L’´etude de la stabilit´e d’un syst`eme pr`es d’un point d’´equilibre est un probl`eme tr`es courant en dynamique. Dans cette partie, nous allons d´ecrire succinctement les crit`eres de Routh-Hurwitz (Meirovitch [107]- [106]) qui permettent de statuer sur la stabilit´e sans avoir `a calculer les valeurs propres du syst`eme lin´earis´e. De plus, ces crit`eres de Routh-Hurwitz peuvent permettre d’avoir des expressions analytiques r´egissant la stabilit´e du syst`eme.
Bien entendu, une autre m´ethode consiste `a d´eterminer les valeurs propres du syst`eme lin´earis´e au point d’´equilibre, comme cela a d´ej`a ´et´e d´ecrit dans le paragraphe 2.2.
L’utilisation des crit`eres de Routh-Hurwitz est fr´equente pour les syst`emes comportant peu de degr´es de libert´e et ayant des expressions non-lin´eaires simples (D’Souza [39] et Yu [175]).
Ce crit`ere ne donne pas acc`es `a la fr´equence d’instabilit´e, mais permet souvent d’avoir des expressions analytiques pour statuer sur la stabilit´e du syst`eme. La stabilit´e du syst`eme est alors ´etudi´ee en exa-minant les coefficients du polynˆome caract´eristique du syst`eme consid´er´e.
Soit le syst`eme lin´earis´e ˙y = A.y. Le polynˆome caract´eristique provient de l’expression
det (λ.I − A) = 0 (2.15)
o`u I repr´esente la matrice identit´e. Il peut alors se mettre sous la forme
λn+ a1λn−1+ · · · + an−1λ + an= 0 (2.16)
Nous d´efinissons alors la matrice H
H = a1 1 0 0 0 0 0 0 0 · · · a3 a2 a1 1 0 0 0 0 0 · · · a5 a4 a3 a2 a1 1 0 0 0 · · · a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 1 0 · · · .. . ... ... ... ... ... ... ... ... (2.17)
Il est alors possible de d´efinir les n coefficients H1, H2, · · · , Hn d´efinis comme suit
H1= det (H1) = a1 (2.18) H2 = det (H2) = det a1 1 a3 a2 = a1a2− a3 (2.19) H3= det (H3) = det a1 1 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3 = a1(a2a3+ a5) − a23− a4a21 (2.20)
2.3. M´ethodes et crit`eres d’analyse de stabilit´e 35 et
Hn= det (Hn) (2.21)
Les crit`eres de Routh-Hurwitz montrent que si tous les coefficients H1, H2, · · · , Hn sont positifs alors le syst`eme est stable. Nous remarquons tout de suite les avantages et inconv´enients de cette m´ethode. Tout d’abord, le principal avantage est de pouvoir donner des expressions analytiques simples qui servent de crit`eres pour la stabilit´e. Ces expressions sont donn´ees `a partir des in´egalit´es r´esultant des ´equations (2.18), (2.19), (2.20) et (2.21) et des expressions des facteurs physiques en fonction des param`etres a1, a2, · · · , an. Cependant, le principal inconv´enient r´eside dans le fait que ces crit`eres deviennent tr`es rapidement complexes pour des syst`emes comportant de nombreux degr´es de li-bert´es (d’o`u un grand nombre d’in´egalit´es `a v´erifier) ou des non-lin´earit´es complexes, qui g´en`erent g´en´eralement des coefficients a1, a2, · · · , andont l’expression n’est pas simple et donc tr`es difficilement exploitable d’un point de vu analytique.
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Chapitre 3
M´ethodes d’analyse non-lin´eaire
Quand nous parlons de m´ethodes d’analyse non lin´eaire, nous nous int´eressons plus particuli`erement aux m´ethodes de r´eductions et simplifications du syst`eme diff´erentiel qui permettent soit de diminuer le nombre de degr´es de libert´e, soit de simplifier ou d’approximer les non lin´earit´es. En effet, lorsque nous cherchons `a d´eterminer les cycles limites d’un syst`eme diff´erentiel, la m´ethode la plus directe est d’effectuer une int´egration temporelle du syst`eme consid´er´e. Il s’av`ere que le temps de calcul pour de tels syst`emes peut ˆetre tr`es long. Pour cette raison, il est n´ecessaire de mettre en place diverses m´ethodes, qui vont nous permettre d’obtenir de mani`ere rapide la solution du syst`eme.
