4.4 Extraction des arˆetes
4.4.2 M´ethodes “Int´egrales”
Les m´ethodes “Diff´erentielles” marchent bien lorsque le signal est sans bruit ou peu bruit´e 1. Toutefois, il peut arriver dans les tests r´eels que le signal soit bruit´e. Il est donc crucial de trouver d’autres m´ethodes plus robustes pour traiter les signaux additionn´es de bruit. Carmona et al. [25, 26, 27, 28] ont propos´e des m´ethodes “Int´egrales”. Elles utilisent d’autres informations a priori des arˆetes. Outre que les arˆetes doivent se concentrer dans les zones du plan temps- fr´equence (ou temps-´echelle) dont l’´energie est ´elev´ee, les arˆetes du signal r´eel sont souvent lisses et varient lentement en temps. Ces raisonnements am`enent tout `a fait naturellement au probl`eme d’optimisation. Parmi plusieurs algorithmes propos´es dans les r´ef´erences [25, 26, 27, 28], on pr´esente ici deux algorithmes. Le premier est destin´e `a d´eterminer une seule arˆete et le deuxi`eme concerne le cas de plusieurs arˆetes. Ces algorithmes reposent sur l’analogie de recuit simul´e. Le principe de la m´ethode est le suivant [107] : le probl`eme de l’optimisation d’un syst`eme complexe est assimilable `a l’´evolution d’un syst`eme d´esordonn´e vers un syst`eme ordonn´e. Ceci est analogue au comportement de la mati`ere condens´ee lorsqu’elle passe d’un ´etat liquide caract´eris´e par un grand d´esordre, `a un ´etat solide, bien ordonn´e, du type monocristal. Une telle ´evolution est obtenue en abaissant la temp´erature d’o`u l’id´ee d’utiliser des m´ethodes physiques, et plus particuli`erement d’introduire la temp´erature comme param`etre de commande pour optimiser l’´evolution d’un syst`eme. Il est bien connu qu’un abaissement rapide de la temp´erature se traduit par un gel du d´esordre existant, alors qu’une diminution lente de la temp´erature permet l’´etablissement d’un ordre sup´erieur. Dans la physique de la mati`ere condens´ee, une telle proc´edure constitue en ce que l’on appelle un recuit. L’application de ce concept `a tout probl`eme d’optimisation, par simulation d’une baisse lente de temp´erature, est ainsi appel´ee “recuit simul´e”.
• M´ethode “Corona”
La m´ethode suppose qu’une arˆete lisse existe sur le plan temps-fr´equence o`u la fonction coˆut (fonction objectif) Fu(ar(b)) est minimale. Cela se traduit par : ar(b) = min
k Fu(ϕk(b)). La fonction coˆut sur une arˆete candidate ϕk(b) s’´ecrit
Fu(ϕk(b)) = − Z
|Tψ(b, ϕk(b))|2db +Z λ ˙ϕk(b)2+ γ ¨ϕk(b)2db (4.35) Ainsi, la m´ethode Corona recherche ar(b) `a partir des ϕk(b) par optimisation qui donne Fu(ϕk(b)) minimum. L’algorithme pr´esent´e ci-dessous est donn´e dans la r´ef´erence [26]
Algorithme 4.2 (Corona)
1 Initialisation : Choisir la temp´erature initiale T0et une candidate initiale de l’arˆete {ϕ0(0), ϕ0(1), ..., ϕ0(n − 1)} et calculer Fu(ϕ0)
2 It´eration k : L’arˆete candidat `a l’it´eration k −1 est connue : ϕk−1= {ϕk−1(0), ϕk−1(1), ..., ϕk−1(n −1)} - Actualiser la temp´erature avec Tk=
T0 ln(1 + k)
- G´en´erer al´eatoirement un entier l ∈ [0, n − 1] et un nombre = ±1. L’arˆete candidat possible `a l’it´eration k sera ϕc
k= {ϕk−1(0), ϕk−1(1), ..., ϕk−1(l) + , ...ϕk−1(n − 1)} - Calculer la valeur fonction coˆut Fu(ϕck) et comparer avec Fu(ϕk−1)
+ Si Fu(ϕck) ≤ Fu(ϕk−1), actualiser l’arˆete avec une nouvelle arˆete : ϕk:= ϕck + Si Fu(ϕck) > Fu(ϕk−1), G´en´erer al´eatoirement un nombre σ entre 0 et 1
* Si σ ≤ e−
Fu(ϕck )−Fu(ϕk−1)
Tk , actualiser l’arˆete ϕk := ϕc
k
* Sinon retenir l’ancienne candidate de l’it´eration k − 1 : ϕk := ϕk−1
1Le niveau du signal bruit´e est ´evalu´e `a l’aide du Rapport Signal sur Bruit (RSB ou en anglais SNR) et d´efinit
comme 10 log10
σu
σb
4.4 Extraction des arˆetes 67
3 Crit`ere d’arrˆet : Soit apr`es certaines it´erations lors que l’arˆete ne change pas, soit quand la temp´erature est plus basse qu’une temp´erature pr´e-d´efinie.
