Matrices remarquables - Calcul matriciel

Il existe de nombreuses classes particulières de matrices. Nous en étudions ici quelques-unes.

Lorsque les matrices sont carrées, nous privilégions l’interprétation en termes de matrices d’endo-morphismes (§ 2.3. et 5).

6.1. Matrices diagonales.

Définition 1 : On nomme diagonales les matrices A = (α_ij)∈Mn(K) telles que α_ij = 0 pour i ≠ j.

Notation : Si α_ii = λ_i, Diag(λ₁, ... , λ_n) =

















λ

λ λ

...

0 0

...

0 ...

2 1

Proposition 1 : Les matrices diagonales forment une sous-algèbre commutative de M_n(K), isomorphe à l’algèbre usuelle Kⁿ. De plus, rg Diag(λ1, ... , λn) = card { i ; λi ≠ 0 }. Diag(λ1, ... , λn) est inversible ssi les λi sont tous non nuls, et alors : Diag(λ1, ... , λn)⁻¹ = Diag(λ1−1 , ... , λn−1) . Interprétation vectorielle : Soient E un K-espace vectoriel de dim n, BBBB_{= (e}₁_{, ..., e}_n) une base de E, u un endomorphisme de E. Pour que M(u ; BBBB) soit diagonale il faut et il suffit que pour tout i, u(e_i) soit colinéaire à e_i, ou encore que chacune des droites K.e_i soit stable par u.

Définition 2 : Un endomorphisme de E est dit diagonalisable s’il existe une base BBBB tel que M(u, BBBB₎ soit diagonale.

Nous étudierons longuement ces endomorphismes dans le chapitre sur la réduction.

Exemples de matrices diagonales :

1) Les matrices scalaires λ.I_n, qui sont les matrices d’homothéties.

Elles forment le centre de M_n(K), c’est-à-dire les matrices qui commutent avec toutes les autres.

2) La matrice P_r = 

 O OO

Ir = Diag(1, ..., 1, 0, ... , 0) s’interprète comme matrice d’un projecteur de rang r dans une base convenable.

3) D_i(α) = Diag(1, .., 1, α , 1, ... , 1) où α ≠ 0 est à la i-ème place, s’interprète comme matrice d’affinité ou dilatation, d’axe D = K.e_i, de rapport α, relative à l’hyperplan H = Vect(ej, j ≠ i).

4) La matrice diagonale la plus générale Diag(λ1 , ... , λr , 0 , ... , 0) où les λi sont non nuls, s’interprète comme le produit commutatif : P_r.D₁(λ1) ... D_r(λr).

6.2. Matrices trigonales.

Définition 3 : Une matrice carrée A = (α_ij) ∈ M_n(K) est dite trigonale supérieure si α_ij = 0 pour i < j, trigonale inférieure si α_ij = 0 pour i > j .

Interprétation linéaire : Soient E un K-espace vectoriel de dim n, BBBB_{= (e}₁_{, ..., e}_n) une base de E.

Appelons drapeau adapté à cette base la suite F₀ = {0} ⊂ F₁⊂ ... ⊂ F_n= E , où F_i= Vect(e₁, ..., e_i).

Soit u ∈LLLL(E). Pour que la matrice M(u ; BBBB) soit trigonale supérieure, il faut et il suffit que chacun des sev F_isoit u-stable.

Définition 4 : Un endomorphisme de E est dit trigonalisable s’il existe une base BBBB de E telle que la matrice de u soit trigonale supérieure.

Nous étudierons longuement ces endomorphismes dans le chapitre sur la réduction.

Proposition 2 : i) L’ensemble T_n(K) des matrices trigonales supérieures est une sous-algèbre de dimension n(n + 1)/2 de M_n(K). Si A = (α_ij) ∈ T_n(K) et B = (β_ij) ∈ T_n(K), AB a pour diagonale le produit des diagonales.

ii) A = (α_ij) ∈ T_n(K) est inversible ssi (∀i) α_ii≠ 0, et alors A⁻¹ est trigonale supérieure, de diagonale α₁₁⁻¹ , ... , α_nn⁻¹ .

Exemples de matrices trigonales :

1) Matrices trigonales supérieures nilpotentes. Une matrice N = (α_ij) ∈ T_n(K) est nilpotente ssi ses éléments diagonaux sont nuls.

