Maintaining an operating margin surplus

É comum considerar, ingenuamente, que a álgebra e a aritmética são a mesma linguagem, apenas trocando-se os números pelas letras, mas a diferença maior entre elas são exatamente os seus objetivos.

Segundo DA ROCHA FALCÃO (2008) a passagem da aritmética para a álgebra, nas escolas brasileiras, se dá através de um complexo processo, tanto do ponto de vista psicológico como do ponto de vista didático, vez que esse processo – o fazer algébrico – se constitui em basicamente quatro etapas interligadas e com dificuldades específicas. As mesmas são:

1) Mapeamento do problema 2) Escrita algébrica

3) Procedimento de resolução

4) Retomada do sentido (formulação da resposta final)

Utilizando um problema que aparece em Usiskin (1995), vamos seguir as etapas colocadas acima por Da Rocha Falcão:

“Adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 40. Achar o número.”

1) O mapeamento do problema - seria o momento em que o aluno iria ler o problema e mentalmente tentar entender o que o mesmo está pedindo.

2) Escrita algébrica - nesta etapa o aluno vai escrever o problema através da álgebra, ou seja, a expressão algébrica que provavelmente dará conta da resolução do problema: 5x + 3 = 40

3) Procedimento de resolução - depois de feita a escrita algébrica, supondo-se a mesma correta, o aluno vai então utilizar os procedimentos algébricos

necessários para a resolução do problema: 5x = 40 – 3 5x = 37 x = 37/5 x = 7,4

4) Retomada do sentido (formulação da resposta final) - esta última etapa consitiria em o aluno encontrar a solução do problema e fazer uma volta com essa resposta, fazendo uma análise se a mesma tem sentido, podendo inclusive recorrer a sua verificação através da substituição, na expressão algébrica, do valor numérico encontrado: 5 x 7,4 + 3 = 37 + 3 = 40

Ainda segundo o mesmo autor, ele coloca que „a passagem da linguagem natural para o simbolismo formal se constitui em processo complexo‟ (DA ROCHA FALCÃO, 2008). Essa conclusão ele chega através de uma pesquisa que realizou com alunos franceses de 14 anos de idade, de nível escolar equivalente ao nono ano do ensino fundamental aqui do Brasil.

Em USISKIN (1995) temos uma citação de dois matemáticos que começam tentando fazer uma ligação entre as álgebras do ensino médio com a álgebra de nível superior (universitária):

A álgebra começa como a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representem os números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números (...) e que as regras inclusive se aplicam a coisas (...) que de maneira nenhuma são números. Um sistema algébrico, como veremos, consiste em um conjunto de elementos de qualquer tipo sobre os quais operam funções como a adição e a multiplicação, contanto apenas que essas operações satisfaçam certas regras básicas.

(SAUNDERS MAC LANE e GARRET BIRKHOFF, 1967, p.1 apud USISKIN, 1995)

Fazendo uma breve reflexão acerca desta citação, podemos perceber o quanto os dois campos estão ligados, inclusive um se originando do outro, ou seja, a álgebra aparecendo da aritmética. Porém, a álgebra vai se ampliando e desenvolvendo-se para atender a situações bem mais complexas.

Segundo Usiskin (1995, p. 9): “... a álgebra da escola média tem a ver com a compreensão do significado das letras (hoje comumente chamada de variáveis) e das operações com elas...” O mesmo autor coloca que o próprio conceito de variável

é multifacetado, não sendo viável a redução da álgebra ao estudo das variáveis, fato este que não contemplaria a álgebra que é estudada no ensino básico.

Ainda de acordo com o mesmo autor existem duas questões fundamentais do ensino da álgebra, quais são:

1) Até que ponto se deve exigir que os próprios alunos, tenham a capacidade de manejar diversas técnicas manipulatórias?

2) O que se pode dizer sobre o currículo de álgebra e o papel das funções e do momento de introduzi-las.

No que tange à primeira questão, através de estudos recentes, corroborando com o que foi acima colocado, Usiskin (1995) cita:

A insistência básica em Álgebra I e II foi dar aos alunos uma certa destreza técnica (...). No futuro, os alunos (e os adultos) provavelmente não terão necessidade de fazer tantas manipulações algébricas (...). Alguns lotes de exercícios tradicionais certamente podem ser dispensados.

(CBMS, 1983, p.4 apud USISKIN, 1995)

Questão bastante pertinente que o autor coloca, pois como a realidade nossa nos dias atuais, com a forte presença da tecnologia, principalmente o computador, em nosso cotidiano, que pode realizar cálculos dos mais variados nos deixa realmente com essa dúvida. Porém, embora consideremos importante que essa questão seja levada em conta pelo professor, o mesmo não deve se deixar levar pela idéia de que o computador ou outros meios tecnológicos podem substituir o humano, no sentido de que as máquinas irão aprender pelo aluno. Acreditamos que em cada caso é necessário ter o bom senso para saber, em que medida, se deve utilizar as técnicas manipulatórias.

Dando continuidade à nossa discussão iremos refletir sobre algumas concepções a cerca da álgebra, pois são essas concepções que nos levam a uma melhor compreensão da álgebra como um campo do saber matemático dos mais instigantes.

“As finalidades da álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com, concepções diferentes da álgebra que correspondem à diferente importância relativa dada aos diversos usos da variável.”

