Mise en évidence de la linéarité de la traction

Liu et Marshall (2004) ont mis en évidence une corrélation linéaire entre la force de traction sur la pale et l’amplitude du déficit de vitesse axiale dans le tourbillon. Leur travaux sont basés sur la simulation numérique de l’interaction entre une pale fixe et un tourbillon en translation, tel que présenté sur la figure 1.6 page 5. Nous avons cherché à voir si cette linéarité était toujours valide dans notre cas d’interaction entre une pale tournante et un tourbillon advecté suivant son axe. Pour cela, comme Liu et Marshall, nous avons dans un premier temps étudié les valeurs du maximum de traction, puis nous avons mis en place un coefficient de traction adapté, indépendant de la vitesse axiale.

La figure 5.21 présente l’évolution du maximum de fluctuation du coefficient de traction f

CT

max

en fonction de l’amplitude du déficit de vitesse axiale, pour l’interaction avec un tour- billon de Batchelor et un déficit gaussien. Nous avons choisi de garder l’amplitude de la vitesse tangentielle constante pour cette étude et de ne faire varier que l’amplitude du déficit de vitesse axiale. Il est donc naturel de voir une variation similaire du maximum pour les deux types d’in- teractions. La valeur du maximum croît linéairement avec l’amplitude du déficit axial, comme l’ont observé Liu et Marshall. Le coefficient directeur est similaire pour les deux courbes.

Liu et Marshall ont également défini un coefficient de traction adapté qui est indépendant de l’amplitude du déficit axial. Dans notre cas, nous avons choisi de définir la fluctuation de ce coefficient de traction adapté comme le ratio entre la fluctuation du coefficient de traction et l’amplitude adimensionnée du déficit de vitesse axiale :

f CT ′ = fCT vh vmax_a (5.5)

Nous avons observé sur la figure5.12page88que la traction pour l’interaction avec un tourbillon de Batchelor est la somme de la traction pour l’interaction avec un tourbillon de Lamb-Oseen ( fCT LO) et un déficit de vitesse gaussien ( fCT G), autrement dit : fCT = fCT LO + fCT G. Dans la mesure où la contribution tangentielle est constante et non nulle, nous n’étudions que le coefficient adapté pour l’interaction avec le déficit de vitesse gaussien, fCT

′

G. La figure 5.22 page94 montre l’évolution de ce coefficient adapté sur un intervalle resserré autour de l’angle d’interaction. Les valeurs sont semblables entre les courbes et montrent un effet d’auto-similarité pour la traction.

Nous en concluons que, comme l’ont mesuré Liu et Marshall dans leur cas d’interaction, la traction due à la composante gaussienne est proportionnelle à l’amplitude du déficit de vitesse axiale.

∗ ∗ ∗

Dans ce chapitre, nous avons dans un premier temps étudié la réponse de l’interaction avec les composantes de vitesse séparées du tourbillon de Batchelor : la composante tangentielle, ap- pelée tourbillon de Lamb-Oseen, et la composante axiale, appelée déficit gaussien. Nous avons donc effectué une simulation pour chaque composante. Nous avons vu que la composante tan- gentielle a une influence répartie sur l’ensemble de la pale, tandis que la composante axiale est localisée sur le lieu de l’interaction. Nous avons vu que la réponse acoustique des composantes reflète ce comportement. La composante tangentielle est responsable des premières harmoniques, puisqu’elle est due à des grandes longueurs d’onde, tandis que celle de la composante axiale l’est pour les harmoniques de plus haut rang, puisque due à des longueurs d’onde plus faibles. La transition entre les deux zones fréquentielles a lieu entre 2 et 21BPF, où apparaissent des inter- férences constructives entre les contributions. Nous avons aussi vu que les contributions ont une directivité acoustique de forme dipolaire dans les deux cas, mais que les lobes de la contribution tangentielle sont orientés dans le sens de rotation de la pale, ce qui n’est pas le cas de ceux de la contribution axiale. La contribution tangentielle a une directivité qui évolue d’une forme dipolaire pour les premières harmoniques à quadripolaire, cette transition apparaissant pour f = 26BPF. Nous avons vu que la réponse aérodynamique et acoustique des deux contributions est linéairement superposable. Nous avons dans un second temps étudié la réponse de l’interac- tion pour différents ratios de vitesse tangentielle/axiale, exprimés par le nombre de swirl. Nous avons réalisé deux simulations supplémentaires en ne modifiant que l’amplitude de la vitesse axiale. Nous avons également calculé la contribution de chaque composante de vitesse dans les deux cas, générant deux calculs supplémentaires. Nous avons vu que modifier l’amplitude de la composante axiale affecte uniformément la réponse de cette contribution. Nous avons vérifié que la réponse aérodynamique à cette variation est linéaire, comme indiqué dans la littérature.

Ceci nous permet d’avoir une meilleure compréhension de la contribution de chaque compo- sante de vitesse sur l’interaction. Cependant, le rayon d’interaction reste fixe dans cette étude. Nous avons vu que ce paramètre a une influence sur le type de source de la contribution tangen- tielle. L’analyse de son influence fait l’objet du chapitre suivant.

Étude de l’influence de la hauteur de

pale

Nous souhaitons étudier dans ce chapitre l’influence de la hauteur de pale, qui détermine directement le lieu de l’interaction pour une position donnée du tourbillon. Pour cela, nous allons dans un premier temps choisir les hauteurs de pale à simuler, puis organiser les différentes simulations. Nous comparerons ensuite les résultats obtenus avec le cas de référence, dans le but de mettre en évidence l’effet du saumon sur l’interaction, sachant que ce phénomène a été étudié analytiquement par Roger et al. (2014) et numériquement par Yang, Veldhuis et al. (2017) de façon limitée. Nous mettrons ensuite en évidence la valeur la plus défavorable du rayon d’interaction. Enfin, nous étudierons la transition du type de source acoustique pour un tourbillon purement tangentiel.