Notre objectif dans cette partie est de construire certaines mesures alatoires associes au superprocessus
X
. Soitune mesure positive
-nie sur Rd. Pour tout
" >
0, on noteV
("
) la mesure alatoire sur 01)Rd dnie par:Z
V
("
)(dsdy
)'
(sy
) = Z 1 0ds
Z(
dy
) ZX
s(dz
)p
("z
;y
)'
(sy
) o'
2Bb +( R +Rd). Remarquons que la fonction (
"sy
)7!(X
sp
(":
;y
)) est p.s. continue sur(01)R+
Rd. On en dduit que p.s. pour toute fonction
'
2Bb +(R +
Rd) support compact, l'application
"
7! (V
("
)'
) est continue. On dsire tudier la limite quand"
! 0 deV
("
). Intuitivement cette limite vautz
(sy
)ds
(dy
) oz
(sy
) serait la densit de lamesure
X
s(dy
) par rapport la mesure de Lebesgue, si cette densit existait.En fait, si on note
H
Tb l'ensemble des fonctions bornes de B(R +Rd) support dans 0
T
]Rd etH
b :=S
T>0
H
Tb, on a la proposition suivante:Proposition II.5.1
Supposons que la mesurev rie (H). Alors il existe une variable al a- toire not e;d nie sur(XGX) valeurs dans l'ensemble des mesures positives surR
+ Rd telle que p.s. pour tout
T >
0,(;
10T] Rd)
<
1 (II.27)
et telle que pour toute fonction
'
2H
b, on a p.s. lim"!0
(
V
("
)'
) = (;'
):
Le processus (Rt
0;(
dsdy
)'
(sy
)t
0) est adapt la ltration (GXt)t
0. Il est p.s. continu et on a: EX Z t 0 ;(
dsdy
)'
(sy
) = Z (dx
) Z t 0ds
Z(
dy
)p
(sy
;x
)'
(sy
):
(II.28) La formule (II.28) montre en particulier que la mesure ;(dsdy
) est p.s. porte par R+ supp
.
On xe
vriant (H) avec un coe#cient 2(01). La dmonstration de la proposition repose sur le lemme suivant:
Lemme II.5.2
Pour toute mesure 2M
f, pour tout entierp
, pour tout r elT >
0, il existe une constanteM
p telle que pour toute fonction'
2H
Tb, pour tous"
,"
0
>
0, pour toustt
0 2 0T
], on a EX h (V
("
)'
);(V
("
0)'
) 2p iM
pk'
k 2p"
;"
0 2p (II.29) EX (V
("
)'
1 tt 0 ]) 2pM
pk'
k 2pt
;t
0 2p:
(II.30)Preuve
du lemme II.5.2. La dmonstration est en deux tapes. On tablit dans une premire tape une formule de moment pour les mesures alatoiresV
("
).Soient
T >
0," >
0, et'
2H
Tb. On suppose dans un premier temps que la fonction'
(sy
) est continue en la variables
uniformment sur Rd. A l'aide de (II.2) et (II.3), on en dduit que l'application(
sx
)7!f
"(sx
) := Z'
(sy
)p
("x
;y
)(
dy
) est uniformment continue sur R+
Rd. Donc gr%ce au thorme II.4.7, p.s. le processus ((
X
sf
"(s
))s
0) est continu. De plus ce processus est nul pours
T
.Soit = (0 =
t
0::: t
l =T
) une subdivision de 0T
], on noteU
( ) := Pli=1(
t
i ;t
i;1)(X
tif
"(t
i)). Une application directe du corollaire II.4.5 donne pour tout entierp >
0:EX
U
( )p] =p
! p X k=1 (;1)k +pk
! X n1 ++nk=p k Y i=1 (c
ni(0)) (II.31) o les fonctionsc
n sont dnies par la rcurrence (II.17) avec la condition initialec
1(
rx
) := Ex Pl i=1(t
i ;t
i ;1) 1tir
f
"(t
iB
ti;r). Notons que sup kc
1
k
<
1. On en dduit que pour tout entierp
, sup EXU
( )2p<
1:
La famille
U
( )p o dcrit l'ensemble des subdivisions de 0T
] est donc uniformmentintgrable.
