Le MBB pour les coefficients de Fourier

3.4 Le subsampling . . . 80 3.4.1 Le subsampling pour les coefficients de Fourier . . . . 80

3.4.2 Algorithme du subsampling . . . 82

3.5 Etude de simulation et de performances . . . 83 3.6 Application du subsampling sur des signaux

biomé-caniques . . . 91

3.6.1 La description des signaux de GRF . . . 91

3.6.2 Pré-traitement des signaux de GRF . . . 93 3.6.3 Analyse cyclostationnaire basé sur le subsampling . . . 93

3.6.4 Cartographies de significativité fréquentielle cyclcosta-tionnaire. . . 96

3.6.5 La comparaison entre les trois niveaux de fatigue du coureur . . . 98

3.1 Introduction

La cyclostationnarité utilisée comme caractéristique des signaux est une technique qui offre des avantages pour étudier et diagnostiquer des défauts et des perturbations liés à un système sous étude. Au cours des dernières dé-cennies, la modélisation des phénomènes périodiques a été relativement bien explorée. Cependant, quelques travaux de recherche se sont intéressés à l’esti-mation de l’autocovariance (autocorrélation) périodique des processus cyclo-stationnaires et aux résultats asymptotiques qui pourraient être obtenus. De récents travaux [42,103,93] ont montré que ces estimateurs étaient asymptoti-quement normaux. Cependant, la matrice de covariance asymptotique est très difficile à estimer et à calculer. En effet, cette dernière dépend des moments d’ordre quatre du processus cyclostationnaire étudié [103]. Par conséquent, l’inférence statistique pour les tests et les intervalles de confiance sont très difficile à construire.

L’un des problèmes majeurs rencontré dans ce genre de cas est comment détecter ce type de structure non-stationnaire dans le processus sous consi-dération. Cette problématique a été exploré dans le domaine temporel par différents chercheurs [39, 43, 137, 103]. Durant les dernières années, de nom-breux travaux de recherche se sont penchés sur les méthodes de bootstrap et de ré-échantillonnage statistique. Nous citons à titre d’exemple la référence [144] qui contient des résultats très intéressants sur le bootstrap et ses applications dans le domaine du traitement du signal.

Par ailleurs, d’autres travaux se sont intéressés à la consistance de telles méthodes et à leurs possibles applications sur des modèles et signaux non-stationnaires, et spécialement dans le cas des processus cyclostationnaires [42,

103].

Dans ce chapitre, nous nous focalisons sur la consistance de deux méthodes de ré-échantillonnage statistique pour l’estimateur du paramètre | R_X(α, τ ) | d’un signal {X(t) : t ∈ Z}. Les deux méthodes sont dénommées le Subsampling (ou sous-échantillonnage statistique) et le Moving Block Bootstrap (MBB). Avec les nombres complexes R_X(α, τ ) représentant les coefficients de Fourier de la fonction d’autocorrélation donnée par :

R_X(t, τ ) = ^X

α∈Aα

R_X(α, τ )e^j2παt

La consistance ci-dessus signifie la convergence des distributions des esti-mateurs des deux méthodes citées à la distribution asymptotique de l’estima-teur initial.

L’objectif du travail effectué dans ce chapitre est la construction de tests statistiques via le subsampling et le MBB pour la présence de cyclostation-narité, i.e., tester l’hypothèse de non-cyclostationnarité du processus étudié versus l’hypothèse alternative de présence de structure cyclostationnaire dans ce dernier. Cela sera fait en testant si les coefficients de Fourier RX(α, τ ) de la fonction d’autocorrélation RX(t, τ ) sont nulles en dehors d’un ensemble fini de fréquences cycliques, ou pas.

Ce chapitre est organisé de la façon suivante : la Section 2 contient un bref rappel sur quelques définitions basiques et nécessaires ainsi que la formulation du problème. Dans la section 3, les résultats fondamentaux de la consistance du MBB pour la fonction moyenne de l’estimateur | R_X(α, τ ) | ainsi que l’algorithme du MBB sont présentés. La section 4 est dédiée aux résultats fondamentaux de la consistance du subsampling, aussi bien qu’à la description de son algorithme. La section 5 contient une étude de simulation dans le cas d’un signal cyclostationnaire. De plus, une étude comparative entre les deux méthodes est réalisée. Dans la section 6, les applications sur des signaux réels biomécaniques, les résultats ainsi que plusieurs possibles applications pour les tests des fréquences cycliques sont montrés. En outre, quelques nouvelles méthodes pour la construction de signatures fréquentielles cyclostationnaires décrivant et caractérisant les signaux réels sont proposées dans cette section. Enfin, la section 7 contient les conclusions de ce chapitre.

