A medida de σ8 ´e tomada em um dado redshift (normalmente z = 0) e evolui como
σ8(z) = σ8,0D(z) , (2.84)
em que D(z) ´e a fun¸c˜ao de crecimento normalizada. A hist´oria da forma¸c˜ao de estruturas normalmente ´e medida pela combina¸c˜ao entre a raz˜ao de crescimento f (z) definida na em (2.62) multiplicada por σ8(z). A combina¸c˜ao f σ8(z) ´e interessante pois ´e independente
do bias [116].
2.7
Espectro de potˆencia angular da radia¸c˜ao c´osmica
de fundo
A radia¸c˜ao c´osmica de fundo (CMB, do inglˆes cosmic microwave background ) ´e a ra- dia¸c˜ao residual do big bang, originada cerca de 300 mil anos ap´os este quando os el´etrons desacoplaram do f´otons e estes puderam se propagar livremente pelo espa¸co. Foi des- coberta por Arno Penzias e Robert Wilson em 1964 [117] o que lhes rendeu o prˆemio Nobel de f´ısica em 1978. Se trata de uma radia¸c˜ao que premeia todo o universo vindo de todas as dire¸c˜oes com uma temperatura bastante uniforme de cerca de T0 ≈ 2.7255(6) K
e flutua¸c˜oes de uma parte em 105.
Essas flutua¸c˜oes de temperatura foram primeiramente descobertas pelo sat´elite COBE (Cosmic Background Explorer) em 1992 [118] e foram melhor estudadas pelo sat´elite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) [119, 120] e pelo sat´elite Planck [3–5], que operou at´e 2013. Denotamos essas flutua¸c˜oes em rela¸c˜ao a temperatura m´edia por δT (ˆn) = T0(ˆn) − T0, sendo que o versor ˆn nos d´a a dire¸c˜ao em que est´a sendo feita a
medi¸c˜ao. As flutua¸c˜oes de temperatura s˜ao medidas ao longo de coordenadas angulares (θ, φ) e podem ser decompostas em s´eries de harmˆonicos esf´ericos
Θ(ˆn) ≡ δT (ˆn) T0 = ∞ X l=0 l X m=−l almYlm(ˆn) , (2.85)
sendo alm os coeficentes da expans˜ao e podem ser obtidos pela rela¸c˜ao de ortogonalidade
2.7 Espectro de potˆencia angular da radia¸c˜ao c´osmica de fundo 67
coeficientes s˜ao vari´aveis estoc´asticas, sendo que sua m´edia no ensemble tem a forma halma∗l0m0i = Clδll0δmm0 . (2.86) Podemos substituir a m´edia no ensemble por uma m´edia sobre m, definindo
Cl = 1 2l + 1 l X m=−l |alm|2 . (2.87)
Podemos ent˜ao escrever o espectro de potˆencias angular das anisotropias da radia¸c˜ao c´osmica de fundo como
hΘ(ˆn)Θ(ˆn0)i = X
l
2l + 1
4π ClPl(cos θ) , (2.88)
em que ˆn · ˆn0 ≡ cos θ e Pl s˜ao os polinˆomios de Legendre. O que se busca medir s˜ao os
coeficientes Cl’s do espectro angular1 ao longo dos multipolos (de l = 2 at´e l = 2500)
sendo que os multipolos est˜ao relacionados com a escala angular por θl= πl o que implica
que pequenos multipolos s˜ao relacionados com grande ˆangulos e vice versa. O c´alculo para obten¸c˜ao do espectro de potˆencia angular da CMB ´e bastante complexo, exigindo uso de computa¸c˜ao num´erica. Para isso, s˜ao utilizados os chamados c´odigos de Einstein- Boltzmann, cujo os mais utilizados atualmente s˜ao o CAMB (Code for Anisotropies in the Microwave Background) em linguagem Fortran [121, 122] e o j´a referido CLASS (Cosmic Linear Anisotropy Solving System) em linguagem C [115].