2) Matrices trigonales supérieures unipotentes. Ce sont les matrices U = (α_ij) ∈ T_n(K) dont les éléments diagonaux valent 1. C’est le cas des matrices de transvection : T_ij(α) = I + α.E_ij (i < j) . Exercice 1 : Montrer que les matrices trigonales supérieures unipotentes forment un sous-groupe multiplicatif de Tn^*(K), engendré par les matrices de transvection T_ij(α) (i < j).

Exercice 2 : Montrer que les matrices de la forme













−

0 1 0

2 1

1 2 1

0 ...

0 0

...

0 ...

...

0 ...

α α α

α α

α α α

α α

n n n

forment une sous-algèbre

commutative de T_n(K). Dimension, base, table ?

Exercice 3 : 1) Soit B ∈ M_n(K) triangulaire supérieure de diagonale (λ1, λ2, …, λn), où les λi sont deux à deux distincts. Montrer que si A commute à B, A est triangulaire supérieure.

2) En déduire que si A ∈ M_n(R) est telle que A² soit triangulaire supérieure de diagonale (1, 2, …, n), A est triangulaire supérieure.

6.3. Matrices de permutation.

Les matrices considérées ici sont à coefficients dans le corps Q (mais on pourrait envisager d’autres corps).

Définition 5 : Par matrice 0-1 on entend une matrice dont les éléments valent 0 ou 1. Une matrice de M_n(Q) est dit de permutation si elle est 0-1 et comporte un seul 1 dans chaque ligne et chaque colonne.

Il y a 2^np matrices 0-1 dans M_Q(n, p), et n! matrices de permutation dans M_n(Q).

En effet, soit P une matrice de permutation.

Pour chaque indice j, soit σ(j) l’unique indice tel que p_σ_(j),j = 1.

L’application j →σ(j) est injective, donc bijective.

C’est une permutation σ de {1, 2, ..., n}, etp_i,j = δ_i,σ(j).

Réciproquement, si σ ∈ SSSS_n est une permutation de {1, 2, ..., n}, on appelle matrice de permuta-tion associée à σ, la matrice d’ordre n : P_σ= (δ_i,σ(j)).

On peut définir P_σpar son action sur la base canonique de Qⁿ : P_σ(e_j) = e_σ(j),

ou par son action sur les vecteurs : x = t(x₁, ..., x_n) , P_σ(x) = t(x_σ'(1), ..., x_σ'(n)) , où σ' = σ⁻¹. Moins formellement, une matrice de permutation est une matrice ayant un et un seul élément non nul dans chaque ligne et chaque colonne, qui vaut 1.

Proposition 3 : L’application P : σ → P_σest un morphisme injectif de groupes de SSSS_n_{dans Gl}_n_(Q).

Son image est un sous-groupe de Gl_n(Q), engendré, notamment, par les matrices de transposition P_ij (i < j). De plus (P_σ)−1 = t P_σet (en anticipant) det P_σ= ε(σ)^.

Le programme Maple suivant affiche une permutation aléatoire s, et donne la matrice associée, sa trace (nombre de points fixes), son déterminant et (en anticipant) ses propriétés spectrales :

> with(combinat):with(linalg):

k:=proc(x,y) if x=y then 1 else 0 fi;end;

> s:=randperm(6);

s [4 2 1 6 5 3, , , , , ]

> M:=matrix(6,6,(i,j)->k(i,s[j]));

det(M);factor(charpoly(M,x));factor(minpoly(M,x));





























0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

-1

(x + 1 () x² + 1 () x − 1)³ (x − 1 () x + 1 () x² + 1)

Exercice 4 : Montrer qu’une matrice de permutation P est une matrice à éléments dans {0, 1} telle que ^tP.P = I_n.

Exercice 5 : Soit P_σ une matrice de permutation. On lui fait subir autour de son « centre » O, les rotations d’angles

π4 _, π2_,

3π , et les symétries par rapport aux deux diagonales et aux deux axes vertical et horizontal passant par O, bref les 8 transformations du groupe diédral du carré. Démontrer qu’on obtient encore des matrices de permutation. Les reconnaître.

Exercice 6 : Montrer que si A ∈ M_K(n, p) est échelonnée en lignes, il existe une permutation σ∈ S

S S

S_p telle que A.P_σ =



 O OX Ir .

