M´ethodologie de l’estimation de la Jacobienne H

Comme on l’a dit pr´ec´edemment, la Jacobienne peut ˆetre d´etermin´ee en r´ealisant des si- mulations dites ”perturb´ees” de SIM. C’est-`a-dire que l’on va comparer les d´ebits d’une si- mulation de r´ef´erence de SIM, avec les d´ebits r´esultant d’une simulation initialis´ee par une humidit´e l´eg`erement perturb´ee (la perturbation doit ˆetre faible afin de respecter l’hypoth`ese de lin´earit´e). On peut donc r´e´ecrire l’´equation 5.36 de la mani`ere suivante :

Hi,j = ∆y_i ∆xj = yi,pert− yi,ref xj,pert− xj,ref (5.37) Cependant, plusieurs simulations perturb´ees de SIM sont n´ecessaires. En effet, si l’on compare une simulation de r´ef´erence avec une simulation dont l’humidit´e des 186 sous-bassins est perturb´ee, toute la matrice H ne pourra pas ˆetre d´etermin´ee.

Reprenons l’exemple de la Garonne (figure 5.10). Si l’humidit´e de tous les sous-bassins du bassin de la Garonne est perturb´ee, on pourra bien d´eterminer la d´ependance du d´ebit de l’Hers-Vif `a Calmont par rapport `a l’humidit´e de son propre sous-bassin (H83,83), la d´ependance

du d´ebit de la Garonne `a Saint-B´eat par rapport `a l’humidit´e de son propre sous-bassin (H86,86),

la d´ependance du d´ebit du Salat `a Roquefort par rapport `a l’humidit´e de son propre sous-bassin (H87,87) et ainsi de suite. En revanche, il sera impossible de diff´erencier la d´ependance du d´ebit

de la Garonne `a Tonneins par rapport `a l’humidit´e des sous-bassins de la Garonne `a Lama- gist`ere et du Lot `a Faycelles, ou mˆeme par rapport `a l’humidit´e de son propre sous-bassin. En effet, celles-ci seront confondues car tout le bassin sera perturb´e en mˆeme temps.

C’est pourquoi `a l’int´erieur d’un mˆeme grand bassin (Loire, Garonne, ...) il est indispen- sable de r´ealiser les perturbations des humidit´es des sous-bassins de mani`ere s´epar´ee. Ainsi, cette m´ethode est la seule permettant de d´eterminer tous les coefficients non nuls de la Jaco- bienne par le biais de perturbations.

D´etermination de la Jacobienne : exemple :

Int´eressons-nous `a un exemple th´eorique simple, afin de d´etailler la m´ethode de d´etermi- nation de la Jacobienne. On s’int´eresse `a un bassin simple qui comprend trois sous-bassins, soit au total trois stations (figure 5.12). Si on consid`ere le cas o`u l’assimilation ne prend pas en compte de mani`ere s´epar´ee les humidit´e des couches 2 et 3 du sol (´equations 5.30 et 5.31 uniquement), la matrice est de forme 3×3 (figure 5.13).

On va devoir perturber s´epar´ement l’humidit´e de chacun des sous-bassins afin de d´etermi- ner tous les termes de la Jacobienne (en partant `a chaque fois du mˆeme ´etat initial). Dans un premier temps, on r´ealise une simulation non-perturb´ee de SIM. Ensuite, on perturbe le sous- bassin 1 (zone color´ee, figure 5.14). Cette perturbation ne va entraˆıner aucun changement du d´ebit des stations 2 et 3, leurs sous-bassins versants respectifs ´etant disjoints du sous-bassin

FIGURE5.12 – Sch´ema d’un bassin simple

qui comprend trois stations F

IGURE 5.13 – Matrice Jacobienne as- soci´ee

1. Les termes H2,1 et H3,1 sont donc nuls (figure 5.15). En revanche, le terme H1,1 comprend

logiquement la r´eponse ∆y1 de la station 1 `a une perturbation ∆x1 de l’humidit´e du sol du

sous-bassin 1.