De nombreuses m´ethodes non-lin´eaires permettent ainsi de traiter les probl`emes dynamiques compor-tant des non-lin´earit´es diverses. L’objectif de cette partie est de d´ecrire quelques unes des m´ethodes non-lin´eaires existantes qui seront ensuite utilis´ees ou discut´ees.
Dans un premier temps, nous ´evoquerons bri`evement les m´ethodes les plus classiquement employ´ees qui sont les m´ethodes de balance harmonique ou de collocation trigonom´etrique.
Dans un second temps, nous d´ecrirons des m´ethodes non-lin´eaires de simplification et de r´eduction de syst`emes telles que la m´ethode de la vari´et´e centrale et la forme normale qui lui est souvent associ´ee. Ensuite, nous parlerons de m´ethodes d’extrapolations qui permettent d’approximer les syst`emes non-lin´eaires d´ecrits sous forme de s´eries.
Pour finir, nous parlerons d’une m´ethode simplifi´ee, la m´ethode de la lin´earisation ´equivalente qui permet de trouver un syst`eme lin´eaire ´equivalent au syst`eme non-lin´eaire et ainsi effectuer rapidement des ´etudes simplifi´ees.
3.1 M´ethodes de recherche de solutions simplifi´ees
Parmi les m´ethodes de recherche de solutions sous une forme pr´ed´efinie, la m´ethode de collocation trigonom´etrique (TCM) et les m´ethodes de balance harmonique font partie des m´ethodes les plus utilis´ees et connues.
L’objectif de ces m´ethodes est de trouver des solutions p´eriodiques `a un syst`eme diff´erentiel non-lin´eaire continu par morceaux de la forme:
Nous cherchons alors `a d´evelopper la solution recherch´ee en s´eries de Fourier, en ne gardant que les M premi`eres harmoniques. L’approximation provient alors du fait que la solution consid´er´ee n´eglige toutes les harmoniques d’ordre sup´erieur `a M . La solution du syst`eme (3.1) prend alors la forme suivante: x(t) = a0+ M X m=1 (am.cos (m.t) + bm.sin (m.t)) (3.2)
avec a0, a1, b1,· · · , am, bm les coefficients de Fourier correspondant. Dans le cadre de la balance harmonique, il existe diverses m´ethodes telles que la m´ethode de la balance harmonique (HB method: harmonic Balance method; Nayfeh et Mook [125]), la m´ethode de la balance harmonique incr´ementale (IHB method: Incremental Harmonic Balance method; Cheung, Cheng et Lau [30], Leung et Chui [101], Lau et Zhang [100] et Pierre, Ferri et Dowell [134]), et la m´ethode avec alternance entre le domaine fr´equentiel et temporel (AFT method: Alternate Frequency/Time domain method; Cameron et Griffin [25] et Narayanan et Sekar [121]).
Une autre m´ethode qui est couramment utilis´ee pour approximer la recherche de solutions sous forme d’harmoniques est donc la m´ethode de la collocation trigonom´etrique (TCM, Nataraj [122] et Jean[84]). D’autres m´ethodes telles que les m´ethodes de perturbations, comme les m´ethodes d’extension directe, de Lindstedt-Poincar´e, des ´echelles multiples et de la moyenne harmonique sont aussi utilis´ees (Nayfeh et Balanchandran [126], Atadan [4], Nayfeh et Asfar [124] et Nayfeh[123]). Ces m´ethodes consistent alors `a rechercher les solutions du syst`eme sous des formes de puissance croissante suivant un param`etre ε, avec ε petit. Suivant la m´ethode utilis´ee, la solution du syst`eme peut ˆetre d´evelopp´ee de mani`ere plus ou moins complexe. Par exemple dans le cas de la m´ethode des ´echelles multiples, la solution peut ˆetre recherch´ee sous la forme:
x(t, ε) = εx1(T0, T1, · · · ) + ε2x2(T0, T1, · · · ) + · · · avec Tn= εnt (3.3) avec x1, x2,...,xm les coefficients `a d´eterminer.