Dépendance à long terme

Un autre cas dans lequel le bootstrap est inconsistant est celui de données qui contiennent des dépendances à long terme. En effet, ce type de processus a pour propriété que ses premières observations continuent à avoir une influence sur des observations beaucoup plus lointaine dans le temps. Une caractérisa-tion mathématique d’un tel processus serait que la somme des autocorrélacaractérisa-tions divergent. Plus d’exemples et de détails sur les processus dépendant à long terme se trouvent dans [82].

Lahiri [102] a montré l’échec du bootstrap à obtenir une approximation valide de la distribution d’une moyenne normalisée dans le cas de données dépendantes à long terme. Dans ce cas, la difficulté résulte dans le fait que la vitesse de convergence de la moyenne est très lente. Par conséquent, la normalisation mène la moyenne à converger vers une limite dégénérée.

Par ailleurs, d’autres cas d’inconsistance du bootstrap existent, nous pou-vons citer par exemple le cas d’estimation de valeurs extrêmes [7] ou bien, le cas de processus autorégressifs instables [102].

Malgré ces quelques limitations du bootstrap non-paramétrique, cette ap-proche reste très utile et consistantes dans de nombreuses autres probléma-tiques liées au traitement du signal.

2.8 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons introduit la notion du bootstrap. En effet, la définition ainsi que le principe du bootstrap ont été présentés. De plus, des exemples d’application du bootstrap dans différents domaines ont été exposés. Quelques résultats théoriques ont aussi été donnés pour deux types de boots-trap qui sont le bootsboots-trap non-paramétrique et le bootsboots-trap paramétrique. Dans les chapitres 3, 4et 5, nous exploitons les propriétés du bootstrap afin d’étudier les estimateurs de la cyclostationnarité à l’ordre un et à l’ordre deux d’un processus stochastique et nous proposons des méthodologies originales basées sur le ré-échantillonnage statistique pour le traitement des signaux cyclostationnaires.

Chapitre 3

Ré-échantillonnage statistique

dans le cas de signaux

cyclostationnaires

Sommaire

3.1 Introduction . . . 74 3.2 La formulation du problème . . . 75

3.3 Le Moving Block Bootstrap (MBB) . . . 77

3.3.1 Le MBB pour les coefficients de Fourier . . . 78 3.3.2 Algorithme du MBB . . . 79

3.4 Le subsampling . . . 80 3.4.1 Le subsampling pour les coefficients de Fourier . . . . 80

3.4.2 Algorithme du subsampling . . . 82

3.5 Etude de simulation et de performances . . . 83 3.6 Application du subsampling sur des signaux

biomé-caniques . . . 91

3.6.1 La description des signaux de GRF . . . 91

3.6.2 Pré-traitement des signaux de GRF . . . 93 3.6.3 Analyse cyclostationnaire basé sur le subsampling . . . 93

3.6.4 Cartographies de significativité fréquentielle cyclcosta-tionnaire. . . 96

3.6.5 La comparaison entre les trois niveaux de fatigue du coureur . . . 98

3.1 Introduction

La cyclostationnarité utilisée comme caractéristique des signaux est une technique qui offre des avantages pour étudier et diagnostiquer des défauts et des perturbations liés à un système sous étude. Au cours des dernières dé-cennies, la modélisation des phénomènes périodiques a été relativement bien explorée. Cependant, quelques travaux de recherche se sont intéressés à l’esti-mation de l’autocovariance (autocorrélation) périodique des processus cyclo-stationnaires et aux résultats asymptotiques qui pourraient être obtenus. De récents travaux [42,103,93] ont montré que ces estimateurs étaient asymptoti-quement normaux. Cependant, la matrice de covariance asymptotique est très difficile à estimer et à calculer. En effet, cette dernière dépend des moments d’ordre quatre du processus cyclostationnaire étudié [103]. Par conséquent, l’inférence statistique pour les tests et les intervalles de confiance sont très difficile à construire.

L’un des problèmes majeurs rencontré dans ce genre de cas est comment détecter ce type de structure non-stationnaire dans le processus sous consi-dération. Cette problématique a été exploré dans le domaine temporel par différents chercheurs [39, 43, 137, 103]. Durant les dernières années, de nom-breux travaux de recherche se sont penchés sur les méthodes de bootstrap et de ré-échantillonnage statistique. Nous citons à titre d’exemple la référence [144] qui contient des résultats très intéressants sur le bootstrap et ses applications dans le domaine du traitement du signal.

Par ailleurs, d’autres travaux se sont intéressés à la consistance de telles méthodes et à leurs possibles applications sur des modèles et signaux non-stationnaires, et spécialement dans le cas des processus cyclostationnaires [42,

103].

Dans ce chapitre, nous nous focalisons sur la consistance de deux méthodes de ré-échantillonnage statistique pour l’estimateur du paramètre | R_X(α, τ ) | d’un signal {X(t) : t ∈ Z}. Les deux méthodes sont dénommées le Subsampling (ou sous-échantillonnage statistique) et le Moving Block Bootstrap (MBB). Avec les nombres complexes R_X(α, τ ) représentant les coefficients de Fourier de la fonction d’autocorrélation donnée par :

R_X(t, τ ) = ^X

α∈Aα

R_X(α, τ )e^j2παt

La consistance ci-dessus signifie la convergence des distributions des esti-mateurs des deux méthodes citées à la distribution asymptotique de l’estima-teur initial.

L’objectif du travail effectué dans ce chapitre est la construction de tests statistiques via le subsampling et le MBB pour la présence de cyclostation-narité, i.e., tester l’hypothèse de non-cyclostationnarité du processus étudié versus l’hypothèse alternative de présence de structure cyclostationnaire dans ce dernier. Cela sera fait en testant si les coefficients de Fourier RX(α, τ ) de la fonction d’autocorrélation RX(t, τ ) sont nulles en dehors d’un ensemble fini de fréquences cycliques, ou pas.

Ce chapitre est organisé de la façon suivante : la Section 2 contient un bref rappel sur quelques définitions basiques et nécessaires ainsi que la formulation du problème. Dans la section 3, les résultats fondamentaux de la consistance du MBB pour la fonction moyenne de l’estimateur | R_X(α, τ ) | ainsi que l’algorithme du MBB sont présentés. La section 4 est dédiée aux résultats fondamentaux de la consistance du subsampling, aussi bien qu’à la description de son algorithme. La section 5 contient une étude de simulation dans le cas d’un signal cyclostationnaire. De plus, une étude comparative entre les deux méthodes est réalisée. Dans la section 6, les applications sur des signaux réels biomécaniques, les résultats ainsi que plusieurs possibles applications pour les tests des fréquences cycliques sont montrés. En outre, quelques nouvelles méthodes pour la construction de signatures fréquentielles cyclostationnaires décrivant et caractérisant les signaux réels sont proposées dans cette section. Enfin, la section 7 contient les conclusions de ce chapitre.