No que se refere à Ideia de variável, para DA ROCHA FALCÃO (2008) e USISKIN (1995), a mesma vai dizer muito de que álgebra está se tratando, ou seja, a variável é quase uma determinante da concepção algébrica que se vai ter. Ainda de acordo com Usiskin, podem ser consideradas diversas concepções de álgebra, como discutido a seguir:

1) A álgebra como aritmética generalizada – as variáveis aparecem como

generalizadoras de modelos. Exemplificando temos, 3 + 5 . 7 = 5 . 7 + 3 como a + b = b + a.

2) A álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas - Seja o seguinte problema: Adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 40. Achar o número. Algebricamente temos, 5x + 3 = 40. Logo, é somente necessário usar os procedimentos algébricos para se resolver o problema, cuja resposta é x = 7,4.

3) A álgebra como estudo de relações entre grandezas – aqui podemos citar entre outras a fórmula da área de um retângulo, ou seja, A = bh (a área é igual à base do retângulo multiplicada pela sua altura). Neste caso estamos lidando com a relação entre três grandezas, que são a base, a altura e a área do retângulo.

4) A álgebra como estudo das estruturas – nesta concepção iremos ter a álgebra superior, onde irão aparecer estruturas como os anéis, grupos, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais. Exemplo de “Grupo”: Sabendo que G = e, a, b, c, d, f é um grupo multiplicativo isomorfo do grupo (Z6, +), pede-se: a) construir uma tábua para G; b) calcular a2, b-2 e c-3.

SEGUNDO SOUZA e DINIZ (1996, p. 4), “a álgebra é a linguagem da matemática

utilizada para expressar fatos genéricos”. Como toda linguagem a álgebra possui seus símbolos e suas regras. Estes símbolos são as letras e os sinais de aritmética, enquanto que as regras são as mesmas da aritmética que nos permitem manipular os símbolos assegurando o que é permitido e não é permitido.

Com estas concepções das autoras, percebemos o quanto os dois campos do saber estão ligados, ou seja, a aritmética e a álgebra, uma vez que o campo algébrico utiliza as regras e os sinais da aritmética e se amplia recorrendo ao uso das letras para poder ser genérica e consequentemente se abstrair.

“Enquanto a aritmética trata de números, operações e de suas propriedades, visando à resolução de problemas ou de situações que exijam uma resposta numérica, a álgebra procura expressar o que é genérico, aquilo que se pode afirmar para vários valores numéricos independente de quais sejam eles exatamente.”

Para uma melhor compreensão, vejamos os exemplos abaixo:

- Para a aritmética a escrita de 23 + 15 pode ser a resposta das seguintes questões:

 Qual o valor da soma de 23 com 15?

 Qual é o número que é 15 unidades maior que 25?

Mas em ambos os casos o que se espera é obter como resposta o número 38.

- Para a álgebra a escrita x + 9, por exemplo, expressa várias idéias, mas todas de caráter genérico, isto é para qualquer valor de x, x + 9 pode significar:

 A soma de x com 9 unidades;

 Um número que é 9 unidades maior que x;

 A idade daqui a 9 anos de uma pessoa que hoje tem x anos.

Ou seja, a resposta a qualquer situação que exige a soma ou acrécimo de um número 9. Em todos os casos não se espera como resposta um valor numérico, mas sim a expressão de um fato genérico.

Uma questão que nos parece bastante pertinente se refere às formas que a variável possui, ou seja, a variável propriamente dita, a variável como uma incógnita e a variável como um parâmetro, uma vez que em muitos casos elas são tratadas como se representassem a mesma coisa. Neste contexto é interessante também nos situarmos em relação ao conceito de constante. Para esclarecer esta questão, vejamos, de acordo com nosso entendimento, o que cada uma representa:

 Variável – é a letra que irá representar qualquer número ou um conjunto de números. Como exemplo pode-se ter: 2x, onde x poderá representar qualquer número. Então 2x estará representando o dobro desse número.

 Incógnita – é quando a variável não varia, ela é um valor numérico

momentaneamente e único, geralmente é utilizada para a resolução de equações e de sistemas a serem aplicados em problemas tradicionais. Eis alguns exemplos: 2x + 3 = 7, x + Y = 32.

 Parâmetro – é uma variável ou constante à qual; numa relação determinada ou numa questão específica, se atribui um papel particular e distinto do das outras variáveis ou constantes. Exemplos: y = 3x + 1, y = 2x2 – 3x + 4.

 Constante – também chamada de coeficiente é o contrário da variável. Assim no exemplo 2x o 2 é uma constante, ou seja, está representando uma quantidade que é o valor dois.

Como podemos perceber, após estas breves discussões sobre a álgebra, não é fácil sintetizar o que seja a mesma, pois corremos o risco de reduzi-la. Sendo assim, podemos pensá-la através das várias concepções que discorremos acima. Entretanto, não pretendemos com isto pensar que a discussão se esgote nestas simples considerações que aqui pontuamos.

Para nos situarmos melhor, em relação ao campo algébrico introdutório, vejamos um

problema extraído de uma página do livro “Prá que serve Matemática?” De

IEMENES, JAKUB e LELLIS (1992) (Figuras 7 e 8), a qual digitalizamos e apresentamos a seguir:

Figura 13: Sapatos, pés, variáveis e incógnitas (b)

Observa-se no problema acima a utilização de várias letras ocupando o lugar de números. Nota-se também como a álgebra pode estar bem próxima de nosso cotidiano, ou seja, não é simplesmente uma mistura de letras, números e símbolos. Para um maior aprofundamento da nossa discussão, iremos discorrer agora sobre um pouco da história da álgebra.