Microfractured media with a scale and Mumford-Shah energies

lieux ´elastiques micro-fissur´es. En raison du comportement diff´erent par rapport au changement d’´echelle de l’aire et du volume (ou de longueur et de l’aire en 2D) la m´ethode traditionnelle d’homog´en´eisation qui emploie des tableaux p´eriodiques des cellules semble ´echou´er, une fois appliqu´e `a la fonctionnelle Mumford-Shah et aux do- maines p´eriodiquement micro-fissur´es.

Dans cet article nous nous ´ecartons de l’homog´en´eisation traditionnelle. Le prin- cipal r´esultat concerne l’utilisation des ´energies de Mumford-Shah et m`ene `a une ex- plication de la concentration observ´ee de l’endommagement dans les corps ´elastiques micro-fissur´es.

Le premier r´esultat d’homog´en´eisation, au sujet de la fonctionnelle Mumford-Shah semble ˆetre dˆu `a Braides, Defranceschi, Vitali [18]. L’article de Focardi , Gelli [58] (voir aussi les r´ef´erences l`a-dedans) fait partie d’une autre piste de recherche qui pourrait ˆetre pertinente pour cet article: homog´en´eisation des domaines perfor´es.

Le r´esultat principal de cet article concerne l’utilisation de l’´energie Mumford-Shah pour donner une explication de la concentration d’endommagement observ´ee dans les corps ´elastiques micro-fissur´es.

Au lieu d’effectuer une homog´en´eisation de l’´energie du corps micro-fissur´e et d’´etudier alors les minima de l’´energie homog´en´eis´ee, nous proc´edons d’une mani`ere diff´erente. Nous ´etudions une suite des probl`emes sur des corps ´elastiques contenant une distri- bution p´eriodique des fissures, avec la configuration de r´ef´erence Ωε, indic´ee par un param`etre d’´echelle ε. Pour chaque ε la configuration Ωε est compos´ee d’un nombre M(ε) ≈ ε−3

des cellules fissur´ees de dimension ε. Pour chaque ε on a un probl`eme de minimisation d’une fonctionnelle Mumford-Shah pour lequel on peut prouver l’existence d’une solution. Notons avec N (ε) le nombre de cellules endommag´ees de la configu- ration Ωε. Nous prouvons une estimation de la grandeur de N (ε) qui montre que N(ε) ≈ ε−2. Cela veut dire que l’endommagement a tendance `a se concentrer en bandes de petit volume, ce qui est conforme aux resultats exp´erimentaux.

5

Bipotentiels

5.1

Description du sujet

Les outils de base de la m´ecanique de milieux continus sont les ´equation de compatibilit´e cin´ematique et d’´equilibre. De l’information additionnelle doit ˆetre fournie par les lois constitutives traduisant le comportement mat´eriel. Sous sa forme la plus simple, une loi de comportement est donn´ee par un graphe rassemblant des couples des variables duales; souvent ce graphe r´esulte de l’essai exp´erimental.

Pour beaucoup de situations physiquement pertinentes, les lois de comportement sont multivoques et ´egalement associ´ees. Le graphe d’une telle loi constitutive est in- clu dans le graphe du sous-differentiel d’un surpotentiel φ (qui est aussi semi-continu inf´erieurement ). La loi de comportement prend la forme d’une inclusion diff´erentielle, y ∈ ∂φ(x). Tout surpotentiel φ a une fonction polaire φ∗

qui satisfait une relation fondamentale, l’in´egalit´e de Fenchel, ∀x, y φ(x) + φ∗

(y) ≥ hx, yi. La loi de comporte- ment peut ˆetre ´egalement ´ecrite comme x ∈ ∂φ∗

(y). Dans la litt´erature, ce genre de mat´eriaux s’appellent souvent des mat´eriaux standard ou des mat´eriaux standard g´en´eralis´es [74].

