Matrice système

des images.

3.2 Matrice système

3.2.1 Définition de la matrice système

Connaissant la distribution du radio-traceur f (r,t) dans l’objet durant une acquisition, le problème direct consiste à modéliser le tomographe pour estimer la moyenne dn, j des coïnci-

dences détectées par la paire n de détecteurs durant le fenêtre d’acquisition temporelle Tj =

[tj−1,tj]. Si on suppose que la relation entre f (r,t) et le système de détection est linéaire et que

les caractéristiques du tomographe sont invariables dans le temps alors on peut écrire que

dn, j= Z Tj dt Z Ω f(r,t)hn(r)dr, (3.8)

où hn(r) est la fonction de sensibilité du système (kernel) qui représente la réponse de la paire

de détecteurs n à une source unitaire située à la position r. hn(r) est indépendant de la variable

temps t car on suppose que les caractéristiques du tomographe sont invariables dans le temps. Tous les phénomènes physiques qui sont linéaires en fonction de f peuvent théoriquement être modélisés par hn(r), notamment : la projection géométrique, l’atténuation des photons, la

sensibilité des détecteurs, la non-colinéarité des deux photons, la diffusion des photons et leur pénétration dans le cristal, la diffusion inter-cristaux et le diffusé dans le patient. Mais le taux des coïncidences fortuites qui est proportionnel à f2[115] ne peut pas être intégré aux coefficients hn(r), il doit être considéré comme un facteur additif aux mesures. Si on remplace f (r,t) par

l’équation de discrétisation 3.4 et puis on considère la fonction φj(t) définie dans l’équation

3.6, l’équation 3.8 du modèle, qui prédit le nombre de coïncidences dn, j détecté par la paire de

détecteur n durant l’intervalle d’acquisition Tj, s’écrira

dn, j= I

∑

où τj= tj− tj−1 est la durée de la fenêtre d’acquisition Tj. La sous matrice système Aj est

défini par

Aj(n, i) = τj

Z

Ω

φi(r)hn(r)dr. (3.10)

Soient dj= [d1, j, d2, j, ..., dN, j]T le vecteur du nombre des coïncidences détectées par chaque paire

3.2. MATRICE SYSTÈME

de détecteurs durant l’acquisition j et cj= [c1, j, c2, j, ..., cN, j]T le vecteur des coefficients de dé-

composition de f (r,t), l’équation 3.9 s’écrira alors :

dj= Ajcj. (3.11)

La matrice Aj∈RNxI où N est le nombre de paires de détecteurs (de 106 à 109 ) et I est

le nombre de voxels (de l’ordre de 106 ). Chaque élément Aj(n, i) de la matrice Aj quantifie la

contribution du voxel i de l’objet Ω aux coïncidences détectées par la paire n durant l’acquisition j. Pour l’ensemble de fenêtres temporelles d’acquisition, on aura :

        d1 d2 .. . dJ         =         A1 0 · · · 0 0 A2 0 ... .. . 0 . .. 0 0 0 · · · AJ                 c1 c2 .. . cJ        

Si on considère que la durée d’acquisition est la même pour toutes les acquisitions j alors Aj(n, i) = A = τ

R

Ωφi(r)hn(r)dr. Par la suite, nous considérerons, par souci de simplification

de notation, qu’une seule fenêtre d’acquisition (acquisition statique) ce qui permettra d’écrire l’équation 3.11 sous la forme

d = Ac, (3.12)

où A est la matrice système (MS) qui modélise le processus d’acquisition. Pour rendre le modèle plus réaliste, on doit tenir compte des phénomènes physiques qui n’ont pas été intégrés dans A, notamment les coïncidences fortuites et le diffusé dans le patient. Le diffusé peut être intégré dans A, mais il est généralement modélisé comme un bruit additionnel aux mesures par souci de ne pas complexifier la matrice A. Le modèle sera donc

d = Ac + r + s + n, (3.13)

où r est le vecteur qui quantifie les coïncidences fortuites, s est celui qui quantifie les événements de diffusion et le vecteur n est le bruit qui prend en compte le caractère stochastique du proces- sus d’acquisition. n est en généralement considéré comme un bruit blanc de moyenne nulle et dont la densité de probabilité est inconnue. Cependant, de cette modélisation déterministe qui modélise le bruit stochastique indépendamment des mesures, il résulte des algorithmes de re-

3.2. MATRICE SYSTÈME

construction incapables de contrôler le niveau du bruit lors du processus de reconstruction. Les images obtenues sont donc trop bruitées et nécessitent un post-filtrage du bruit aux dépens de l’exactitude de la solution. Par conséquent, des modèles stochastiques plus réalistes conduisant à des algorithmes statistiques plus exactes ont été utilisés ([205]). Les mesures sont considérées comme une variable aléatoire qui obéit à la statistique de Poisson ou de Gauss pour des acquisi- tions effectuées avec un grand nombre d’événements. L’équation 3.13 du modèle s’écrira donc

d = E(D) = Af + r + s, (3.14)

où le vecteur de mesures calculées d est la valeur moyenne de la variable aléatoire D. Les coefficients Ai, j de la matrice système A désignent les probabilités de détection par la paire de

détecteurs i d’une désintégration survenue au voxel j et le vecteur f est la valeur moyenne de la variable aléatoire F représentant la densité des désintégrations dans l’objet.

