CHAPITRE 3 PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE
3.4 Mesures magnétiques
Dans cette section, on aborde l’aspect électromagnétique derrière les mesures magnétiques. Les variables employées, le traitement des données et les corrections appliquées aux courbes B-H sont présentés formellement.
Pour chaque pas de temps, le montage mesure et enregistre les variables suivantes : — le courant I sortant de l’amplificateur de puissance ;
— la tension V2 induite aux bornes de la bobine de mesure ;
— la tension V1 aux bornes de l’amplificateur de puissance alimentant la bobine d’exci- tation ;
— la tension aux bornes du thermocouple.
On considère la nomenclature établie à la figure 3.9b, 3.11a et 3.11b. En règle générale, ce travail emploie les indices 0, 1 et 2 pour associer une variable à l’échantillon, la bobine d’excitation et la bobine de mesure, respectivement. Ceci permet de garder une logique derrière la nomenclature des multiples diamètres, sections et mesures de flux magnétiques. Le processus de traitement des données est schématisé à la figure 3.12. Les données brutes forment une courbe B-H qui nécessite une correction. Celle-ci consiste à filtrer numérique- ment le bruit sur le champ magnétique, à soustraire la dérive de B et à recentrer la courbe B-H résultante. Cette section détaille le calcul des différents paramètres de la courbe, puis le calcul sous-jacent aux trois corrections appliquées.
3.4.1 Présentation des variables et du calcul de B et H
La tension induite dans la bobine de mesure V2 provient du flux magnétique 2 traversant les N2 spires de section moyenne ÈS2Í telle qu’à la section 2.3.3.2 :
2 = ⁄ ≠V2 N2 dt = ⁄ S2 BdS . (3.3)
On fait une distinction entre ce flux magnétique total 2, et le flux magnétique 0 restreint à la section de l’échantillon S0, telle que
2 = 0+ ⁄
S2≠S0
µ0HdS , (3.4)
car le matériau qui consitue la surface entre S2 et S0 est considéré comme ayant une per- méabilité magnétique µ0. Ultimement, on cherche à calculer B0 à partir des mesures de V2,
soit ⁄ S0B0dS = 2≠ ⁄ S2≠S0µ0HdS (3.5) =⁄ ≠V2 N2 dt ≠ ⁄ S2≠S0µ0HdS . (3.6)
L’intégrale de la densité de flux B0, soit une distribution qui n’est pas forcément uniforme, sur la section de l’échantillon S0 revient à prendre la valeur moyenne ÈB0Í de manière, cette fois, uniforme sur la section :
ÈB0ÍS0 = ⁄
S0B0dS . (3.7)
Cependant, nous posons maintenant l’hypothèse, pour simplifier l’analyse, que le champ magnétique H et la densité de flux magnétique B0 sont parfaitement uniformes sur la section de l’échantillon bien que ce ne soit pas le cas en réalité. Pour alléger la notation, on fait dorénavant référence à la densité de flux magnétique magnétique B0 comme étant la valeur moyennée ÈB0Í sur la surface (B0 … ÈB0Í). Ceci nous permet d’écrire simplement
B0S0 = ⁄ ≠V2 N2 dt ≠ µ0H(S2≠ S0) (3.8) et B0 = 1 S0 3⁄ ≠V2 N2 dt ≠ µ0HS2 4 + µ0H . (3.9)
Cependant, le champ magnétique réel est non uniforme sur la section de la bobine de mesure et sur la section de l’échantillon par deux phénomènes. Premièrement, le parcours magné- tique n’est pas uniforme dans la section d’une bobine toroïdale. Cet aspect est étudié à la section 5.5. Pour certaines courbes d’hystérésis, dont celles étudiées dans ce travail, l’erreur commise est faible. Une deuxième source de non-uniformité, étudiée à la section 5.6, provient de l’effet de peau à l’intérieur d’un matériau conducteur et ferromagnétique.
Quant au champ magnétique, il est calculé à partir de la mesure de courant I dans les N1spires de la bobine d’excitation. Dans un toroïde centré à l’origine d’un système de coordonnées cylindriques (fl, ◊, z), il s’exprime par :
H(fl) = N2fifl1I . (3.10)
magnétique au centre de la section. Ceci correspond au grand diamètre D du toroïde. Ce diamètre s’applique aux deux enroulements, car ils ont des sections concentriques.
3.4.2 Corrections appliquées aux données
À partir des vecteurs de données I et V2, on calcule les vecteurs de points H et B, puis on calcule trois corrections :
— le filtrage des hautes fréquences dans le champ magnétique H ; — la dérive de la densité de flux magnétique B ;
— le décalage de la courbe, en terme de B, pour obtenir une courbe B-H centrée. La figure 3.13 montre une courbe B-H brute, la même courbe avec corrections, et un gros plan des deux extrémités de la courbe corrigée.