FIGURE 5.14 – Ici l’humidit´e du sous-

bassin 1 est perturb´ee F

IGURE 5.15 – Matrice Jacobienne as- soci´ee

Ensuite, on perturbe l’humidit´e du sol du sous-bassin 2 (figure 5.16). Cette perturbation n’a ´evidemment aucun effet sur le d´ebit de la station 3, donc H3,2 = 0. En revanche, elle a

un effet sur les d´ebits des stations 1 et 2, qui se situent en aval du bassin 2, ce qui donne les valeurs des deux derniers coefficients de cette colonne (figure 5.17).

FIGURE 5.16 – Ici l’humidit´e du sous-

bassin 2 est perturb´ee F

IGURE 5.17 – Matrice Jacobienne as- soci´ee

Enfin, l’humidit´e du sol du dernier sous-bassin (3) est perturb´ee (figure 5.18). Dans ce cas- ci, la perturbation va se r´epercuter sur les d´ebits des stations 1 et 3, mais le d´ebit de la station

2 restera inchang´ee. La matrice Jacobienne est ainsi totalement d´etermin´ee comme le montre la figure 5.19.

FIGURE 5.18 – Ici l’humidit´e du sous-

bassin 3 est perturb´ee F

IGURE 5.19 – Matrice Jacobienne as- soci´ee

Pour d´eterminer enti`erement les coefficients de la matrice Jacobienne pour un ensemble de stations li´ees, il faut donc effectuer autant de simulations perturb´ees qu’il y a de sous-bassins. Cependant, il est tout `a fait possible de calculer les coefficients de la Jacobienne en pa- rall`ele pour des ensembles de stations li´ees, disjoints entre eux. En effet, perturber l’humidit´e sur le bassin de la Loire n’aura pas de cons´equence sur le d´ebit de la Garonne. Ainsi, c’est l’ensemble de stations li´ees comportant le plus grand nombre de sous-bassins qui d´eterminera le nombre maximum de simulations perturb´ees `a faire. Ici, c’est la Loire, avec 34 stations (ou sous-bassins), qui en comporte le plus.

Pour d´eterminer compl`etement la matrice Jacobienne H, il faudra ainsi 35 simulations de SIM diff´erentes (une simulation de r´ef´erence + 34 simulations perturb´ees).

Choix de l’amplitude de la perturbation de l’eau du sol appliqu´ee - Tests de sensibilit´e Le choix de l’amplitude de la perturbation de l’eau du sol appliqu´ee est une ´etape impor- tante de la mise en place du syst`eme d’assimilation des d´ebits. En effet, cette perturbation doit ˆetre assez forte pour avoir un impact sur les d´ebits simul´es, mais doit aussi respecter les hypoth`eses de lin´earit´e ´emises par le BLUE. C’est pourquoi une ´etude pr´eliminaire a ´et´e ef- fectu´ee.

Tout d’abord, on a r´ealis´e des tests sur l’amplitude de la perturbation, sur une maille unique ISBA pour des raisons de temps de calcul. Les variables ´etudi´ees sont ici le ruissellement et le drainage d’ISBA, qui sont les deux variables transmises `a MODCOU pour le calcul des d´ebits. La r´epercussion de modifications de l’humidit´e du sol d’ISBA sur le ruissellement et le drainage a ´et´e ´etudi´ee pour des perturbations variant sur la gamme 0-10% du contenu en eau du sol.