Exercice 7 : Si A ∈ M_n(K), reconnaître P_σ.A , A.P_σet ^tP_σ.A.P_σ.

Exercice 8 : On note Ωp la matrice d’ordre p définie par Ωp =

















0 ...

...

1 ...

...

0 0

0 ...

1 0

. Démontrer que, pour toute permutation σ de {1, 2, …, n}, il existe une permutation ϕ telle que

P_ϕ⁻¹.P_σ.P_ϕ = diag( Ωp1 , Ωp2 , … , Ωpk ).

Exercice 9 : Si E est un espace vectoriel et G est un sous-groupe de Gl(E), un sous-espace F de E est dit G-stable si (∀g ∈ G) g(F) ⊂ F. Soit E = Rⁿ et G le groupe des matrices de permutation.

Montrer que les seuls sous-espaces G-stables de E sont {0}, D, H et E, où D est la droite engendrée par le vecteur (1, 1, …, 1) et H l’hyperplan d’équation x₁ + x₂ + … + x_n = 0.

[ Indication : Si un sous-espace G-stable F contient un vecteur x tel que x_i≠ xj, on montrera que F contient (1, −1, 0, …, 0). ]

Exercice 10 : Matrices d’Hermite.

On appelle matrice d’Hermite d’ordre n toute matrice H trigonale supérieure vérifiant :

si la i-ème ligne de H est non nulle, alors h_ij = 1 et il n’y a sur la i-ème colonne de H aucun autre élément non nul.

1) Montrer qu’une matrice d’Hermite vérifie ⁶ : H² = H.

2) Montrer que les vecteurs lignes non nuls de H sont indépendants, et que les vecteurs colonnes non nuls de I − H sont indépendants. En déduire n = rg(H) + rg( I − H ).

Exercice 11 : Matrices monomiales.

On nomme ainsi les matrices carrées ayant un et un seul élément non nul dans chaque ligne et chaque colonne.

1) Montrer qu’elles forment un groupe multiplicatif, dont on étudiera la structure.

2) Montrer que, pour tout nombre premier p et tout entier n > 0,

n!×(p − 1)ⁿ divise ( pⁿ – 1 )( pⁿ – p ) … ( pⁿ – pⁿ⁻¹) .

3) Soit A ∈ Gl_n(R). Montrer que A et A⁻¹ sont à coefficients ≥ 0 ssi A est à coefficients ≥ 0, et monomiale.

6.4. Matrices-blocs.

Dans ce § nous revenons à des matrices rectangulaires. Afin d’éviter la débauche de notations qui rend proprement illisibles trop de livres actuels (ceux d’Arnaudiès, pour ne pas le citer), nous convenons que chaque fois que nous effectuons une création ou une opération matricielles, le format s’y prête.

Proposition 4 : Opérations sur les matrices-blocs. Si les formats le permettent : 

 D C

A + 

 ' '

' '

D C

A = 



+ +

' '

D D C C

B B A

A et 

 D C

A _×



 ' '

' '

D C

A = 



++ +

' . ' . ' . ' .

D D B C C D A C

D B B A C B A A

Attention à l’ordre dans la formule donnant le produit !

Preuve : calculatoire, ou utilisant une interprétation linéaire des matrices-blocs, reposant sur des décompositions des espaces vectoriels source et but en somme directe.

Remarque : Généralisation immédiate aux matrices partitionnées en n×p blocs au lieu de 4.

Proposition 5 : Matrices trigonales par blocs. Soit 1 ≤ p < n.

Les matrices de la forme M =



 D O

A , où A est carrée d’ordre p, et D carrée d’ordre n − p, forment une sous-algèbre de M_n(K).

De plus, M est inversible si et seulement si A et D le sont, et M⁻¹ = 



−

− 1

1 *

D O

A .

Exercice 12 : Soit A =

















−

− 2 1 0 0 0

3 2 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 2 1 0

0 0 0 0 2

. Calculer A² le plus simplement possible.

Exercice 13 : exemples de projecteurs.

1) Montrer que, dans M_n(K), P = 

 O O

B Ir

et Q = 

 O C

O Ir

sont des projecteurs de rang r.

6 Mon ami François G* objectera à juste titre qu’une matrice ne vérifie rien du tout, mais satisfait à telle ou telle condition. François, arrête d’enculer des mouches, euh, pardon !, de sodomiser des drosophiles…

2) En déduire que l’ensemble PPPP_r des projecteurs de rang r contient deux sous-espace affines de dimension r.(n − r).

