Définition 1 : Deux matrices carrées A et B ∈ Mn(K) sont dites semblables s’il existe P ∈ Gln(K)
telle que : B = P−1.A.P.
Proposition 1 : La similitude est une relation d’équivalence dans Mn(K).
Preuve facile. Pour toute matrice P ∈ Gln(K) et toute matrice A ∈ Mn(K), notons A T P = P−1.A.P.
Il s’agit d’une action à droite de Gln(K) sur Mn(K). Deux matrices sont semblables ssi elles appartiennent à la même orbite de Mn(K) sous cette action de Gln(K).
Proposition 2 : Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n, E un K-espace vectoriel de dim n.
Pour que A et B soient semblables, il faut et il suffit qu’elles soient les matrices d’un même endo-morphisme u de E dans des bases convenables :
A = Mat(u ; BBBBE) et B = Mat(u ; BBBB'E) . Preuve en tout point analogue à la prop 2 du § 4.1.
Proposition 3 : Deux matrices semblables sont équivalentes. Elles ont donc même rang.
R éciproque fausse ! Confondre équivalence et similitude est le plus grand d éciproque fausse ! Confondre équivalence et similitude est le plus grand de tous les éciproque fausse ! Confondre équivalence et similitude est le plus grand d éciproque fausse ! Confondre équivalence et similitude est le plus grand d e tous les e tous les e tous les crimes. Il est passible des châtiments les plus raffinés, ce crime de
crimes. Il est passible des châtiments les plus raffinés, ce crime de crimes. Il est passible des châtiments les plus raffinés, ce crime de
crimes. Il est passible des châtiments les plus raffinés, ce crime de
matricide!
Plusieurs exemples vont permettre de bien cerner la différence entre équivalence et similitude.• Toute matrice inversible A ∈ Gln(K) est équivalente à In , car A = In.In.A . La seule matrice semblable à In est In , puisque P−1.In.P = In .
• Toute matrice de rang r est équivalente à Jr =
O OO
Ir . Les matrices semblables à Jr sont les projecteurs de rang r, c’est-à-dire les matrices telles que A2 = A et rg A = r.
Autant la classification à équivalence près des matrices est facile les invariants d’équivalence sont le format et le rang , autant la classification à similitude près des matrices est difficile et profonde. La question sera reprise dans le chapitre sur la réduction des endomorphismes, mais ne sera complètement réglée que dans certains cas. Pour l’instant contentons-nous de noter que deux matrices semblables ont même format carré n et même rang r, mais aussi même déterminant et même trace. Le déterminant sera vu bientôt. La trace peut être définie dès maintenant.
Définition 2 : On appelle trace de la matrice carrée A = (αij) ∈ Mn(K) le scalaire tr A =
∑
= n
i ii 1
α . Proposition 4 : La trace est une forme linéaire sur Mn(K) vérifiant ∀A,B∈Mn(K) tr(A.B) = tr(B.A).
Preuve : La linéarité est facile. Enfin, Tr(A.B) =
∑
= n
i
AB ii 1
)
( =
∑∑
= = n
i n
j ji ijb a
1 1
. =
∑∑
= = n
j n
i ij jia b
1 1
. =
∑
= n
j
BA jj 1
)
( = tr(BA).
Corollaire : Si A et B sont semblables, elles ont même trace : tr A = tr B .
Preuve : Il découle de la prop. 4 que la trace est invariante par permutation circulaire des matrices : tr(A.B.C) = tr(C.A.B) = tr(B.C.A) , etc.
Du coup, si B = P−1.A.P , tr B = tr(P−1.A.P) = tr(P.P−1.A) = tr A.
Retenons que la trace et le déterminant sont des invariants scalaires de similitude.
Définition 3 : On appelle trace d’un endomorphisme u ∈LLLL(E) la trace de l’une quelconque de ses matrices dans une base de E.
Exemple : La trace d’un projecteur est égale à son rang… cum grano salis ! En réalité, si p est un projecteur, on a tr p = rg(p).1K. Ainsi, I ∈ M2(Z/2Z) est un projecteur de rang 2 et de trace nulle.
Exercices
Exercice 1 : Soit (Eij) la base canonique de Mn(K). Classer ces matrices à équivalence près, puis à similitude près.
Exercice 2 : Montrer que les matrices
1 0
1 1 et
0 1
1
0 sont toujours équivalentes, mais ne sont jamais semblables, sauf en caractéristique 2.