3.2.2 Détermination de la matrice système

La MS est gigantesque pour les tomographes 3D (ordre des To), et elle est creuse et présente plusieurs symétries. Ces propriétés sont généralement exploitées pour réduire énormément sa taille et accélérer sa création [77, 195, 253]. La MS devient dense et le nombre des symétries diminue au fur et à mesure qu’elle tient compte de différents phénomènes physiques pour aug- menter la précision du modèle dans le but d’améliorer la qualité des images reconstruites.

La MS est généralement calculée en temps réel (on-the-fly) durant la reconstruction par des méthodes analytiques simples. Parmi ces méthodes, on cite l’algorithme de Siddon (Sid- don ray tracing) ([77, 209, 254]) qui définit le coefficient Ai, j comme la longueur de l’inter-

section (LOI : length-of-intersection) de la ligne joignant les deux centres de la paire de dé- tecteurs i avec le voxel j. Pour améliorer l’échantillonnage du volume, surtout lorsque la taille des voxels est inférieure à la largeur des détecteurs, certains auteurs [139] ont utilisé l’algorithme multi-trajectoires (multi-tracing) qui considère plusieurs lignes joignant les paires de détection. D’autres auteurs ont considéré le volume d’intersection (VOI : volume-of-intersection) entre le voxel j et le tube qui lie les deux détecteurs i [97, 156, 170, 196].

Des méthodes de calcul analytiques complexes pour améliorer la précision de la modélisation ont été développées [185]. Ces méthodes tiennent compte surtout des facteurs physiques qui introduisent un flou dans l’image et détériorent la résolution tels que la portée du positron, la

3.2. MATRICE SYSTÈME

non-colinéarité des deux photons, la diffusion des photons et leur pénétration dans les cristaux et la diffusion inter-cristaux. Cependant, à cause de l’intensité de calcul lors de la reconstruction, la MS est généralement calculée en temps réel durant la reconstruction en utilisant des méthodes analytiques très simples et rapides. Les autres effets physiques sont précorrigés sur les données d’acquisition au lieu d’intégrer ces corrections dans les algorithmes de reconstruction, ce qui détériore l’exactitude de la quantification.

Pour améliorer l’exactitude de la MS, des auteurs ont essayé aussi de la mesurer avec une source ponctuelle [6, 159, 221] et de l’enregistrer pour être utilisée, après, dans la reconstruction. Cependant, cette approche constitue non seulement un défi pour la mesurer avec précision dans le cas des tomographes 3D, mais à cause de la taille de cette matrice, le temps d’accès aux éléments de la matrice serait très long et, par conséquent, la reconstruction serait aussi très longue par rapport aux contraintes cliniques.

L’autre méthodologie utilisée pour précalculer la MS est la simulation Monte Carlo [4, 111, 181, 207, 253]. Cette approche permet une meilleure modélisation du système d’acquisition en tenant compte des phénomènes physiques linéaires. Le problème est que la taille de cette matrice est très grande pour les TEPs 3D modernes même si elle est compressée en utilisant les symétries et en n’enregistrant que les coefficients non nuls [253]. Par conséquent, le temps de reconstruction des images est relativement long pour permettre une utilisation en clinique de cette approche. Néanmoins, la disponibilité des logiciels Monte Carlo tels que GATE [90] et PET-EGS [37] permettant de modéliser facilement les systèmes TEPs, et celle des supercalculateurs facilitent le calcul de la MS dans un temps raisonnable (moins de 5 jours) [253].

Pour combiner les méthodes de calcul citées ci-dessus afin d’améliorer l’exactitude du mo- dèle, tout en diminuant la taille de stockage de la MS en réduisant le temps de calcul, une ap- proche proposée consiste à décomposer A en produit d’un ensemble de matrices creuses qui peuvent être compressées facilement ([108, 140, 141]) :

A = Adet.sensAdet.blurAattAgeom, (3.15)

où :

– Ageomest une matrice de taille IxJ avec I le nombre de LORs et J le nombre de voxels,

et qui représente la probabilité géométrique pour qu’une paire de photons produite dans le voxel j atteigne la face de la paire de détection i. Ageomest généralement calculée par la