Maillage et Adaptation

Une étape cruciale dans la simulation numérique de tout problème physique par la méthode des éléments finis est la génération d’un maillage pour le domaine considéré. La construction du maillage est un processus d’autant plus délicat quand il s’agit d’un problème industriel aux géométries arbitraires et très souvent complexes. Actuellement, différentes techniques permettant la construction de manière entièrement automatique d’un maillage sont disponibles. Le principe de la méthode des éléments finis fait que la qualité de la solution dépend fortement de celle du maillage. Par conséquent, quelque soit le problème donné, le maillage doit satisfaire un ensemble de contraintes liées à la qualité de la solution, on parle ainsi d’adaptation de maillage. Dans ce qui suit, on s’intéressera aux aspects de génération et d’optimisation de maillage.

1.1 Génération de maillage

1.1.1 Notions de maillage

Actuellement, différentes méthodes de génération automatique de maillages non structurés sont disponibles. Les plus populaires sont la méthode frontale, la méthode de type Octree, la méthode de Delaunay et la méthode par optimisation topologique. Dans ce qui suit, nous nous limiterons à la génération de maillages 3D tétraédriques par la méthode d’optimisation topologique. Pour une présentation plus exhaustive de ces différentes techniques, le lecteur est invité à consulter les travaux dédiés à la génération de maillage. Citons à titre indicatif les travaux de Frey [Frey99] et George [George01] pour l’ensemble des méthodes étudiées et Coupez [Coupez91] et Gruau [Gruau04] pour la méthode par optimisation topologique.

On considère un domaine Ω représenté par l’ensemble N des sommets de la discrétisation de sa frontière (ou maillage surfacique). Le problème à résoudre pour la génération du maillage est donc le suivant: Comment construire le maillage volumique de Ω à partir du maillage de sa frontière ?

1.1.2 Présentation du mailleur topologique MTC

Il s’agit d’une méthode qui a été mise au point par Coupez dans les années 90. Bien qu’elle soit actuellement utilisée pour diverses applications, cette approche a été

183 initialement développée pour l’étape de remaillage en grandes déformations. En effet, lors de la simulation des procédés de mise en forme des matériaux, la pièce subie d’importantes déformations. Le maillage qui suit la déformation de la pièce (dans le cadre d’une formulation lagrangienne) dégénère rapidement. L’étape du remaillage est donc primordiale pour la continuité des calculs. Le principe algorithmique de la méthode par optimisation topologique diffère très significativement des trois autres techniques citées précédemment. Il présente la particularité de coupler les remaillages de la surface et du volume du domaine. Avant de développer succinctement le principe du « mailleur topologique », nous introduisons quelques notions nécessaires à la description de son fonctionnement.

1.1.2.1 Topologie de maillage

Un maillage est défini par un ensemble d’éléments. Chaque élément est défini par les numéros des nœuds formant ses sommets. La connectivité de ces nœuds et les propriétés s’y rattachant définissent la topologie du maillage. Concrètement, il ne s’agit que du tableau de connexion des éléments qui, à chaque numéro d’élément, fait correspondre le numéro des nœuds constituant ses sommets.

Soient alors N l’ensemble fini des nœuds de Ω, T l’ensemble des éléments dont les sommets appartiennent à N et F l’ensemble des faces de ces éléments tel que :

€ F T

_{( )}



∂Ωeest la frontière du tétraèdre

€

Ωecomposée de ses quatre faces.

T est une topologie de maillage de Ω si et seulement si :

€

∀f ∈ F T

_{( )}

{

}

Où Card{.} est le nombre d’éléments de l’ensemble {.}.

1.1.2.2 Critère de volume minimal

Soit T une topologie de maillage sur N. (T, N) est un maillage de Ω si et seulement si :

€

Ωe = Ω e ∈T

184 Où

€

Ωe et

€

Ω sont les volumes respectifs de l’élément e et du domaine.

1.1.2.3 Génération de maillage par le mailleur topologique

La construction d’un maillage par le mailleur topologique comprend deux étapes principales :

1. à partir d’une discrétisation de la frontière du domaine, construire une topologie initiale. Cette étape est réalisée en connectant par un opérateur d’étoilement (Figure 3.2) un nœud à tous les autres nœuds hormis ceux qui appartiennent à la même face que ce dernier. Le résultat de cette étape n’est évidemment pas un maillage : des éléments peuvent traverser la frontière, se superposer, etc. (Figure 3.1 en haut à gauche et Figure 3.5 a). C’est néanmoins une topologie de maillage qui est un point de départ suffisant pour démarrer le processus de création d’un maillage valide.

Figure 3.1 – Génération de maillage 2D par optimisation topologique [Coupez 91].

2. améliorer, par balayage et de manière progressive, la topologie courante : Pour chaque nœud et pour chaque arrête :

- supprimer la topologie locale étoilée par nœud ou par arrête (ensemble des éléments contenant ce nœud ou cette arrête)

185 Parmi les candidats proposés par l’opérateur d’étoilement, la topologie choisie

est celle qui minimise le volume total

€

Ωe e ∈T

∑

Figure 3.2 – Différentes topologies possibles proposées par l’opérateur d’étoilement.

La Figure 3.3 montre des exemples d’opérations topologiques autour d’un nœud. La topologie autour du point S est mise en cause. Différentes topologies sont alors possibles. Une première consiste à éliminer les nœuds S et S6 (Figure 3.3 b). Une autre possibilité

consiste à éliminer le nœud S6 et à bouger le nœud S vers l’isobarycentre des sommets C.

Figure 3.3 – Opérations topologiques autour d’un nœud.

Des exemples d’opérations topologiques autour d’une arrête sont représentés sur la Figure 3.4. La topologie autour de l’arrête SS’ est mise en cause. Une topologie possible est obtenue en éliminant le nœud S3 (Figure 3.4 b). D’autres topologies sont obtenues par

une bascule d’arrête (Figure 3.4 c) ou par l’introduction d’un nouveau sommet au milieu de [SS’] (Figure 3.4 d).

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Figure 3.4 – Opérations topologiques autour d’une arête.

En 3D, l’équivalent de la bascule d’arête en 2D est la transformation de deux tétraèdres ayant une face commune en trois tétraèdres.

À l’étape 2 de l’algorithme, plusieurs topologies de maillage peuvent avoir le même volume. Il est donc nécessaire de privilégier celle dont les éléments sont de meilleure qualité géométrique. Celle-ci est mesurée avec le critère de forme suivant:

€

C e,h

₍

₎

Ωe

h_e3 (3.4)

Où he est la longueur moyenne des arrêtes du tétraèdre e. C0 est une constante qui permet

de normaliser le facteur de forme à 1 pour un tétraèdre équilatéral.

C(e, he) est maximal pour un tétraèdre équilatéral et est égal à 0 pour un tétraèdre plat.

Dans le processus d’amélioration topologique, les tétraèdres choisis sont ceux qui maximisent C(e, he).

L’amélioration des topologies locales se fait de manière itérative jusqu’à atteindre le volume minimal de la topologie. On peut voir sur la Figure 3.1 (du haut vers le bas et de gauche à droite) les améliorations locales apportées sur les topologies intermédiaires qui ne sont pas des maillages valides mais qui s’approchent de la solution finale. Le volume minimal est celui du maillage final.