3.2 La formulation du problème

Nous rappelons qu’un signal {X(t) : t ∈ Z} est dit cyclostationnaire si se moments d’ordre un et d’ordre deux sont périodiques. Plus précisément si sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation sont toutes deux périodiques dans le temps t, avec la période T :

µ_X(t) = µ_X(t + T )

R_X(t, τ ) = R_X(t + T, τ )

Puisque notre intérêt se porte dans ce chapitre sur les propriétés cyclo-stationnaires d’ordre deux, i.e., la fonction d’autocorrélation R_X(t, τ ), nous assumons tout au long de chapitre que le moment d’ordre un est nul. De plus, la représentation de Fourier de la fonction d’autocorrélation est donnée comme suit :

RX(t, τ ) = ^X α∈Aα RX(α, τ )e^j2παt (3.1) Avec R_X(α, τ ) = ¹ T T X t=1 R_X(t, τ )e^−j2παt, Et l’ensemble A_α = {α : R_X(α, τ ) 6= 0} est supposé être fini.

Il est important de rappeler que les nombres réels α et les valeurs complexes R_X(α, τ ), appelés fréquences cycliques et fonctions d’autocorrélation cyclique représentent respectivement les fréquences et les coefficients de Fourier de la fonction d’autocorrélation R_X(t, τ ).

Cette représentation de Fourier est très utile pour estimer la fonction d’au-tocorrélation R_X(t, τ ) à travers l’estimation de ses coefficients de Fourier com-plexes R_X(α, τ ). Par ailleurs, si la période T de la fonction d’autocorrélation R_X(t, τ ) est connue, alors l’ensemble A_α contient les multiples de la fréquence cyclique fondamentale α correspondant à la période T . Cependant, en pra-tique, les éléments constituant l’ensemble Aαsont très souvent inconnus. Pour cela, le travail effectué dans ce chapitre tend à démontrer l’utilité et la néces-site d’analyses statistiques modernes telles que le subsampling et le MBB pour l’estimation et l’identification des éléments de l’ensemble A_α d’un processus cyclostationnaire.

Soit un échantillon observé {X(1), X(2), ..., X(n)} de {X(t) : t ∈ Z}. Alors l’estimateur naturel des paramètres R_X(α, τ ) est donné comme suit [94] :

ˆ R_n(α, τ ) = ¹ n− | τ | n−max{τ,0} X 1−min{τ,0} X(t + τ )X(t)e^−j2παt (3.2)

Avec ˆR_n(α, τ ) l’estimateur de la fonction d’autocorrélation cyclique. Cet estimateur combine l’information sur le retard, représenté par l’argument τ et la fréquence cyclique, représentée par l’argument α. Il faut noter que l’analyse statistique de l’estimateur (3.2) est fondamentale afin d’identifier le carac-tère cyclostationnaire du processus sous étude. Cela signifie que si pour toute fréquence α non nulle, le paramètre ˆR_n(α, τ ) n’est pas significativement dif-férent de zéro, alors, il serait raisonnable d’admettre que X(t) ne montre pas

de structure cyclostationnaire. Cependant, si le paramètre ˆR_n(α, τ ) est signi-ficativement différent de zéro pour au moins une fréquence α non nulle, alors X(t) est cyclostationnaire.

3.3 Le Moving Block Bootstrap (MBB)

Le MBB est une méthode de bootstrap non paramétrique qui peut être appliquée sur des données présentant une dépendance. L’idée du MBB a été proposée par [101, 105] dans le cas stationnaire. Cette idée consiste à calculer l’estimateur d’intérêt sur des pseudo-données répliquées. Ces dernières sont obtenues en faisant un tirage aléatoire avec remise à partir de blocs consécu-tives de données. Pour être plus précis, à partir des n échantillons disponibles de {X(t) : t ∈ Z}, une sélection aléatoire de blocs de taille b à partir des don-nées originales est réalisée. Ensuite, ces blocs sont concaténés afin d’obtenir des pseudo-données répliquées de bootstrap. Par conséquent, la procédure du MBB nous permet d’obtenir une approximation des distributions inconnues des statistiques d’intérêt. En effet, ces approximations sont très importantes car elles permettent la construction d’intervalles de confiance valides ainsi que l’élaboration de différents tests statistiques.

