ecarter toute possibilit´e de fluctuation al´eatoire.
5.3.3 R´esultats
Voici les valeurs critiques du param`etre trouv´ees. Rappelons qu’αc n’est pas un param`etre universel, il d´epend du mod`ele et n’est qu’une ´etape dans la mesure deβ.
r`egle 9 62 110 126 57
α > . . . 0,757 0,598 0,566 0,720 0,749 α < . . . 0,758 0,599 0,567 0,721 0,750
5.4 Mesure de β
On trace maintenant ρ en fonction de α (comme sur la figure 8), on fait l’hypoth`ese queρ=c(α−αc)β au voisinage de la transition de phase, et l’on effectue un r´egression pour mesurer l’exposantβ.
Fig.7 – Parall`element `a cela s’ajoute un autre ph´enom`ene : la densit´e asympto-tique est de plus en plus faible (en vert pourα= 0,57, en rouge pourα= 0,58, la droitec t−δ en bleu), donc ρest longtemps proche dec t−δ. Or on observe de fortes fluctuations `a faible densit´e. Il faut donc augmenter le nombre de cellules.
Fig.8 –ρ(α) pour la r`egle110et pour des anneaux de 2 000 et 10 000 cellules.
En abscisse : αde 0,55 `a 1, en ordonn´ee : ρde 0 `a 0,6.
On note un l´eger d´ecrochage sur la fin de la courbe, dˆu `a un ph´enom`ene non identifi´e. En fait, le d´ecrochage se produit bien plus tˆot : il faut se restreindre aux valeurs « proches » de αc pour effectuer la r´egression. Pour choisir ces valeurs, on prendαc pour origine des abscisses et l’on trace la mˆeme courbe en
´
echelles logarithmiques. On obtient la figure9, sur laquelle la partie de la courbe v´erifiantρ=c(α−αc)β est une droite. Les valeurs retenues pour la r´egression sont en vert.
Fig.9 – Densit´e asymptotique en fonction deαpour une ´echelle logarithmique avec pour origine des abscissesα= 0,6'αc. Le fait que le d´ecrochage commence tˆot est bien visible (et reste visible mˆeme pour des valeurs ´eloign´ees deαccomme le montre la figure10).
Ceci est confirm´e exp´erimentalement : la pr´ecision de la r´egression (estim´ee par une somme de carr´es de diff´erences) est meilleure si l’on se restreint aux valeurs proches de la valeur critique. Il se produit donc certainement un ph´ e-nom`ene d`es que l’on s’´eloigne sensiblement de αc, qui tend `a faire baisser la densit´e asymptotique.
Apr`es r´egression, on obtient la figure11. `A nouveau, les points retenus pour la r´egression sont en vert, ce qui montre une excellente ad´equation entre les donn´ees et la courbe obtenue (en bleu).
5.4.1 Protocole
Les deux configurations initiales sont al´eatoires, chaque cellule ayant une probabilit´e 1/2 d’ˆetre dans chacun des 2 ´etats. Le syst`eme ´evolue pendant un temps transitoireTtr, puis l’on mesure la densit´e d’´etats de d´esaccord surT´ech
´
etapes, la moyenne de ces mesures donnant une estimation deρ.
A` αfix´e, la configuration initiale et la suite de mises `a jour sont les mˆemes pour toutes les r`egles. En revanche, ces deux r´ealisations de l’al´eatoire sont distinctes pour toutes les valeurs de α, ce qui permet d’estimer leur influence.
Fig.10 – Le d´ecrochage reste visible mˆeme pour une valeur deαcmal d´ etermi-n´ee. Par exemple, pour une origine de l’´echelle logarithmiqueα= 0,65 (au lieu de 0,599), on voit d´ej`a un point d’inflexion aux alentours de l’abscisse 0,1,
c’est-`
a-dire pourα= 0,65 + 0,1 = 0,75. C’est donc un moyen objectif de d´eterminer l’intervalle de valeurs sur lequel effectuer la r´egression. On a ajout´e la courbe d’une loi de puissance sur la figure.
Fig.11 –ρ(α) et la courbe obtenue apr`es r´egression.
Nous tra¸cons les valeurs deρpour un pas de αtr`es fin autour de la valeur critique (rep´er´ee en tra¸cantρsur un intervalle plus large avec un pas grossier).
Ceci permet de v´erifier la pr´ecision des mesures tout an ayant un graphe plus l´eger que des barres d’erreur. En effet, on constate que la courbe est lisse (sauf pour les points tr`es proches de αc), une courbe accident´ee aurait signifi´e une grande sensibilit´e de la mesure `a la r´ealisation de l’al´eatoire. Nous pr´ef´erons ainsi faire une r´egression sur un grand nombre de valeurs deα plutˆot que sur un nombre plus restreint et plus pr´ecis (dans ce dernier cas, il faudrait donner une estimation de la pr´ecision au processus de r´egression).
Il faut ´egalement v´erifier que les r´esultats sont peu sensibles aux variations de n,Ttr etT´ech. La r´egularit´e de la courbe obtenue (chaque point a une configura-tion initiale et une suite de mises `a jour distinctes des autres points) montre qu’il y a peu de variation d’une exp´erience `a l’autre, la valeur choisieT´ech= 10 000 est donc suffisante. n= 10 000 etTtr = 100 000 ont ´et´e valid´es sur la figure5.
5.4.2 R´esultats
La r´egression donne alors les encadrements suivants, en tenant compte de l’impr´ecision sur αc. Les variations observ´ees selon les points retenus pour ef-fectuer la r´egression sont l´eg`eres tant que les points sont raisonnables au vu de la figure9.
La valeur exp´erimentale deβ mesur´ee sur d’autres mod`eles reconnus comme faisant partie de la classe de la percolation dirig´ee est 0,276.
r`egle 9 62 110 126 57
β > . . . 0,273 0,270 0,271 0,260 0,248 β < . . . 0,283 0,281 0,281 0,276 0,281
Pour la r`egle57, il est tentant de diminuer le nombre de points pris en compte dans la d´etermination de β en se restreignant aux points les plus proches de αc. On obtient alors un encadrement mieux centr´e sur la valeur commun´ement admise 0,276, mais moins pr´ecis. Ceci peut ˆetre dˆu soit `a une erreur syst´ematique et inconnue, soit `a un autre ph´enom`ene qui apparaˆıt non loin deαc. Lorsqu’au contraire on prend en compte plus de points, l’intervalle prend des valeurs plus faibles qui n’encadrent plus 0,276.
57 est d’ailleurs plus d´elicat `a mesurer. Pour les mˆemes param`etres de si-mulation, on obtient des r´esultats moins r´eguliers (i.e. avec une plus grande variance). δ semble l´eg`erement plus ´elev´e (0,165 au lieu de la valeur admise 0,160). La courbe densit´e asymptotique en fonction de α est plus haute que la loi de puissance loin de αc, les autres r`egles montrant au contraire un l´eger d´ecrochage (voir figure 12).
Tous ces indices tendent `a classer 57 `a part, et en effet β ne correspond
`
a la valeur th´eorique de la percolation dirig´ee que sur une r´egion tr`es proche de αc (est est donc mesur´e avec une moins grande pr´ecision). Le fait le plus marquant est que c’est pour les faibles valeur deαque le r´egime est sur-critique, la coalescence apparaissant pour les fortes valeurs de α(voir figure 12). Il est
`
a noter une similitude avec les observations de Nazim Fat`es : dans ses travaux, la r`egle 6 pr´esentait ce comportement « invers´e » par rapport `a α, et ´etait
´
egalement plus d´elicate `a mesurer.
Fig.12 –ρ(α) pour la r`egle57.
5.4.3 Conclusion
Le mod`ele ´etudi´e semble bien appartenir `a la classe d’universalit´e de la perco-lation dirig´ee. Fait rare parmi les mod`ele de percolation dirig´ee, l’´etat absorbant n’est pas unique. Il n’est mˆeme pas un point fixe, mais en constante ´evolution : les orbites des deux configurations fusionnent.
Voil`a donc un nouveau mod`ele de percolation dirig´ee, qui se d´ecompose en cinq variantes. Ses caract´eristiques particuli`eres et sa simplicit´e aideront peut-ˆ
etre `a une meilleure compr´ehension de cette classe d’universalit´e. De plus, les nombreuses formulations de ce mod`ele ´evoqu´ees plus haut cr´eent des liens avec d’autre domaines et laissent esp´erer des d´eveloppements futurs dont des preuves formelles.
6 Conclusions
En simulation, il faut porter au moins autant d’attention `a la suite al´eatoire r´egissant l’´evolution du syst`eme qu’`a celle g´en´erant la configuration initiale.
En effet, nous avons observ´e une dynamique stochastique o`u la configuration initiale n’a aucune importance : l’´evolution est d´esordonn´ee mais pas chaotique.
En d’autres termes, le syst`eme a une haute entropie mais aucune sensibilit´e aux conditions initiales.
Nous avons donc d´evelopp´e une id´ee visant `a d´efinir une notion de com-plexit´e. En perturbant la dynamique, et pr´ecis´ement le synchronisme, dans un mod`ele particulier, des comportements inattendus sont apparus. Une premi`ere approche de ces derniers montre leur richesse et incite `a poursuivre leur ´etude.
Perspectives L’´etude des diff´erentes notions de complexit´e n’a pas encore conduit `a une nouvelle notion bas´ee sur la perturbation du syst`eme, mais cette
id´ee est `a poursuivre. L’´etude men´ee ici peut ˆetre vue comme une premi`ere approche tr`es simple pour ´etudier un mod`ele o`u le temps passe diff´eremment entre sites. Ici il s’´ecoule en moyenne `a la mˆeme vitesse, mais on peut imaginer des vitesse diff´erentes. Le ph´enom`ene de coalescence appelle une recherche de preuves formelles de ce comportement pour les r`egles identifi´ees exp´ erimentale-ment, et montre qu’il y a mati`ere `a exploration dans ce domaine. La question de l’´evolution de ces ph´enom`enes (coalescence et percolation dirig´ee) en dimension sup´erieure, ou bien avec un nombre d’´etats plus grand, se pose naturellement.
Les liens avec les autres mod`eles de percolation dirig´ee sont aussi `a ´etudier.
Enfin il serait sans doute int´eressant de d´eterminer les raisons du caract`ere« in-vers´e»de la r`egle57, et du mˆeme comportement observ´e par [Fates(2004)] dans un probl`eme analogue.
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