Milieux continus ` a gradient covariant et application `a la propa-

propa-gation d’ondes ´elastiques au sein d’un milieu defectueux

Dans cette derni`ere partie, on ´etudie la propagation d’ondes ´elastiques au moyen de la g´eom´etrie diff´erentielle et notamment `a travers la structure de Riemann-Cartan que l’on peut supposer pour la vari´et´e mat´erielle associ´ee `a un continumm contenant des d´efauts.

On commencera par introduire les notions issues de la g´eom´etrie diff´erentielle d’une vari´et´e RC. Plus pr´ecis´ement on pr´esentera en d´etail comment on peut obtenir une telle structure aux moyens des triads, ce qui nous conduira n´ecessairement aux concepts de transport parall`ele et de d´eriv´ees covariantes via la connexion ∇. Sous l’hypoth`ese de compatibilit´e avec la m´etrique, on peut d´ecomposer l’op´erateur ∇ en deux parties. L’une correspond `a la connexion de Levi-Civita∇ d´ecrite par les symboles de Christof-fel Γ^λ_αβ alors que l’autre est le tenseur de contortion K exprim´e par la m´etrique et la torsion. On finira ces rappels par une discussion sur le lien entre la torsion et la densit´e de dislocation ainsi que les ordres de grandeurs qu’il nous faudra utiliser pour les exemples num´eriques.

Ensuite on s’int´eressera `a la formulation g´en´erale d’un probl`eme d’´elasticit´e sur une telle structure diff´erentielle. La nature ´elastique du probl`eme nous permet toujours de d´efinir un champ de d´eplacement li´e au mouvement consid´er´e. L’hypoth`ese de petites perturbations nous autorise alors `a supposer que la densit´e de dislocations n’est pas modifi´ee par le mouvement, quitte `a r´eduire l’ordre de grandeur usuel pour les petites perturbations. En d’autres termes, le tenseur de torsion est vu comme un param`etre de notre mod`ele. L’id´ee consiste ainsi `a r´e´ecrire les ´equations de conservation au moyen de la connexion ∇ = ∇ + K dans le cas simple de la loi de Hooke. `A cette occasion, on discutera de la d´efinition de la d´eformation. En effet, en ´elasticit´e, le tenseur de d´eformation est exprim´e par le gradient du d´eplacement et donc naturellement on peut le d´efinir ici au moyen de la d´eriv´ee covariante issue de la connexion∇. Une approche

Contribution du travail de th`ese 35

diff´erente serait de n´egliger les effets des d´efauts sur la d´eformation auquel cas on se re-streint `a exprimer la d´eformation par la connexion de Levi-Civita de torsion nulle. Dans un souci de questionner ces deux approches, on d´eveloppera la th´eorie afin d’´etablir les ´equations de Navier dites g´en´eralis´ees pour la d´eformation spatiale (torsion nulle) et la mat´erielle qui tient compte de l’influence de la densit´e de dislocations.

Enfin, on se propose d’illustrer la diff´erence entre ces deux mod`eles par l’´etude d’un exemple plus simple construit pour une densit´e constante de dislocations vis toutes de mˆeme orientation. On obtient alors les relations de dispersion ainsi que la polarisa-tion des ondes qui s’av´erent quasi-transverses ou quasi-longitudinales dans chacun des deux cas. Les deux mod`eles impliquent des comportements anisotropes et des vitesses de propagations l´eg`erement modifi´ees par rapport aux probl`emes classiques d’ondes ´elastiques. La prise en compte d’une d´eformation mat´erielle offre des effets int´eressants tels que des modes de respiration pour un d´eplacement uniforme, qui sont connus en particulier pour les milieux granulaires. Le deuxi`eme effet est mis en ´evidence pour le r´egime haute fr´equence dans lequel on obtient une illustration de l’escalier en spirale de Cartan [LH10] que ce dernier introduisit au d´ebut de ses travaux sur le tenseur de torsion. En effet on montre qu’il existe une onde transverse dont la polarisation effectue une rotation autour de l’axe de propagation. La p´eriode et le sens de rotation d´ependent non seulement de la direction de propagation mais aussi de la densit´e de dislocation.

Chapter 2

Multiple scattering: acoustical

wave in random media

In this chapter we focus on propagation of waves within a medium with discrete cylin-drical obstacles oriented toward the same direction. For the sake of simplicity, we suppose that the ambient space and the obstacles are acoustic so that we dedicate our investigations to the acoustical potential: Only longitudinal waves propagate. We restrict the study to the case where the problem is invariant for each translation in the direction of cylinders. Therefore we consider to a infinite 2D medium Ω₀, with density ρ₀ and celerity c₀, containing N circular scatterers with radius a_i denoted s_i and Ω₁ = ∪i=N

i=1s_i. Cylinders are defects insofar as their mechanical constants ρ_i and celerity c_i are different from ρ₀ and c₀ for all i ∈ {1, . . . , N}. In the following, we deal with mono-dispersive problems i.e every scatterers have the same mechanical and geometrical properties. The multiple scattering problem is then to model the wave propagation within this medium. We will first begin with the simple cases of N = 1 and N = 2 to finish with the case for N being arbitrary. In the second section we recall the tools of set average to model the medium as an effective one with effectivewave number during wave propagation. We will denote r the vector given by the cylindrical coordinates (r, θ) that is to say r = (r cos θ, r sin θ).

2.1 Basics on scattering

In this section we recall basics on mathematical background concerning the eigenfunc-tions of the Helmholtz equation and the simple example of scattering by one inclusion to introduce the formalism of our study.