Du point de vue des applications, il est important de savoir si un surpotentiel existe pour un graphe donn´e, et de le construire. La r´eponse `a ce probl`eme est fournie par un th´eor`eme c´el`ebre dˆu `a Rockafellar [96] qui assure qu’un graphe admet un surpotentiel si et seulement si le graphe est cycliquement monotone maximal.

Cependant, certaines lois de comportement sont non-associ´ees. Elles ne peuvent pas ˆetre trait´es dans le cadre des mat´eriaux standard. Pour contourner ce probl`eme, une r´eponse possible, propos´ee d’abord dans [98], consiste `a construire une fonction b `a deux variables, bi-convexe, qui satisfait une in´egalit´e g´en´eralisant celle de Fenchel, c.a.d. ∀x, y b(x, y) ≥ hx, yi. G. de Saxc´e appelle une telle fonction bipotentiel. Physiquement, le bipotentiel repr´esente la dissipation. Dans le cas des lois de comportement associ´ees, le bipotentiel est s´epar´e : b(x, y) = φ(x) + φ∗

(y).

Quant aux lois de comportement non associ´ees qui peuvent ˆetre exprim´ees avec l’aide des bipotentiels, elles ont la forme d’une relation implicite entre les variables duales, y ∈ ∂b(·, y)(x). En m´ecanique, nous dirons que ces lois sont des lois de nor- malit´e implicites ou faibles. Les applications des bipotentiels `a la m´ecanique des solides sont diverses: la loi du frottement du Coulomb [99], le mod`ele non-associ´e de Dr¨ucker- Prager [100] et le mod`ele Cam-Clay [101] en m´ecanique des sols, la plasticit´e cyclique ([99], [13]) et la viscoplasticit´e [77] des m´etaux avec une loi cin´ematique non lin´eaire d’´ecrouissage, la loi d’endommagement de Lemaitre [12], les lois coaxiales ([53], [113]). De tels mat´eriaux s’appellent des mat´eriaux standard implicites. Un synth`ese concer- nant ces lois exprim´ees en termes de bipotentiels peut ˆetre trouv´e dans [53] et [113].

L’utilisation des bipotentiels dans les applications est particuli`erement attrayante dans des simulations num´eriques par la m´ethode des ´el´ements finis, mais l’int´erˆet n’est pas limit´e `a ces aspects. Par exemple, les th´eor`emes de borne de l’analyse limite ([103],

[16]) et de la th´eorie de l’adaptation plastique ([105], [53], [17], [14]) peuvent ˆetre reformul´es dans le cadre plus large des lois faibles de normalit´e. D’un point de vue num´erique appliqu´e, la m´ethode du bipotentiel sugg`ere de nouveaux algorithmes, rapi- des mais robustes, comme les estimateurs variationnels d’erreurs ´evaluant la pr´ecision du maillage en ´el´ements finis ([75], [76], [102], [104], [15], [78], [79]). Les applications `a la m´ecanique de contact [55], `a la dynamique des mat´eriaux granulaires (([56], [57], [62][106]), `a la plasticit´e cyclique des m´etaux [102] et `a la plasticit´e de sols ([11], [78]) illustrent la pertinence de cette approche.

5.2

Contributions

Mes contributions `a ce sujet sont due `a une collaboration avec G. de Saxc´e (qui a introduit les bipotentiels) et C. Vall´ee:

[97] G. de Saxc´e, M Buliga, C. Vall´ee, C. Lerintiu, Construction of a bipotential for a multivalued constitutive law, PAMM, 6 , 1 (December 2006), Special Issue: GAMM Annual Meeting 2006 - Berlin

[25] M. Buliga, G. de Saxc´e, C. Vall´ee, Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued laws, J. of Convex Analysis, 15, 1, (2008)

[26] M. Buliga, G. de Saxc´e, C. Vall´ee, Construction of bipotentials and a minimax theorem of Fan, (submitted),

http://arxiv.org/abs/math.FA/0610136, (2006)

5.3

R´esum´es des articles

5.3.1 Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued