etape de calcul dans l’automate cellulaire, qui est la mise `a jour de l’ensemble des cellules d´esign´ees parc.
Le parall`ele avec notre probl`eme est alors le suivant :
Lemme 5. Consid´erons une ´evolution finie d’un automate cellulaire. L’auto-mate cellulaire a coalesc´e quel que soit le couple de configurations initiales si et seulement si la s´equence de mise `a jour effectu´ees, vue comme une suite de lettres, est un mot synchronisant pour l’automate fini associ´e.
D´emonstration. Si le mot est synchronisant et menant `a un ´etat q, quelle que soit la configuration initiale de l’automate cellulaire, il est `a la fin dans la confi-gurationqet a donc coalesc´e.
R´eciproquement, consid´erons une configuration initiale arbitraire et notons q la configuration obtenue apr`es la s´equence de mises `a jour. Puisque quel que soit le couple consid´er´e initialement les deux copies sont dans la configurationq
`
a la fin de l’´evolution, le mot est synchronisant.
On est donc ramen´e au probl`eme suivant : on consid`ere un mot infini form´e de lettres tir´ees au sort ind´ependemment selon la loi uniforme, et l’on cherche la longueur moyenne du plus court pr´efixe qui soit un mot synchronisant.
L’automate fini construit est ´enorme mais tr`es structur´e. Malheureusement, sa minimisation conduit `a l’automate trivial car il accepte le langage entier. La reconnaissance de langages est justement la pr´eoccupation principale des travaux sur les automates finis. Enfin, il semble qu’il n’y ait pas de r´esultat adaptable `a notre probl`eme, un r´esultat r´ecent [Trahtman(2004)] prouve qu’il existe un mot synchronisant de longueur au plus (m−1)2 pour une large classe d’automates (dans le cas g´en´eral c’est la conjecture de ˇCzerny), o`u mest le nombre d’´etats de l’automate fini. Mais ici mn’est pas polynomial enn. Le fait de consid´erer la longueur moyenne (et donc de s’int´eresser au cas typique et non au pire cas) simplifie peut-ˆetre la question.
4.2 Couplage et chaˆınes de Markov
Une approche plus prometteuse consiste `a consid´erer l’automate cellulaire asynchrone comme une chaˆıne de Markov. Les ´etats de la chaˆıne de Markov sont les configurations de l’automate, la probabilit´e d’aller d’un ´etat `a un autre est simplement, en reprenant l’automate fini de la section pr´ec´edente, le nombre de lettres distinctes qui font passer du premier au second ´etat, divis´e par le cardinal de l’alphabet. Dit autrement, cette probabilit´e est le nombre de fa¸cons de passer de la premi`ere `a la seconde configuration en mettant `a jour certaines cellules.
Le couplage de deux chaˆınes de Markov est exactement ce qui nous pr´ e-occupe : cela consiste `a consid´erer deux copies de la chaˆıne avec conditions initiales distinctes, `a les faire ´evoluer simultan´ement sous la mˆeme r´ealisation de l’al´eatoire, et `a mesurer le temps au bout duquel elles sont dans le mˆeme
´
etat. Des r´ef´erences classique `a ce sujet sont [Lindvall(1992), Thorisson(2000), H¨aggstr¨om(2002)].
4.3 Automates cellulaires probabilistes
On peut enfin consid´erer notre mod`ele d’automate cellulaire asynchrone comme un cas particulier d’automates cellulaires probabiliste. Dans ce mod`ele,
la r`egle de transition δ n’est plus d´eterministe mais probabiliste. Il suffit donc de modifierδde la r`egle initiale pour lui ajouter une probabilit´e 1−αde rester dans le mˆeme ´etat, et l’on obtient la dynamique partiellement asynchrone.
Ce point sera ´etudi´e lors d’un stage d’un mois avec des sp´ecialistes des au-tomates cellulaires probabilistes, en octobre, `a Berlin.
5 Transitions de phase
Parall`element `a l’´etude th´eorique, nous avons men´e une ´etude exp´ erimen-tale des automates coalescents. La premi`ere exp´erimentation visait `a d´eterminer quels sont les automates pr´esentant ce comportement. Il est apparu une grande richesse de comportements, dont une transition de phase. C’est cette derni`ere que nous avons alors ´etudi´ee en d´etail. Nous pr´esentons une exp´erimentation et montrons que les param`etres sont ceux de la classe d’universalit´e de la percola-tion dirig´ee.
5.1 D´ etermination des automates coalescents
5.1.1 Protocole
Nous appelons simulation l’ex´ecution d’un automate quand tous les para-m`etres sont fix´es : configuration initiale, nombre d’´etapes, taux de synchronisme, etc. La simulation est stopp´ee d`es que l’automate a coalesc´e, car les deux confi-gurations sont alors d´efinitivement identiques (le test est fait sur les ´etapes dont le rang est une puissances de 2).2 Voici le choix des param`etres des diff´erentes simulations effectu´ees.
Pour choisir la taille de l’anneau sur lequel effectuer les simulations, il n’y a de limite sup´erieur que la capacit´e de calcul. Concernant la limite inf´erieure, cer-tains auteurs comme [Wuensche(1999)] laissent penser que de petites tailles (n= 30) suffisent `a classifier, d’autres tels que [Broadbent and Hammersley(1957)]
assurent le contraire. Par prudence, nous prenons un grand anneau. Un pro-bl`eme similaire ´etudi´e dans la th`ese de Nazim Fat`es (comme annonc´e au d´ebut de cette partie [Fates(2004)]) montre une stabilisation du comportement `a partir den= 200. Nous choisissons un anneau de taillen= 500 cellules.
Le but ´etant simplement d’´etablir une classification rapide des automates pour d´eterminer ceux sur lesquels poursuivre l’´etude, il n’est pas n´ecessaire d’´echantillonner finementα. Nous prenons l’ensemble de valeurs 0.1, 0.5 et 0.9.
On ne rep`ere donc pas d’´eventuelles r`egles qui seraient coalescentes pour un ensemble de valeurs deαn’intersectant pas {0.1,0.5,0.9}.
On pourrait fixer l’esp´erance du nombre maximal de mises `a jour, et donc laisser ´evoluer le syst`eme plus longtemps pourαfaible (puisqu’il y a alors moins de mises `a jour par ´etape). Cependant, le travail de [Regnault(2005)] a montr´e analytiquement, dans un probl`eme plus simple, que certains automates en dy-namique partiellement asynchrone ont un temps de convergence proportionnel
`
a α(1−α)1 . Ainsi,α´elev´e n’entraˆıne pas n´ecessairement convergence rapide. C’est
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egalement la raison pour laquelle 0.5 fait partie des valeurs choisies pourα. Le
2Pour que les deux copies arrivent sur des configurations de d´esaccord total (le contraire de la coalescence) en temps polynomial, il faut qu’une r´egion en opposition soit stable. On pourrait donc ´egalement stopper la simulation ´egalement lorsque les deux configurations sont en totale opposition.
nombre d’´etapes de calcul est fix´e `a 220= 1 048 576, ce qui est de l’ordre den2 (multipli´e par une petite constante).
Pour chaqueαet chaque r`egle, la simulation est r´ep´et´ee pour 10 configura-tions initiales al´eatoires (les mˆemes pour toutes les r`egles et tous lesα) et la r`egle est retenue d`es que l’une de ces simulations a ´et´e arrˆet´ee pr´ematur´ement (pour cause d’accord total). Ceci permet de v´erifier la coh´erence des 10 exp´eriences.
Cette ´etape permet, en plus de d´eterminer les automates `a ´etudier, d’esti-mer le temps de coalescence, ce qui permettra de fixer le param`etre Ttr `a la section5.4.1et a un int´erˆet intrins`eque pour distinguer plus finement les com-portements.
5.1.2 R´esultats
On obtient une grande richesse de comportements quant `a la coalescence, pour laquelle nous proposons les cat´egories empiriques suivantes.
– Les automates qui ne coalescent jamais (deux exemples triviaux sont les r`eglesidentit´e(∅) etnot(ABCDEFGH) car le nombre de cellules d’accord est constant) ou qui coalescent peut-ˆetre en temps exponentiel. Cette ca-t´egorie contient les r`egles 4, 5, 12, 13, 25, 28, 29, 33, 36, 37, 41, 44, 45, 51,54,60,72,73,76,77,78,90,94,104 105,108,122,132,140,142,150, 156,164,172,200,204,232.
– Les automates qui coalescent rapidement, sans doute en un temps poly-nomial. Un cas simple de ce comportement consiste en les automates qui converge vers un point fixe unique et trivial quelle que soit la condition ini-tiale. On peut alors consid´erer les deux configuration ind´ependemment, et d`es que les deux ont atteint le point fixe, elles sont trivialement identiques.
Sont dans cette cat´egorie les r`egles0, 2, 8,10, 24,32, 34, 38,40, 42, 56, 74,128,130,136, 138,152,160,162,168.
– Les automates qui coalescent rapidement, mais pas vers un point fixe.
On ne peut plus consid´erer les deux configurations ind´ependemment, mais elles sont rapidement identiques et suivent alors la mˆeme orbite. C’est le cas des r`egles3, 11,19,35,46,154.
– Les automates qui combinent deux des trois comportements pr´ec´edents, en fonction deα.18,26,106,146combinent les deux premiers comporte-ments,50,58,134combinent les deux derniers,9,57,62,110,126r´ealisent la derni`ere combinaison possible. 7 passe du comportement d´ecrit dans le point suivant `a une coalescence syst´ematique quand αcroˆıt. 22 et 30 passent du comportement du point suivant `a une absence de coalescence.
– Les automates qui ´evoluent soit vers un ´etat coalesc´e soit vers un ´etat de d´esaccord total en fonction des mises `a jour. C’est le cas de14,15,23,43, 170,178,184.
– Notons enfin que certains automates ont un temps de coalescence tr`es variable en fonction deα:1,6,27.
A la lumi`` ere de ces r´esultats, il apparaˆıt int´eressant d’´etudier plus en d´etail la nature de la transition qui s’op`ere entre le r´egime coalescent et le r´egime non coalescent pour les automates pr´esentant les deux comportements en fonction deα. Ce sont donc les r`egles9,57,62,110, et126.
Nous testons l’hypoth`ese d’une transition de phase selon le mod`ele de la percolation dirig´ee.