Exercice 3 : Les matrices
1 0 0
1 1 0
0 1 1
et
1 0 0
0 1 0
0 1 1
sont-elles semblables ? Exercice 4 : Matrices carrées de rang 1.
1) Classifier à équivalence près les matrices A ∈ Mn(K) de rang 1.
2) Montrer que toute matrice de rang 1 est semblable, soit à une matrice diag(a, 0, …, 0), où a ∈ K*, soit à E12.
3) En déduire que dans Mn(K) deux matrices de rang 1 sont semblables ssi elles ont même trace.
4) Si K est fini de cardinal q, combien y a-t-il de matrices de rang 1 dans Mn(K) ? Combien y a-t-il de classes de similitudes de telles matrices ? Quel est le cardinal de chacune d’elles ?
Exercice 5 : Similitudes élémentaires. On reprend les notations du § 4.2.
1) Soit A ∈ Mn(K). Calculer Pij.A.Pij , Di(α).A.Di(1/α) , Tij(λ).A.Tij(−λ).
2) Soit A =
d c
b a ∈ M
2(K). Montrer que, si A est de la forme a.I2, A n’est semblable qu’à elle-même, et que si A n’est pas de cette forme, elle est semblable à
−+ d a
ad bc 1
0 . Conclure que A est semblable à une, et une seule, des matrices
a a 0
0 ,
− T
D 1
0 , où ( a, T, D ) ∈ K3. Si K est fini de cardinal q, combien M2(K) a-t-elle de classes de similitudes ? Exercice 6 : Soit A =
−− 3 6
2
4 . Calculer A2. Trouver P ∈ Gl2(K) telle que : P−1.A.P =
0 0
0 1 .
Exercice 7 : Soient A =
−
− −− − 3 2 1
4 3 1
4 2 2
et B =
− − −
− 4 2 1
4 2 1
4 2 1
. Calculer A2, B2 et AB.
Inteprétation géométrique
Exercice 8 : Quelle relation y a-t-il entre la trace et le rang d’un projecteur ?
Exercice 9 : Trouver toutes les formes linéaires f sur Mn(K) vérifiant ∀(A, B) f(A.B) = f(B.A).
Exercice 10 : Montrer que, pour toute forme linéaire f sur Mn(K), il existe une unique matrice A∈ Mn(K) telle que ∀M ∈ Mn(K) f(M) = tr(A.M). Retrouver l’exercice précédent.
Exercice 11 : Chercher les matrices A ∈ M2(K) telles que A2 = I.
Solution : La résolution brutale de cette équation (E), suggérée dans le §.1, conduit à une description peu interprétable de ces matrices. Cela s’explique, car si A est solution de (E), toute matrice semblable à A est aussi solution de (E). Il ne s’agit pas tant de résoudre (E) que de classer ses solutions à similitude près.
Or, si l’on raisonne en termes d’endomorphismes, alors A est la matrice d’une symétrie vectorielle.
• Si K est de caractéristique ≠ 2, il y a trois sortes de symétries dans un plan vectoriel E : ± IdE , et les symétries par rapport à une droite parallèlement à une droite supplémentaire.
Il y a donc trois classes de solutions de (E) : I2 , −I2 , et les matrices de la forme : P−1.
0 −1 0
1 .P , où P décrit Gl2(K).
• Si K est de caractéristique 2, u2 = I ⇔ ( I − u )2 = 0. On montrera qu’il y a 2 classes de solutions I2 , et les matrices de la forme : P−1.
1 0
1
1 .P , où P décrit Gl2(K).
Nous avons décrit les matrices cherchées, en les classant à similitude près.
Exercice 12 : Chercher les matrices A et B ∈ M2(R) telles que (∀x ∈ R) (A + x.B)2 = I.
Exercice 13 : (Clifford) Chercher des (ou les) matrices A et B ∈ M2(R) telles que ∀(x, y) ∈ R×R ( x.A + y.B )2 = ( x2 + xy – y2 ).I.
Exercice 14 : Résoudre dans Mn(K) l’équation : A2 = I.
Exercice 15 : Soit A∈Mn(R) telle que Aq = I pour q ≥ 1. Montrer que dim Ker(A − I) = q 1
∑
= q
i
Ai
tr
1
) ( . Exercice 16 : Montrer que les matrices A =
3 4
2
3 et B =
− 6 1
1
0 sont semblables dans M2(Q), non dans M2(Z), en ce sens qu’il n’existe pas de matrice P inversible dans M2(Z) telle que B = P−1.A.P.