Majorant du coût garanti

Dans cette section, nous nous intéresserons à la détermination d’un

majo-rant du coût gamajo-ranti. Le majomajo-rant est déterminé grâce à la résolution d’un

pro-blème d’optimisation convexe sous des contraintes LMI. On détermine un

en-semble de fonctions de Lyapunov qui dépendent du paramètre de

commuta-tionσ(k)et dont la valeur à l’instant initial est supérieure au coût garantiJ^ˆ(x

0

).

En considérant la structure particulière du coût garanti, nous avons cherché

des fonctions de Lyapunov de forme quadratique par rapport à la condition

initiale en x

0

. On obtient alors un majorant du coût garanti. Néanmoins, ce

majorant dépend de la direction de la condition initiale. Pour obtenir un

ré-sultat plus général, on souhaite s’affranchir de cette direction. Pour cela, on

détermine un majorant des fonctions de Lyapunov obtenues précédemment.

On obtiendra alors une inégalité de la forme suivante

ˆ

J(x

0

)≤V(x

0

, σ(0)) ≤βkx

0

k

²₂

. (2.13)

Nous allons dans ce chapitre travailler avec les hypothèses suivantes :

Hypothèse 1 Les paires(A

_i

, C

_i

)sont observables pour touti∈Σ.

Cette hypothèse permet d’assurer la proposition suivante :

Proposition 1 Sous l’hypothèse 1, si le coût garanti J^ˆ(x

0

) a une valeur finie pour

toute condition initialex

0

, alors le système (2.1) est asymptotiquement stable.

Preuve 8 Si le coût garantiJ^ˆ(x

0

)a une valeur finie pour toute condition initiale, on

peut en déduire que le critère associé pour chaque mode figéi ∈ Σest aussi de valeur

finie. Ces critères sont définis à l’aide d’une série qui est alors convergente. Les termes

de la série tendent vers zéro, et l’on a alors

C

i

x

k

= 0, (2.14)

C

i

x

k+1

= C

i

A

i

x

k

= 0, (2.15)

C

i

x

k+2

= C

i

A

²_i

x

k

= 0, (2.16)

..

.

C

i

x

k+nx−1

= C

i

A

ⁿx−1 i

x

k

= 0. (2.17)

On obtient alors











C

i

C

i

A

i

..

.

C

i

A

ⁿx−1 i









^x

^k

^=C(C

ⁱ

^{, A}

ⁱ

^)x

^k

^{= 0. (2.18)}

On reconnait alors la matrice d’observabilité de Kalman, qui est de rang plein sous

l’hypothèse1. L’état tend donc bien vers l’origine. Le système (2.1) est stable.

Hypothèse 2 Les matrices A

i

pouri ∈ Σsont de type Schur, c’est-à-dire à valeurs

propres de module strictement inférieur à 1.

La stabilité du système à commutations (2.1) doit être assurée pour toute

séquence de commutations. Si un des sous-systèmes est instable alors on ne

peut pas garantir la stabilité du système et le coût devient infini.

On souhaite obtenir un majorant le plus proche possible du coût

ga-ranti. On résout alors un problème d’optimisation sous deux ensembles de

contraintes LMI. Il s’en suit le théorème suivant :

Théorème 12 Soit le système défini par (2.1). Pour touti∈Σ, s’il existe des matrices

G

i

∈R

^nx×nx

,S

i

∈R

^nx×nx

tel queS

i

=S

T

i

et un scalaireβ, tels que les LMI



 ^G

ⁱ

^+G

T i

−S

i

? ?

A

i

G

i

S

j

?

C

i

G

i

0

mz×nx

I

mz



>0

2nx+mz

, ∀(i, j)∈Σ

²

(2.19)

et

βI

nx

?

I

nx

S

i

>0

2nx

, ∀i∈Σ, (2.20)

soient faisables alors le majorant recherché est solution du problème d’optimisation

suivant :

min

G

i

, S

i

, β,

sous les contraintes (2.19) et (2.20)

β (2.21)

et l’inégalité suivante est vérifiée :

ˆ

J(x

₀

)≤V(x

₀

, σ(0))≤βkx

₀

k

²2

(2.22)

oùV(x

0

, σ(0)) =x

T

0

S

_σ⁻₍₀₎¹

x

0

.

Remarque 12 Définissons la fonctionV^¯ telle que :

¯

V :

(

R

^nx

−→ R

⁺

x

0

7−→ V^¯(x

0

) = max

i∈Σ

V(x

0

, i). ^(2.23)

Cette fonction correspond à la plus grande valeur des fonctions de Lyapunov pour les

différents modes. Les majorations données par (2.22) peuvent être complétées par :

ˆ

J(x

0

)≤V(x

0

, σ(0))≤V^¯(x

0

)≤βkx

0

k

²2

.