La méthode de MBB utilisée dans cette partie est inspirée de [137]. En effet, cette méthode est dédiée à un cas spécial de processus non-stationnaire, en l’occurrence, les processus cyclostationnaires. L’idée générale du MBB est d’investiguer la valeur moyenne µ = hEX_ti_tdu signal {X(t) : t ∈ Z}. Avec h.it

le moyennage sur la variable de temps t. Ainsi, l’estimateur obtenu à partir de l’observation {X(1), ..., X(n)} a la forme suivante :

¯ X_n= ¹ n n X t=1 X_t

Afin de montrer le principe du MBB pour la valeur moyenne µ, nous supposons disposer d’une taille de bloc b, avec b entier. Ensuite, on définit B_t,b = (X_t, ..., X_t+b−1)et l’entier k = bn/bc. Soit i₁, ..., i_k des variables aléa-toires indépendantes et identiquement distribuées avec une distribution uni-forme sur l’ensemble {1, 2, ..., n − b + 1}. Ainsi, en en joignant les k blocs Bi₁, b, ..., Bi_k, b, sachant que chaque bloc est de taille égale à b, nous obte-nons l’échantillon bootstrap {X(1)^∗, ..., X(n)^∗} de taille n. Par conséquent, la version MBB de l’estimateur de départ sera sous la forme suivante :

¯ X_n^∗ = ¹ n n X t=1 X_t^∗

Finalement, la répétition de la même procédure du MBB un certain nombre de fois permet le calcul des quantiles sans pour autant utiliser la forme de la variance asymptotique.

3.3.1 Le MBB pour les coefficients de Fourier

Dans le cadre cyclostationnaire, l’inférence statistique se focalise seulement sur les propriétés statistiques du second ordre du processus cyclostationnaire étudié. La représentation de Fourier de la fonction d’autocorrélation RX(t, τ ) est donnée par l’équation (3.1). Soit la fonction d’autocorrélation cyclique R_X(α, τ ) suivante :

R_X(α, τ ) = hR_X(t, τ )e^−j2παti_t

Tel que l’estimateur naturel des paramètres RX(α, τ ) est donné par l’équa-tion (3.2). Dans [137], la consistance du MBB dans le cas d’un processus cyclostationnaire est démontrée, avec comme paramètres d’intérêt les coeffi-cients de Fourier de la fonction d’autocorrélation. Afin d’éclaircir tout cela, soit le signal {X(t) : t ∈ Z}. Un nouveau vecteur complexe Ut(α, τ ) est défini pour des valeurs de α et τ fixes, soit :

U_t(α, τ ) = X(t)X(t + τ )e^−j2παt (3.3) Ainsi, nous avons

hE(U_t(α, τ ))i_t= lim

n→+∞ 1 n n X t=1 E(X(t + τ )X(t))e^−j2παt= R_X(α, τ ) (3.4)

Par conséquent, nous obtenons

¯ U_n(α, τ ) = ¹ n − τ n−τ X t=1 U_t= ˆR_n(α, τ ) (3.5)

Ainsi, la procédure du MBB peut être appliquée, comme définie dans la section 3.3, sur la fonction de moyenne donnant l’estimateur ˆRn(α, τ ). Cela est réalisé de la manière suivante :

Soit l’échantillon original U_t(α, τ ) donné comme suit :

(U₁(α, τ ), ..., U_n−τ(α, τ )) = (X(1)X(1+τ )e^−j2πα, ..., X(n−τ )X(n)e^{−j2πα(n−τ )})

(U₁^∗(α, τ ), ..., U_n−τ^∗ (α, τ ))

Ainsi, nous définissons la version MBB ˆR^∗_n(α, τ ) de l’estimateur ˆRn(α, τ ) de la manière suivante : ˆ R^∗_n(α, τ ) = ¯U_n^∗(α, τ ) = ¹ n − τ n−τ X t=1 U_t^∗(α, τ )

Enfin, après B répétitions de la procédure du MBB pour l’estimateur ˆ

R_n(α, τ ) , il est tout à fait possible de construire des intervalles de confiance valides à partir des quantiles de la distribution du MBB. De plus, des tests sta-tistiques pour la détermination des fréquences cycliques significatives peuvent être dérivés et élaborés.

Dans ce qui suit, une description détaillée de l’algorithme du MBB pour les coefficients de Fourier est exposée.