Comme on a pu le voir sur l’´equation 5.27 d´efinissant le drainage, celui-ci d´epend lin´eai- rement de l’humidit´e de la couche 3 d’ISBA, except´e pour les sols tr`es secs. En revanche, en ce qui concerne le ruissellement, plus la couche 2 du sol sera humide, plus une partie importante de la pluie se transformera en ruissellement (car de plus en plus de r´eservoirs ´el´ementaires seront satur´es). En effet, on a observ´e que pour des valeurs trop ´elev´ees (i.e. > 2%), sur des sols tr`es humides, le ruissellement augmentait de mani`ere non-lin´eaire avec l’humidit´e. On a donc restreint nos perturbations `a la gamme 0 − 2%, et plus pr´ecis´ement, on a regard´e par la

suite des perturbations de 0.1 et 1%.

On s’est par la suite int´eress´e au signe de la perturbation `a appliquer. Ici, on a utilis´e SIM en entier sur la France. Le signe de la perturbation influence la mani`ere donc SIM va r´epondre. En effet, en ajoutant de l’eau, on va favoriser le ruissellement, ce qui n’est pas le cas en retirant de l’eau du sol, et risque donc de cr´eer des r´eponses non-lin´eaires. On a montr´e que pour la perturbation 1%, la r´eponse de l’ensemble ruissellement+drainage ´etait de 30 `a 40% plus ´elev´ee pour une perturbation positive, que pour une perturbation n´egative (figure 5.20). En revanche, pour la perturbation 0.1%, cette diff´erence n’´etait que de 4%. Il est donc ´evident que la perturbation d’amplitude 0.1% est pr´ef´erable.

On a repr´esent´e sur la figure 5.20 l’´evolution de la valeur moyenne de la Jacobienne sur 5 jours, pour des perturbations de ±0.1 et ±1% effectu´ees au d´ebut du premier jour. On peut voir une augmentation de la Jacobienne suite `a la perturbation initiale, avec une valeur maximale autour du troisi`eme jour, ce qui est dˆu `a l’influence des temps de concentration des bassins de MODCOU. On remarque aussi que le signe de la perturbation a peu d’influence pour la perturbation la plus faible, montrant ici un r´egime de quasi-lin´earit´e, ce qui n’est pas le cas pour la perturbation 1%.

FIGURE 5.20 – Evolution de la valeur moyenne de la Jacobienne (en (m3/s)/(m3/m3)) sur 5 jours, pour des perturbations de ±0.1 et ±1% effectu´ees au d´ebut du premier jour.

Il a donc ´et´e d´ecid´e pour la suite de conserver cette valeur de 0.1% comme perturbation `a appliquer au contenu en eau du sol d’ISBA afin de calculer la Jacobienne. On verra aussi que cette valeur est assez proche des incr´ements impos´es par BLUE, dans le cas des assimilations d’observations r´eelles (voir l’article du chapitre suivant).

On a repr´esent´e sur la figure 5.21 l’´evolution de la valeur moyenne de la jacobienne au cours de l’ann´ee, pour des perturbations de +0.1% et -0.1%, pour 5 jours cons´ecutifs de simu- lations de SIM.

FIGURE 5.21 – Evolution de la valeur moyenne de la Jacobienne (en (m3/s)/(m3/m3)) sur 5 jours au cours de l’ann´ee pour une perturbation de ±0.1%. Une simulation a ´et´e r´ealis´ee chaque 15 du mois, puis les coefficients non nuls ont ´et´e moyenn´es.

On voit tout d’abord que la r´eponse des d´ebits MODCOU par rapport `a une modification de l’humidit´e du sol d’ISBA est ind´ependante du fait que l’on consid`ere une perturbation positive ou n´egative, et ce tout au long de l’ann´ee. En effet, les courbes repr´esentant l’´evolution de la Jacobienne pour des perturbations oppos´ees et correspondant au mˆeme jour, sont tr`es proches. De plus, on peut observer une forte augmentation de la Jacobienne au cours de l’hiver. En effet, le sol est alors plus humide, renforc¸ant le ph´enom`ene de ruissellement. C’est pour cette raison qu’il a ´et´e d´ecid´e de recalculer la Jacobienne pour chaque assimilation dans la suite de ce travail.