Température Tc
Paroi, vitesse nulle Overset Mesh
y
x g͢
II.D. Le cas de Stelian
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Par ailleurs, le calcul de la condition initiale permet aussi d’obtenir le profil de température le long de l’axe de symétrie du système. Hors de la zone de l’interface, où a lieu le rejet de la chaleur latente, on peut observer que le profil de température est quasiment linéaire aussi bien dans la partie liquide que dans la partie solide, comme illustré en Figure II-7. Les gradients axiaux thermiques dans la partie liquide et dans la partie solide, respectivement 𝐺𝑇𝑙 et 𝐺𝑇𝑠, seront donc déduits de ce calcul dans les zones proches des bords en haut et en bas.
Figure II-7 : Profil axial de température, tracé le long de l’axe de symétrie du système, et appliqué à l’instant 𝑡 = 0 𝑠 comme condition initiale. Ce profil est issu d’une simulation stationnaire. Loin de
l’interface solide/liquide (repérée par le changement de pente du profil), le profil de température est quasi-linéaire : on peut facilement en déduire les gradients axiaux thermiques 𝐺𝑇𝑙 et 𝐺𝑇𝑠 aux bords,
respectivement dans la partie liquide (à droite de la figure) et dans la partie solide (à gauche).
Ces gradients sont utilisés pour déterminer les conditions aux limites en température appliquées au cours de la simulation instationnaire. En effet, les températures appliquées sont calculées en fonction du temps de la manière suivante :
𝑇ℎ(𝑡) = 𝑇ℎ0− 𝐺𝑇𝑙. 𝑉𝑡. 𝑡 , (II-30)
𝑇𝑐(𝑡) = 𝑇𝑐0− 𝐺𝑇𝑠. 𝑉𝑡. 𝑡 , (II-31)
avec 𝑇ℎ0 la température initiale au bord supérieur, 𝑇𝑐0 la température initiale au bord inférieur, 𝐺𝑇𝑙 et 𝐺𝑇𝑠 respectivement les gradients thermiques axiaux dans la partie liquide et dans la partie solide, 𝑉𝑡 la vitesse de tirage imposée par le four, et 𝑡 le temps. D’un point de vue physique, ces conditions aux limites traduisent la translation relative du creuset par rapport au gradient thermique que le four lui applique. En accord avec le protocole présenté par Stelian [Stelian et al., 2003], la vitesse de tirage et les gradients thermiques ressentis dans les parties liquides et solides sont constants au cours du temps. Les températures imposées aux bords décroissent donc de manière proportionnelle au temps écoulé.
Les domaines de calculs sont maillés avec des éléments structurés carrés de taille 𝐿 (pour ce modèle, comme indiqué dans le Tableau 0-2, on a 𝐿 = 250 µ𝑚). Certaines zones de ces domaines sont raffinées afin d’obtenir une meilleure résolution pour les calculs : les bords de la cavité et le bord commun aux deux domaines, ainsi que la zone proche de l’interface solide/liquide, sont maillés avec des éléments similaires de taille 𝐿/4. Des mailles de taille 𝐿/2 assurent le passage des mailles de taille 𝐿 aux mailles de taille 𝐿/4. Le domaine associé à la cavité contenant la charge à solidifier est en
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 Abscisse (m) T em p ér at u re ( K )
Condition initiale : profil axial de température
Chapitre II. Modélisation thermique et hydrodynamique
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réalité décomposé en deux maillages, comme représenté sur la Figure II-8 : un maillage fixe et un maillage glissant. Le maillage fixe n’est pas particulièrement raffiné au centre de la cavité, tandis que le maillage glissant a une zone maillée finement, qui permettra d’avoir une bonne résolution de calcul au voisinage de l’interface. La position de ce maillage glissant sera ajustée au cours du calcul afin de suivre la position de l’interface solide/liquide.
Figure II-8 : Décomposition du maillage de la cavité en un maillage fixe (à gauche) et en un maillage glissant (à la même échelle, à droite). Des zones de raccordement Overset Mesh sont définies entre le maillage d’arrière-plan et le maillage mobile afin d’assurer la continuité des champs d’un maillage à
l’autre. La configuration finale est représentée en Figure II-6. Le vecteur 𝑔⃗ représente la gravité. Afin de réaliser le calcul sur ces deux maillages comme s’il s’agissait d’un seul domaine de calcul, des conditions aux limites de raccordement Overset Mesh sont appliquées sur les bords supérieurs et inférieurs du maillage glissant. Comme indiqué en partie II.B, ce type de condition aux limites permet d’assurer la continuité des champs entre les deux maillages grâce à des interpolations. Les autres bords du maillage glissant coïncident parfaitement avec les bords du maillage fixe, tout au long du calcul. Les conditions aux limites appliquées sur ces bords sont donc identiques à celles appliquées sur les bords du maillage fixe.
Pour réaliser la simulation et résoudre les équations en régime instationnaire, le solveur du logiciel est paramétré avec un pas de temps, noté ∆𝑡. Le solveur instationnaire du logiciel utilise un schéma numérique implicite au premier ordre en temps pour réaliser la simulation. Enfin, la valeur du paramètre 𝜀 est choisie en accord avec la taille des mailles dans la zone prévue pour l’interface solide/liquide, soit 𝜀 = 0,5 𝐾 (voir Équations (II-2) et (II-3)).