Pour analyser la stabilité et les performances du système à

commu-tations (2.1), on résout un problème d’optimisation convexe sous deux

ensembles de contraintes LMI. Le premier ensemble qui correspond aux

LMI (2.19) permet l’analyse de la stabilité du système et mène à l’obtention

de fonctions de Lyapunov de forme quadratique dont la valeur à l’instant

ini-tial est supérieure au coût garanti. On obtient alors l’inégalité suivante :

ˆ

J(x

0

)≤V(x

0

, σ(0)).

Malheureusement, ce majorant dépend de la direction de la condition

ini-tiale. Le deuxième ensemble de LMI (2.20) permet de s’affranchir de la

direc-tion de la condidirec-tion initiale et mène à l’inégalité suivante :

ˆ

J(x

₀

)≤V(x

₀

, σ(0)) ≤βkx

₀

k

²2

.

Remarque 13 Le premier bloc en pointillés de la LMI (2.19) qui est le suivant :

G

i

+G

T i

−S

i

?

A

i

G

i

S

j

>0

2nx

(2.24)

correspond à l’analyse de la stabilité du système à commutations (2.1) [DRI02].

Remarque 14 La faisabilité de l’inégalité (2.19) est équivalente à celle de



 P^P

j

A

ⁱ i

P^?

j

^??

C

i

0

mz×nx

I

mz



>0

2nx+mz

(2.25)

en la variableP

i

. La démonstration de l’équivalence entre les conditions (2.19) et (2.25)

est similaire à celle présentée dans [DRI02] pour l’analyse de stabilité. L’introduction

de variables supplémentairesG

i

est initialement apparue dans [OBG99] dans le cas de

systèmes linéaires incertains invariant dans le temps en temps discret. Ces variables

sont utiles pour des problèmes de conception de lois de commande contraintes comme

cela a été démontré dans [DRI02]. Nous avons fait le choix de travailler avec la

condi-tion (2.19) plutôt que la condition (2.25) puisque nous nous intéresserons dans la

suite à la conception de lois de commande. Pour obtenir un majorant solution du

pro-blème d’optimisation (2.21) en utilisant comme contrainte l’inégalité (2.25), la seconde

contrainte (2.20) doit être remplacée par l’inégalité suivante :

P

i

−βI

nx

<0

nx

. (2.26)

Preuve 9 Quand l’inégalité (2.19) est vérifiée, on aG

i

+G

T

i

−S

i

> 0etS

i

>0, ce

qui implique queG

i

est de rang plein. En développant(S

i

−G

i

)

T

S

_i⁻¹

(S

i

−G

i

), on a

G

T

i

S

_i⁻¹

G

i

≥G

i

+G

T

i

−S

i

>0. Alors l’inégalité (2.19) conduit à



 ^G

T i

S

_i⁻¹

G

i

(A

i

G

i

)

T

(C

i

G

i

)

T

A

i

G

i

S

j

0

nx×mz

C

_i

G

_i

0

_mz×nx

I

_mz



>0

2nx+mz

. (2.27)

En pré-multipliant cette inégalité par diag{G

⁻T

i

, S

⁻1

j

, I

_mz

}et en la post-multipliant

par sa transposée, on obtient l’inégalité suivante



 ^S

−1 i

? ?

S

_j⁻¹

A

i

S

_j⁻¹

?

C

i

G

i

0

mz×nx

I

mz



>0

2nx+mz

. (2.28)

Le changement de variablesP

i

=S

_i⁻¹

permet d’écrire



 P^P

j

A

ⁱ i

P^?

j

^??

C

_i

0

_mz×nx

I

_mz



>0

2nx+mz

. (2.29)

Il vient alors



 P

σ(k

^P

+1)^σ(k

A

⁾σ(k)

P

σ(

^?

k+1)

^??

C

_σ(k)

0

mz×nx

I

mz



>0

2nx+mz

. (2.30)

L’utilisation judicieuse de deux compléments de Schur [BEFB94] mène à l’inégalité

suivante :

A

^T_σ(k)

P

σ(k+1)

A

σ(k)

−P

σ(k)

<−C

σ(k)^T

C

σ(k)

, (2.31)

On considère ensuite une fonction de Lyapunov qui dépend des paramètres [DRI02].

Une fonction de Lyapunov dépendante du paramètre de commutation est définie comme

suit :

V(x

_k

, σ(k)) =x

^T_k

P

_σ(k)

x

_k

.

En pré-multipliant l’inégalité (2.31) parx

T

k

et en la post-multipliant parx

k

, on a :

x

^T_k

C

σ(k)^T

C

σ(k)

x

k

≤V(x

k

, σ(k))−V(x

k+1

, σ(k+ 1)). (2.32)

On somme toutes ces dernières inégalités et on obtient

+∞

X

k=0

x

^T_k

C

σ(k)^T

C

σ(k)

x

k

≤V(x

0

, σ(0)) =x

^T₀

P

σ(0)

x

0

, (2.33)

parce que le système est stable c’est-à-dire lim

k→+∞

V(x

_k

, σ(k)) = 0.