Par un argument de continuit, pour toute suite de subdivisions nies m de 0
T
] dont le pas tend vers 0, on a p.s.lim m!1
U
( m) = Z 1 0 (X
sf
"(s
))ds:
De plus il est clair que quand
m
!1, la fonctionc
m 1 converge versJ
"(rx
) :=Ex Z 1 0ds f
"(s
+rB
s) = Z 1 0ds
Z(
dy
)p
("
+sx
;y
)'
(s
+ry
):
Il en dcoule facilement que pour toutn
1 les fonctionsc
m
n convergent simplement vers les
fonctions
c
n, dnies par la rcurrence (II.17) et la condition initialec
1(rx
) =J
"(rx
). Par passage la limite dans (II.31), on obtientEX(
V
("
)'
) p =p
!Xp k=1 (;1)k +pk
! X n1 ++nk=p k Y i=1 (c
ni(0)):
(II.32) Par un argument de classe monotone, l'galit ci-dessus est vraie pour toute fonction'
2H
b. Ce rsultat se gnralise facilement une famille nie de fonctions et de mesures. Soit un entiern
, soient des mesures1
:::
n vriant l'hypothse (H), soient des fonctions'
1::: '
n2
H
b, soient des rels"
1
::: "
n strictement positifs, on a pour tout entier p: EX "" n X i=1 (V
i("
i)'
i) #p# =p
!Xp k=1 (;1)k +pk
! X n1 ++nk=p k Y i=1 (c
ni(0)):
(II.33) o les fonctionsc
n sont dnies par la rcurrence (II.17) avec la condition initialec
1(rx
) := Pn i=1 R 1 0ds
Ri(
dy
)p
("
i+sx
;y
)'
i(s
+ry
).Dans une deuxime tape, on utilise cette dernire formule pour dmontrer les majora- tions (II.29) et (II.30). Soit
T >
0 x. Soit une fonction'
2H
Tb. On conserve la notationJ
"(rx
) :=R1 0
ds
R
(
dy
)'
(s
+ry
)p
("
+sx
;y
). Remarquons qu'en utilisant successivement les majorations (II.1) et (II.2), il vient pour""
02(0
1]: jJ
"(rx
);J
"0(rx
)jc
k'
k Z T ;r 0ds
Z s+"s+" 0 ]du
u
2;c
k'
k1 0T](r
)"
;"
0 (II.34) o on a utilisu
^1cu
pouru
2 0T
+ 1].Nous appliquons alors (II.33) avec
'
1 = ;'
2 =
'
,"
1 ="
,"
2 ="
0 et1 =
2 =
. Remarquons que dans ce cas
c
1 =J
";
J
0"et donc d'aprs le calcul prcdent, on aj
c
1(rx
) jc
k'
k1 0T](r
) j"
;"
0 j. Une rcurrence simple montre
j
c
n(rx
)jc
k'
k n 1 0T](r
) j"
;"
0 j n.La majoration (II.29) dcoule alors de (II.33).
Pour la majoration (II.30), l'aide des arguments ci-dessus, on remarque qu'il su#t de montrer que
c
1(rx
) := Z 1 0ds
Z(
dy
)'
(s
+ry
)1 tt 0 ](r
+s
)p
("
+sx
;y
) est major parc
k'
k10T](
r
) jt
;t
0 j
. Or cette dernire majoration est une simple application
de (II.2). 2
Preuve
de la proposition II.5.1. Pour toute fonction'
2H
b, on pose ;0(
'
) := liminf"!0(
V
("
)'
):
On a vu au dbut de cette partie que p.s. pour toute fonction
'
2H
b, l'application"
7! (V
("
)'
) est continue sur (01). Le lemme de Kolmogorov et la majoration (II.29) montrent que cette application admet une limite droite en 0. En particulier, pour tout'
2H
b, p.s., liminf"!0(
V
("
)'
) = lim"!0(V
("
)'
).On dsire ensuite obtenir une formule pour les moments de ;0
. Pour cela, on part de
lemme prcdent. Remarquons que les arguments de la dmonstration de (II.34) entrainent la convergence de
J
"(rx
) versR1 0
ds
R
(
dy
)'
(s
+ry
)p
(sx
;y
) pour la convergence simple borne. La dnition des fonctionsc