• M´ethode “Crazy climbers”
La m´ethode Corona suppose qu’une seule arˆete est dans la repr´esentation temps-fr´equence. Dans le cas d’un signal bruit´e avec plusieurs arˆetes `a d´eterminer, la m´ethode “Crazy climbers” (voyageurs fous) plus performante est propos´ee pour capter ces arˆetes. L’algorithme ´ecrit ci- dessous est applicable pour les repr´esentations ´energ´etiques temps-fr´equence M (i, j) de signal u(t) en g´en´eral, avec le maillage : temps i = 0, ..., B −1 (horizontale) et j = 0, ..., A−1 (verticale). Comme les voyageurs se d´eplacent ind´ependemment entre eux et quelques voyageurs peuvent occuper le mˆeme site au mˆeme moment, il est suffisant de d´ecrire le mouvement d’un voyageur Xα parmi V voyageurs.
Algorithme 4.3 (Crazy climbers)
1 Initialisation : Choisir la temp´erature initiale T0 et la position al´eatoire de V voyageurs X(0) sur le maillage Γ = {(i, j); i = 0, ..., B − 1, j = 0, ..., A − 1}.
2 It´eration k :
- Actualiser la temp´erature avec Tk= T0 ln(1 + k)
- La position `a l’it´eration k−1 du voyageur Xα: Xα(k−1) = (i, j) est connue et la position `a l’it´eration k : Xα(k) = (i0, j0) est d´etermin´ee par la r`egle suivante :
+ Direction horizontale : mouvement possible dans les deux sens, sauf les deux extr´emit´es. * Si 1 ≤ i ≤ B − 2, alors i0= i + 1 avec probabilit´e 1/2 et i0 = i − 1 avec probabilit´e 1/2. * Si i = 0, alors i0= 1.
* Si i = B − 2, alors i0 = B − 1.
+ Direction verticale : mouvement possible j0 = j + 1 ou j0= j − 1 * Si M (i0, j0) ≥ M(i0, j), alors le mouvement vertical est accept´e X
α(k) = (i0, j0). * Si M (i0, j0) < M (i0, j), alors X
α(k) = (i0, j0) avec probabilit´e pt=≤ e
−hM(i0,j)−M (iTk 0,j0 ))i - Mesures d’occupation : deux mesures `a prendre en compte
µ(0)(k) = 1 V V X α δXα(k) µ(k) = 1 V V X α M (Xα(k))δXα(k) (4.36)
3 Crit`ere d’arrˆet : la temp´erature est plus basse qu’une temp´erature pr´e-d´efinie, les voyageurs s’arrˆetent. 4 Mesures d’occupation int´egr´ees : Le nombre d’it´eration totale T
µ(0)T = 1 T T X k µ(0)(k) µT = 1 T T X k µ(k) (4.37)
Apr`es avoir des mesures d’occupation, il faut passer au stade de chaˆınage des points sur le plan temps-fr´equence. Le chaˆınage consiste en deux op´erations principales : (1) fixer un seuil tel que si un point pr´esente une valeur de mesure inf´erieure `a ce seuil, on le force `a prendre la valeur z´eros en mesure d’occupation. (2) `a partir des points retenus dont les mesures d’occupation sont sup´erieures au seuil, les arˆetes sont form´ees en respectant des seuils en temps et en fr´equence.