Pour s’affranchir de la direction des vecteursx

0

, on utilise un complément de Schur

pour la LMI (2.20). Il vient alors

P

σ(0)

< βI

2nx

. (2.34)

En pré-multipliant la dernière inégalité par x

T

0

et en la post-multipliant par sa

transposée, il s’en suit

x

^T₀

P

σ(0)

x

0

≤x

^T₀

βI

2nx

x

0

. (2.35)

Ce qui conduit, pour toutσ(0)∈Σ, à l’inégalité

x

^T₀

P

σ(0)

x

0

≤βkx

0

k

²2

. (2.36)

Théorème 13 Si les LMI (2.24) sont faisables alors le système à commutations (2.1)

est exponentiellement stable et la valeur du coût garanti est finie.

Lorsqu’un système est instable, le critère n’a pas de valeur finie. Cependant,

si un système est asymptotiquement stable, cela ne permet pas de garantir que

le critère converge. Pour être certain d’avoir un critère à valeur finie, il faut en

plus de la stabilité, garantir que le critère converge suffisamment rapidement.

Le système doit donc être stable et converger rapidement. La stabilité

quadra-tique ou exponentielle d’un système permet ainsi d’assurer que le critère est à

valeur finie.

Preuve 10 Si les LMI (2.24) sont faisables alors l’inégalité suivante est vérifiée

L

ij

=A

^T_i

P

j

A

i

−P

i

<0

nx

, ∀(i, j)∈Σ

²

. (2.37)

On note

ij

= −λ

_max

(L

ij

)

2 ^, ∀(i, j)∈Σ

²

.

L’inégalité suivante est alors vérifiée :

A

^T_i

P

j

A

i

−P

i

<−

ij

I

nx

, ∀(i, j)∈Σ

²

(2.38)

On recherche ensuite la plus petite valeur des

ij

:

= min

(i,j)∈Σ2

ij

.

On a donc ∀(i, j) ∈ Σ

2

, −

ij

≤ − et comme le nombre de modes est fini on a

également >0, ce qui conduit à

A

^T_i

P

j

A

i

−P

i

<−I

nx

<0

nx

, ∀(i, j)∈Σ

²

(2.39)

De même, on a C

_i^T

C

i

> 0

nx

. On note ξ la plus grande valeur propre desC

_i^T

C

i

pour touti∈Σ:

ξ= max

i∈Σ

λ

max(

C

_i^T

C

i

).

Il s’en suit l’inégalité suivante

∀i∈Σ, −ξI

nx

≤ −C

_i^T

C

i

<0

nx

.

On poseP^˜

i

=

^ξ

P

i

. On multiplie l’inégalité (2.39) par

^ξ

et on obtient

A

^T_i

P^˜

j

A

i

−P^˜

i

<−ξI

nx

. (2.40)

On a alors également

A

^T_i

P^˜

j

A

i

−P^˜

i

<−C

_i^T

C

i

. (2.41)

Cette inégalité correspond à l’inégalité (2.31).

Remarque 15 Si les LMI (2.19) sont faisables alors les LMI (2.24) le sont également.

En effet, les LMI (2.19) permettent d’assurer la stabilité du système (2.1) et de

dé-terminer un majorant fini du coût garanti. De même, la faisabilité des LMI (2.24)

implique celle des LMI (2.19). Les LMI (2.24) assurent la stabilité du système (2.1) et

permettent d’affirmer que le coût garanti est à valeur finie. Il est donc possible d’obtenir

un majorant à partir des fonctions de Lyapunov.

On a ainsi déterminé un majorant aussi petit que possible du coût garanti

dans la classe de fonctions de Lyapunov considérée et non pas la valeur de ce

coût garanti. Cependant, on ne sait pas si ce majorant et ce coût garanti sont

proches ou non. En effet, nous avons déterminé des fonctions de Lyapunov

qui étaient cherchées parmi une classe particulière puisqu’elles étaient choisies

sous forme quadratique avec les matrices de Lyapunov fonction du paramètre

de commutation. Cette restriction peut donc être la cause d’un certain

conser-vatisme et les valeurs du majorantβkx

0

k

²2

et du coût garantiJ^ˆ(x

0

)peuvent ne

pas être proches l’une de l’autre. Il est donc pertinent de s’intéresser à l’écart

existant entre le majorant obtenu par le théorème 12 et le coût garanti J^ˆ(x

0

).

La section suivante s’intéresse ainsi à la détermination d’un minorant du coût

garanti.

Dans le document Synthèse de lois de commande pour les systèmes à commutation avec contraintes de performances (Page 44-49)