nmontre alors que le terme de droite de (II.32) convergequand
"
!0. De plus d'aprs (II.29), (V
("
)'
) converge vers ; 0(
'
) dansL
p(PX) pour tout entierp
. Par passage la limite dans (II.32), on obtient alors une formule pour les moments de;0 : EX ;0 ('
)p =p
!Xp k=1 (;1)k +pk
! X n1++nk=p k Y i=1 (c
ni(0))o les fonctions
c
n sont dnies par la formule (II.17) avec la condition initialec
1(rx
) := R1 0
ds
R
(
dy
)p
(sx
;y
)'
(s
+ry
). On remarque alors gr%ce (II.2) que pour toute fonction'
2H
b, on aEX;0
(j
'
j)<
1.Montrons qu'il existe une variable alatoire; valeurs dans l'espace des mesures positives
surR +
Rd telle que pour toute fonction
'
2H
b, p.s. (;'
) = lim"!0(
V
("
)'
). On voit immdiatement que ;0est p.s. linaire (i.e. pour tous rels
a
,b
, pour toutesfonctions
'
2H
b, on a p.s.; 0(
a'
+b
) =a
;0(
'
) +b
;0(
)), p.s. positive (i.e. si'
2H
b est positive alors p.s.;0(
'
)0) et p.s. nie sur 0T
]Rd pour toutT <
1. Soit('
m)m 2N une suite croissante de fonctions positives deH
Tb qui converge simplement vers'
12
H
Tb. A l'aide de la formule pour les moments de ;0(avec
'
='
1;
'
m), et d'un argument de convergence domine, il est ais de vrier que ;0(
'
m) converge dansL
p(PX) vers ; 0(
'
1). Or la suite ;0(
'
m) est p.s. croissante et majore par ;0(
'
1), on en dduit qu'elle converge p.s. vers;0(
'
1).On utilise alors un rsultat sur l'existence de noyaux qui dcoule facilement de la proposi- tion 4.1 de 34]. Soient
E
un espace lusinien,(G) un espace mesurable et (Pi)i2Iune famille de probabilits sur (
G). Dans l'nonc suivant, p.s. signiePi-p.s. pour touti
2I
. Soit une application dnie sur ff
2B(E
)kf
k<
1g valeurs dans ^R, telle que pour toutef
2B(E
) borne, (f
) estG-mesurable.Lemme II.5.3
On suppose que est p.s. nie, lin aire positive et que pour toute suite crois- sante (f
m)m2N,f
m2Bb
+(
E
), qui converge versf
2Bb+(
E
), on a p.s. (f
m)"(
f
).Alors il existe un noyau ni
K
de (G) sur (E
B(E
)) tel que pour toute fonction born ef
2B(E
), on a p.s.K
(f
) = (f
).On applique le lemme en prenant (
G(Pi)i2I) = (
X
GX(PX)
2Mf), pour tout entier
n
,E
n :=nn
+ 1)Rd, et pour toutf
2 B(E
n), la variable alatoire n(f
) := ;0
(
f
). Pourtout entier
n
, n vrie les hypothses du lemme ci-dessus. Donc il existe un noyauK
n de(X
GX) sur (
E
nB(E
n)) tel que p.s.K
n(f
) = n(f
). On peut alors considrer le noyau ; de(XGX) sur (R + RdB(R + Rd)) dni par: ;(
'
) :=X n2NK
n('
1 nn+1) Rd):
Comme;0est p.s. linaire, on a pour tout
'
2H
b, p.s.;('
) = ; 0(
'
). On a donc obtenu lapremire partie de la proposition. La formule (II.28) dcoule des formules ci-dessus pour les moments de ;0
.
Enn remarquons que pour tout
'
2H
b, on a la convergence p.s. de (V
("
)'
10t]) vers (;
'
10t]). Donc il est clair que le processus ( Rt
0 ;(
dsdy
)'
(sy
)t
ltration(GXt)t
0. De plus l'aide du lemme de Fatou et de l'ingalit (II.30), on a pour tout entier
p
EX " Z ;(dsdy
)'
(sy
)1 tt 0 ](s
) 2p #M
pk'
k 2pt
;t
0 2p:
Comme le processus(Rt 0;(dsdy
)j