3.4.2.1 Filtre numérique sur le champ magnétique
On choisit d’appliquer un filtre numérique passe-bas sur le courant mesuré. La fréquence de coupure est définie à 50 Hz. Ce filtre ne détériore pas la qualité des résultats. La figure 3.7 montre que le contenu harmonique nécessaire pour générer un flux magnétique sinusoïdal à 2 Hz est bien en dessous de la fréquence de coupure. On obtient des courbes d’hystérésis plus lisses, ce qui facilite les calculs employant la dérivée ˆB/ˆH, soit dans le calcul d’erreur du chapitre 5 ou dans une simulation FEM transitoire.
3.4.2.2 Correction de la dérive de B
Lors d’une mesure magnétique, plusieurs cycles sont complétés pour assurer que la mesure retenue soit représentative du régime permanent. Les courbes obtenues pour chaque cycle de- vraient se superposer, mais, en réalité, on observe une dérive de la densité de flux magnétique B. Celle-ci est visible à la figure 3.13a. Une telle dérive indique une différence de potentiel continue aux bornes de la bobine de mesure tout au long de l’acquisition. Ce comportement n’est pas possible dans un modèle de bobine de mesure parfaite où un champ magnétique al- ternatif, en régime permanent, induit une tension alternative. On soupçonne qu’une différence de potentiel entre la mise à la Terre de l’amplificateur et celle de la carte d’acquisition soit à l’origine de la tension continue sur le signal V2. L’hypothèse d’une superposition parfaite permet de corriger cette dérive sur B telle qu’illustrée à la figure 3.13b.
En guise de points de référence, on identifie les minimums du champ magnétique et on calcule la dérive en densité de flux magnétique Bsat|i+1≠Bsat|iau bout d’un cycle identifié par l’indice i. La correction de B est appliquée sous la forme d’un polynôme de degrée 1 en fonction du
temps :
Bcorrigée(t) = B(t) ≠ correctionB(t) (3.11)
où
correctionB(t) =
Bsat|i+1≠ Bsat|i t(Bsat|i+1) ≠ t(Bsat|i)
1
t≠ t(Bsat|i) 2
. (3.12)
Chaque cycle possède son propre vecteur de correction correctionB(t). La correction, incluant
tous les cycles, est une fonction continue. Cette correction équivaut à l’intégration de la tension DC de la bobine de mesure au cours du cycle.
Pour remédier aux légères différences d’amplitude de H d’une extrémité négative à l’autre, on emploie une extrapolation de type tangente hyperbolique à quatre paramètres, soit p1, p2, p3 et p4, telle que :
B(H) = µ0H+ p1tanh (p2H+ p3) + p4 . (3.13) Seules les données entre ≠16 kA/m et ≠10 kA/m de la branche décroissante, celle ayant une valeur de magnétisation supérieure à l’autre branche en tout point, participent à la détermination des paramètres de l’extrapolation. Si on utilisait l’extrémité positive comme référence, la branche croissante serait alors employée dans l’extrapolation.
À la saturation négative, la superposition obtenue est bonne, car ce segment de données a été employé dans le calcul de la correction. À la saturation positive, l’erreur de superposition est à son maximum avec une valeur de ~14 mT. Plusieurs raisons peuvent être à l’origine de cette erreur. La tension dite continue, présente sur la tension induite V2, n’est pas tout à fait constante au travers d’un cycle. Si cette tension continue provient d’une différence de référence à la masse, les fluctuations de la résistance de la charge peuvent l’influencer. Il est difficile de déterminer exactement la cause de cette tension DC, mais le résultat semble être une courbe d’hystérésis cohérente avec une erreur acceptable de 14 mT.
3.4.2.3 Recentrage la courbe B-H
Une translation en B est appliquée pour que les densités de flux rémanente, positive et négative, soient symétriques par rapport à l’abscisse. Ceci est nécessaire lorsque l’échantillon ferromagnétique n’est pas dans un état parfaitement démagnétisé à l’amorce d’une mesure magnétique. Bien qu’il soit possible d’obtenir cet état avec ce montage, la méthode proposée doit être rapide pour permettre une chauffe sans altérer les propriétés de l’échantillon. Il a été décidé d’économiser le temps supplémentaire lié à la démagnétisation. L’approche adoptée amorce la mesure magnétique dans un état connu, soit à la valeur maximale du champ magnétique. On accepte l’hypothèse que la courbe d’hystérésis des aciers ferromagnétiques
soit symétrique. Dans ce cas, le décalage de la courbe B-H n’induit aucun biais de mesure.
3.4.3 Utilisation typique en guise de mesure magnétique
À la section A.4, on montre que le fil de section circulaire utilisé dans la bobine d’excitation devrait avoir un grand diamètre tout en respectant la densité de courant maximale établie à 70 A/mm2. Ce montage permet des courants de 30 A, équivalent à un champ magnétique de 24 kA/m. Pour une même densité de spire, des échantillons de section ou de périmètre plus grands auront la même limite en champ magnétique. Cependant, la tension d’alimentation augmentera. Une tension maximale d’environ 120 V à l’amplificateur permet d’augmenter la résistance du fil jusqu’à 4 tout en conservant un courant de 30 A. Par contre, on voit à la section 5.4.2 qu’une tension de seulement 60 V à la bobine d’excitation est suffisante pour endommager la carte d’acquisition.