Exercice 14 : matrices de rang r.

1) Soit A ∈ M_K(n, p) une matrice de rang r. Montrer qu’il existe une sous-matrice carrée de format r×r inversible, et qu’il n’existe aucune sous-matrice carrée de format (r+1)×(r+1) inversible.

2) Montrer que les matrices A de rang r telles que la sous-matrice A[1,r]×[1,r] soit inversible, sont de la forme A =









−Q RP R

Q P

1 , où P ∈ Gl_r(K), Q et R étant quelconques (de formats convenables).

Exercice 15 : Soient E un K-ev de dimension finie n , f ∈LLLL(E). Montrer l’équivalence : i) Im f = Ker f ;

ii) n est pair, n = 2m, et il existe une base BBBB de E telle que Mat( f , BBBB_{) =}



 O O

I O ^m _; iii) f o f = 0 et il existe un endomorphisme h de E tel que id_E = h o f + f o h.

Exercice 16 : algorithmes de multiplication matricielle.

1) Nombres d’opérations (multiplications, additions) nécessaires pour multiplier 2 matrices n×n?

2) Algorithme de Strassen (1969) : Vérifier que :







 d c

b a .







 D C

B A =







 + +− + + −+ + u q r p s q

t r v t s p

où : p = ( a + d ).( A + D ) q = ( c + d ).A r = a.( B − D ) s = d.( C − A ) t = ( a + b ).D u = ( c − a ).( A + B ) v = ( b − d ).( C + D ) Combien d’opérations comportent ces calculs ?

3) Algorithme de Winograd : Vérifier que : 

 d c

a . 

 D C

A = 



+ +

−

+ + +

z y u t y u

v z u C b x .

où : x = a.A , y = ( a − c ).( D − B ) , z = ( c + d ).( B − A ) ,

u = x − (a − c − d).(A + D − B) , v = (a + b − c − d).(A + D − B) , w = d.(A + D − B −C).

En déduire que ce calcul nécessite 7 multiplications et 15 additions.

4) Appliquant cette méthode de manière récursive, montrer qu’on peut multiplier deux matrices 2^m×2^m avec 7^m multiplications et 5.(7^m − 4^m) additions, puis deux matrices n×n en O(n^ln7) opérations.⁷

Exercice 17 : produits tensoriels. Soient A, B, C et D quatre matrices. Reconnaître (A ⊗ B).(C ⊗ D).

Exercice 18 : matrices en damier.

Une matrice M = (m_ij) ∈ M2n(K) est dite « en damier » si m_ij = 0 pour i + j ≡ 1 (mod 2),

autrement dit si elle est de la forme M =





















n nn n

n n

b b

a a

b b

a a

b b

a a

0 ...

0 0

0 ...

0 0

...

0 ...

0 0

0 ...

0 0

0 ...

0 0

0 ...

0 0

2 1

2 22

1 12

Montrer que les matrices en damier forment une sous-algèbre E de M_2n(K), isomorphe à l’algèbre M_n(K)×M_n(K), et que l’inverse d’une matrice en damier est une matrice en damier.

Exercice 19 : matrices centrosymétriques.

Une matrice A = (a_ij) ∈ M_n(K) est dite « centrosymétrique » si ∀(i, j) a_n+1₋_i,n+1₋_j = a_ij . 1) Montrer que ces matrices forment une sous-algèbre C_n(K) de M_n(K). Dimension ?

2) Soit J =

















0 0 ...

0 1

0 ...

1 0

...

0 1 ...

1 0 ...

0 0

∈ Mn(K). Calculer J². Trouver une matrice diagonale semblable à J.

3) Vérifier A ∈ C_n(K) ⇔ AJ = JA, et retrouver les résultats de 1). Si A est centrosymétrique et inversible, que dire de son inverse ?

4) On considère la matrice A = (i+j−1)₁_≤_i,j_≤₁₀. Quelle est la somme de ses éléments ? Exercice 20 : quaternions.

Soit H l’ensemble des matrices A =

















−

−−− − − a b c d

b a d c

c d a b

d c b a

, où (a, b, c, d) décrit R⁴. 1) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de M₄(R). Dimension et base ?

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