Maillages

Une fois la géométrie du bras de levier réalisée, le maillage est l’étape suivante. De par la forme parallélépipédique du bras de levier, un maillage structuré est choisi. La Figure V.21 montre un exemple de maillage du modèle 3D du bras de levier.

Maillage du bras de levier

Figure V.21.

Comme dans le cas du maillage du modèle électrostatique de la pointe AFM 3D seule, le diélectrique est aussi maillé dans ce modèle en utilisant les couches limites afin de garantir une bonne convergence du modèle.

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V.5.3 Equations et conditions aux limites

Les équations de base pour simuler les EFDC avec le modèle électromécanique sont détaillées dans ce qui suit :

e

F



.

Avec ψ le domaine dans lequel les EDPs sont résolues, σ le tenseur de contraintes et Fe la force électrostatique exercée sur le volume. Le tenseur de contraintes doit être continu à travers les bords stationnaires entre deux matériaux.





0

1







n

Où σ1 et σ2 représentent les tenseurs de contraintes dans le milieu 1 (bras de levier) et le milieu 2 (air), et n1 représente le vecteur normal qui est orienté vers l’extérieur du domaine du matériau 1.

Le calcul de la force électrostatique est obtenu par multiplication du déplacement ∆z (déflexion du bras de levier) par la constante de raideur k qui caractérise le bras de levier :

z

k

F



.

Les conditions aux limites sont les suivantes : en ce qui concerne la partie électrique, le bras de levier est soumis à un potentiel V et la face arrière du diélectrique est reliée à la masse. Le reste des frontières est considéré à champ nul (domaine suffisamment grand pour établir cette hypothèse). Pour la partie mécanique, l’extrémité du bras de levier est soumise à la condition de contrainte de fixation et une symétrie plane est imposée sur une face du domaine (voir figure V.20).

1

u

V



0



V

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V.5.4 Résolution numérique

Sur la base de la géométrie tridimensionnelle du bras de levier définie précédemment, il est maintenant possible de modéliser la contribution du bras de levier sur les courbes de force électrostatique. La Figure V.22 montre les résultats du modèle électromécanique pour un bras de levier positionné à une distance D = 100 nm de la surface de l’échantillon. La Figure V.22 (a) montre la distribution du potentiel électrique ainsi que les lignes du champ électrique créées par le bras de levier sous une polarisation de 20 V. La Figure V.22 (b) montre le déplacement mécanique dû aux interactions électrostatiques. Pour rappel, la pointe AFM n’est pas considérée dans ce modèle.

(a) Potentiel et lignes du champ électrique créés entre le bras de levier

Figure V.22.

polarisé sous 20 V et un matériau diélectrique, (b) Déplacement mécanique du bras de levier sous l’effet de la force électrostatique. Encastrement à gauche.

Les courbes de force obtenues avec ce modèle sont tracées sur la Figure V.23. La courbe en rouge montre la contribution du bras levier seul. Pour obtenir une courbe de force proche de la configuration réelle de la sonde AFM (pointe et bras de levier), le théorème de superposition a été appliqué à notre modèle : la somme des forces

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obtenues par le bras de levier seul et par la pointe sous forme tétraédrique est égale à la force électrostatique totale (pointe et bras de levier). La courbe en vert représente cette force totale qui est comparée aux résultats expérimentaux. Une bonne corrélation entre mesure et simulation est constatée sur cette figure. De plus, ces résultats montrent que le bras de levier ne rajoute qu’une composante continue à la courbe de force électrostatique. Dans notre cas, cette contribution est d’environ 7,5 nN. Néanmoins, la force induite par la contribution du bras de levier est sensible à sa géométrie, notamment son épaisseur T. Le modèle présenté ici, contrairement à ceux développés dans la littérature, possède l’avantage de reproduire de façon acceptable la force aussi bien à faible distance qu’à longue distance.

Courbes de force électrostatique obtenues avec le modèle électromécanique.

Figure V.23.

Comparaison avec l’expérience.

Les premiers tests d’une modélisation électromécanique complète de la sonde AFM ont été réalisés sous un potentiel de 20 V, voir la Figure V.24. Ces tests montrent la difficulté liée notamment au maillage du domaine qui malgré plusieurs essais et simplifications, posent beaucoup de problèmes pour adapter le maillage à la variation de la distance pointe/plan nécessaire pour l’obtention des EFDC (peut être utilisé un maillage adaptatif).

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Déflexion de la sonde AFM.

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V.6 Conclusion

Dans ce chapitre, deux modèles tridimensionnels ont été développés à l’aide du logiciel commercial Comsol Multiphysics®_{: un modèle pour la pointe seule et un modèle} électromécanique pour le bras de levier. Le premier modèle a permis de montrer l’importance de la forme géométrique de la pointe sur les courbes de force. En effet, une pointe conique, par rapport à l’expérience, a tendance à surestimer la force alors qu’une pointe pyramidale modifie la courbure de la force dans les régions proches de la surface de l’échantillon. C’est une pointe tétraédrique qui donne des résultats les plus en phase avec les données expérimentales. Le deuxième modèle, électromécanique, permet quant à lui de prendre en considération l’influence du bras de levier. Ce modèle permet d’estimer la déflexion du bras de levier lorsqu’un potentiel lui est appliqué. Comme escompté, les résultats ont montré que le bras de levier ajoute une composante continue sur les courbes de force. En utilisant le théorème de superposition avec les données simulées avec la pointe seule puis avec le bras de levier, on trouve une très bonne corrélation entre les résultats expérimentaux et les résultats issus de la simulation, ce qui permet de valider notre approche.