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METHODOLOGIE DE RESOLTION DU SYSTEME D’EQUATION DIFFERENTIEL

THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES

METHODOLOGIE DE RESOLTION DU SYSTEME D’EQUATION DIFFERENTIEL

Les conditions aux limites sont telles que :

CHAPITRE 3 : THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES différentielles d’ordre 1 et devient :

'

Avec les conditions aux limites:

1 1 max

CHAPITRE 3 : THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES

UAC, Octobre 2014 65

Pour la résolution de ce système d’équation différentielle, nous avons recours au une méthode numérique de résolution d’équations différentielles : la méthode de tir.

Décrivons la méthode de tir pour le système d'équations de premier ordre de type:

y '

a b

A x y r x

B y a B y b (59)

où Bb, Ba et A sont des matrices tandis que y', y, r(x), y (a), y(b) et β représentent des vecteurs.

La solution du système précédent est donnée par l'expression :

y Y x s t x (60)

Y(x) : (une matrice) est une solution fondamentale,

s : est un vecteur constant, et t : une solution particulière.

La solution fondamentale Y(x) est celle du système : '

Y A x Y

Y a I (61)

La solution particulière est déterminée par la solution du problème aux valeurs initiales

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t ' A x t r x( )

t a (62)

avec α un vecteur quelconque, souvent α = 0.

Alors, pour trouver la solution du problème (59) qui est donnée par (60) on doit d'abord résoudre n colonnes, chacune représentant un système de n équations différentielles pour Y(x) (61) et une colonne (62) de n équations différentielles pour le vecteur t. En tout n+1 systèmes aux valeurs initiales de taille n. En plus, l'application de (60) demande la connaissance du vecteur s. D'une manière semblable à celle développée pour une seule équation, on remplace la formule (60) dans l'expression (59) pour la condition aux frontières. Ceci conduit à :

a b

a b a b

B Y a s t a B Y b s t b B BY b s B t a B t b

On constate facilement que le calcul de s implique la résolution du système de n équations :

a b a b

B BY b s B t a B t b (63)

En résumé, les étapes nécessaires pour la résolution du système (59) sont les suivantes :

1. Résolution des équations (61) et (62). Ceci fournit Y(b) et t(b)

2. Calcul de s en résolvant le système (63)

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3. Calcul de y (a) = s + t(a) (60)

4. Résolution du système (59) avec la nouvelle condition y(a) ALGORITHME DE RESOLUTION

1. Définir la fonction-matrice A x 2. Définir la fonction-vecteur r x 3. Définir les matrices Ba et Bb. 4. Définir le vecteur condition

5. Résoudre par la méthode de Runge-Kunta d’ordre 4 le système '

Y A x Y Y a I

6. Résoudre par la méthode de Runge-Kunta d’ordre 4 le système t ' A x t r x( )

t a

7. Identifier Y(b) et t(b) à partir des résolutions précédentes.

8. Résoudre le système d’équations linéaires d’inconnues réelles :

a b a b

B BY b s B t a B t b 9. Calculer y (a) = s + t(a)

10. Reprendre le système d’équations (59) avec la nouvelle condition y(a).

Etape 1

CHAPITRE 3 : THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES

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CHAPITRE 3 : THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES d’équations différentielle d’ordre 1 avec condition initiale.

L’algorithme global de résolution de ces types de système se présente comme suit :

1. Etant donné un pas de temps h, conditions initiales (to, y1,0, y2,0, … ym,0) et un nombre maximal d’itérations N

2. Pour 0 n N

CHAPITRE 3 : THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES soient 36 fonctions inconnues.

CHAPITRE 3 : THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES

Ainsi la fonction fij utilise les 6 composantes de la ligne i de A(x) et les 6 composantes de la colonne j de Y(x).

Etape 6

La mise en œuvre de cette étape suit le même algorithme que celui de l’étape 5. soient 6 fonctions inconnues.

Il nous faut donc 6 fonctions gi telles que :

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Etape 7

Les valeurs de y(b) et t(b) sont obtenues à la fin des itérations de résolution des systèmes d’équations différentielles des étapes 5 et 6.

Etape 8

La matrice principale de ce système n’est pas à diagonale strictement dominante car l’élément 3x3 a une valeur absolue inférieure à la somme des éléments de sa ligne. Nous proposons pour la résolution du système, la méthode directe à élimination de Gauss.

Etape 9

en posant α=0 ⟹t(a)=0 on a y(a)= s

Etape 10

Reprendre l’étape 5 avec le nouveau y(a).

Validation

Pour valider l’algorithme il s’agira de revérifier le système à partir de la méthode numérique en utilisant la méthode des différences finies.

Pour cela il faut réintroduire la solution dans le système de base et représenté les deux fonctions obtenues en faisant la différence des deux membres des équations différentielles.

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CHAPITRE 4 :

APPLICATION

CHAPITRE 4 : APPLICATION

SOMMAIRE

CARACTERISTIQUESGEOMETRIQUESDUGRENIER ... 76 CARACTERISTIQUESPHYSIQUESDESGRAINS ... 76 CHARGESAGISSANTSURLAPAROIDUGRENIER... 77 RAPPELDESCRITERESCLASSIQUESDERESISTANCE[33] ... 78 CARACTERISTIQUESDUMATERIAUBANCO ... 80 RESULTATS ... 82 ANALYSEDESRESULTATS ... 89 ÉTUDEDEL’EFFETREMPLISSAGE/VIDANGE ... 91 INFLUENCEDELACOURBURE ... 100 JUSTIFICATIONDELAPAROI ... 101 REDIMENSIONNEMENT ... 103

CHAPITRE 4 : APPLICATION

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L’analyse des coques paraboloïde à paroi mince en élasticité linéaire soumises aux cas de charges de type silo est complexe.

Pour résoudre analytiquement le problème, plusieurs hypothèses sont à formuler sur la théorie des coques et sur les charges à considérer.

Les hypothèses adoptées dans la formulation sont les hypothèses de Kirchhoff-Love. Les relations entre déformations 𝜖𝜑 et 𝜖𝜃 de la coque et les efforts Nφ et Nθ par unité de longueur d’une part et entre les courbures ψφ et ψθ et les moments Mφ et Mθ par unité de surface d’autre part sont données par les équations (44), (47), (48) , (51), (52), (53) et (54) au chapitre 3.

Les charges à considérer dans cette analyse sont axisymétriques et correspondent aux pressions de la matière ensilée sur les parois des silos à la fin du remplissage. Ces pressions sont calculées selon la norme l’Eurocode 1.

Dans ce chapitre, nous appliquons le modèle analytique élaboré dans le chapitre précédent à un grenier type proposé par l’Institut National de Recherche Agronomique du Bénin (INRAB) à travers un calcul statique et dynamique de la paroi du grenier en vue de sa justification mécanique.

Les caractéristiques géométriques du grenier et les caractéristiques des grains seront entrées au programme de résolution du système d’équations différentielles.

CHAPITRE 4 : APPLICATION

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Figure 19 : Chargement/déchargement du grenier en terre

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