2.7.1
Efeito Sachs-Wolfe e efeito Sachs-Wolfe integrado
A determina¸c˜ao das anisotropias Θ(ˆn) passa pelo c´alculo da trajet´oria dos f´otons da CMB desde a superf´ıcie de ´ultimo espalhamento (quando os f´otons passaram a se propagar livremente) at´e os observadores. Para isso, precisamos usar a equa¸c˜ao da geod´esica
dPµ
dλ = −Γ
µ αβP
αPβ , (2.89)
em que Pµ= dxµ/dλ ´e o quadri-momento dos f´otons e λ ´e um parˆametro afim. A equa¸c˜ao
da geod´esica resulta para o momento do f´oton p (em que p = gijPiPj) na express˜ao
d dτ ln(ap) = − dΦ dτ + ∂ ∂τ(Φ + Ψ) , (2.90)
1Na verdade o que ´e medido ´e a grandeza D l≡
l(l+1) 2π Cl
2.7 Espectro de potˆencia angular da radia¸c˜ao c´osmica de fundo 68
em que Ψ e Φ s˜ao os potenciais do gauge newtoniano (2.13). Quando o f´oton se propaga livremente (lado direito nulo) ent˜ao p ∝ a−1 que ´e o redshift devido a expans˜ao do universo. Os termos inomogˆeneos descrevem o ganho e perda de energia quando o f´oton passa por barreiras de potencial.
Ao integrarmos a geod´esica (2.90) ao longo da linha de visada de um tempo τ∗ quando
ocorreu o ´ultimo espalhamento at´e τ0 hoje, obtemos
ln(ap)0 = ln(ap)∗+ (Φ∗− Φ0) +
Z τ0
τ∗ dτ ∂
∂τ(Φ + Ψ) . (2.91)
O momento do f´oton se relaciona com as anisotropias ap ∝ aT0(1 + Θ). Por sua vez, a
anisotropia em τ∗ ´e Θ∗ = 14(δγ)∗ sendo δγ = δργ/ργ2. Devemos adicionar a (2.91) um
termo ˆn · ve que representa um desvio Doppler extra devido ao espalhamento dos f´otons
com os el´etrons. Por fim, a solu¸c˜ao para as anisotropias da CMB ´e dada por Θ(ˆn) = 1 4δγ+ Φ + ˆn · ve ∗ + Z τ0 τ∗ dτ (Φ0+ Ψ0) . (2.92)
O primeiro termo da solu¸c˜ao ´e chamado termo de Sachs-Wolfe (SW) [123] e representa o redshift gravitacional que os f´otons da CMB sofrem ao passar por barreiras de potencial durante o ´ultimo espalhamento. J´a o segundo ´e o termo de Sachs-Wolfe integrado (ISW) que descreve o redshift gravitacional oriundo da varia¸c˜ao temporal dos potenciais ao longo da linha de visada.
Como apontado por [124] o efeito Sachs-Wolfe integrado pode ser um excelente ob- serv´avel para sondar a energia escura, pois se trata de um efeito observado tardiamente e est´a correlacionado com a fun¸c˜ao de crescimento de estruturas D, uma vez que Φ0 ∝ D. Foi detectado no primeiro ano de tomada de dados do WMAP [125]. ´E um efeito que se pronuncia em grandes ˆangulos (l . 10) conforme podemos ver na figura (2.3) em que a amplitude do espectro de potˆencias angular aumenta em baixos l a medida que a energia escura domina. J´a o efeito da dominˆancia da mat´eria ´e a redu¸c˜ao do pico ac´ustico. Para uma revis˜ao mais completa, ver [126].
2O fator de 1/4 vem do fato que ρ γ ∝ T04
2.7 Espectro de potˆencia angular da radia¸c˜ao c´osmica de fundo 69
Figura 2.3: Espectro de potˆencia angular da CMB para diferentes combina¸c˜oes entre Ωme Ωde. Temos
tamb´em as medidas de Dlpara baixos l’s (vermelho) e altos l’s (Azul) feitas pelo sat´elite Planck, em que
Cap´ıtulo 3
F´ısica de Ondas Gravitacionais
3.1
Introdu¸c˜ao
Nos dois primeiros cap´ıtulos discutimos a cosmologia de Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson- Walker (FLRW), sendo o primeiro cap´ıtulo dedicado ao background homogˆeneo e isotr´opico e o segundo cap´ıtulo dedicado `as perturba¸c˜oes lineares. Neste terceiro cap´ıtulo, muda- remos um pouco o foco e trataremos da f´ısica de ondas gravitacionais. Assim como no cap´ıtulo anterior, investigaremos a teoria da relatividade geral no regime de perturba¸c˜oes lineares, s´o que desta vez a m´etrica de fundo ser´a a m´etrica plana de Minkowiski. Mostra- remos que as Equa¸c˜oes de Einstein no regime linear pode ser escrita como uma equa¸c˜ao de onda, o que significa que a gravidade (identificada com a curvatura do espa¸co-tempo) se propaga como uma onda. Veremos como a passagem dessas ondas gravitacionais po- dem ser aferidas pela mudan¸ca peri´odica na distˆancia entre massas teste e como elas s˜ao geradas por pares bin´arios coalescentes. Por fim, falaremos de como ondas gravitacionais se propagam em um universo em expans˜ao.