Le stick-slip

c − ^∂G ∂ ˙x^{(x0, ˙x0, t)}  . ˙x +  k − ^∂G ∂x^{(x0, ˙x0, t)}  .x = 0 (1.3)

Nous retombons sur le cas classique d’une ´equation diff´erentielle, lin´eaire, homog`ene du second ordre `a coefficients constants.

Aussi, en admettant que m > 0 (ce qui est toujours valable dans le cas dynamique d’un syst`eme masse-ressort simple) et que l’´equation (1.3) est ´evalu´ee au voisinage du point d’´etat, et en reprenant les r´esultats sur la stabilit´e des syst`emes (Nayfeh [125]), nous obtenons:

m.¨x + c. ˙x + k.x = G(x, ˙x, t) stable ⇐⇒        c > ^∂G ∂ ˙x^{(x0, ˙x0, t)} k > ^∂G ∂x^{(x0, ˙x0, t)} (1.4)

Nous allons par la suite utiliser ces r´esultats de stabilit´e lors de la d´efinition des m´ecanismes et des conditions de stabilit´e associ´ees.

1.2.2 Le stick-slip

Les premiers travaux sur la mod´elisation des vibrations dues au frottement sec ont privil´egi´e l’aspect tribologique et la recherche de lois de comportement plus ou moins sophistiqu´ees comme origine de l’instabilit´e. Plus particuli`erement, le ph´enom`ene de stick-slip a ´et´e mis en avant d`es 1955 avec les travaux de Sinclair et Manville [158].

Depuis, le ph´enom`ene de stick-slip (litt´eralement ”coll´e-gliss´e”) a ´et´e tr`es largement expliqu´e (Ibrahim [71], Oden et Martins [129] et Gao [56]) et a fait l’objet de nombreuse ´etudes (Antoniou [3], Chambrette [28], Rabinowicz [138] et Barnejee [7]). Aussi, il a longtemps ´et´e consid´er´e comme le m´ecanisme expliquant le mieux les ph´enom`enes d’instabilit´es dues au frottement.

D’un point de vue physique, le stick-slip se traduit par des oscillations auto-entretenues dues `a la discontinuit´e du coefficient de frottement entre les phases ”coll´ees” et ”gliss´ees”.

Le mod`ele le plus couramment retenu pour l’´etude du stick-slip est un mod`ele `a un degr´e de libert´e, comportant un pion de masse m, soumis `a une force normale N , maintenu par un ressort de raideur k et un amortisseur c. La masse m est pos´ee sur une surface en mouvement `a une vitesse constante V , comme illustr´e en figure 1.2(a). Le d´eplacement x(t) de la masse m au cours du temps et les phases de coll´ees-gliss´ees associ´ees sont illustr´ees en figure 1.2(b). Un autre mod`ele ´equivalent consiste `

1.2. M´ecanismes de frottement et stabilit´e 9 une vitesse V , comme illustr´e en figure 1.3(a). Le d´eplacement x(t) de la masse m au cours du temps et les phases de coll´ees-gliss´ees associ´ees sont illustr´ees en figure 1.3(b).

(a) Mod`ele du stick-slip (b) D´eplacement x(t)

Fig.1.2: Mod`ele du stick-slip et sch´ematisation des phases coll´ees-gliss´ees

(a) Mod`ele ´equivalent du stick-slip (b) D´eplacement x(t)

Fig. 1.3: Mod`ele ´equivalent du stick-slip et sch´ematisation des phases coll´ees-gliss´ees

Pour l’´etude du ph´enom`ene de stick-slip, l’un des points essentiels est la mod´elisation du contact et plus pr´ecis´ement du coefficient de frottement. Ces mod´elisations sont alors plus ou moins complexes et repr´esentent de fa¸con plus ou moins d´etaill´ee ce qui se passe `a l’interface de frottement. Une loi simple consid`ere un coefficient de frottement statique µ<sub>s</sub> et un coefficient de frottement dynamique µ<sub>d</sub> constants avec la vitesse de glissement, et tel que µ<sub>d</sub> < µs. Une loi plus complexe pourra consid´erer par exemple des ´evolutions du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement. De nombreuses ´etudes du stick-slip ont port´ees sur les divers facteurs permettant de diminuer les amplitudes g´en´er´ees par ce ph´enom`ene (Oden et Martins [129]). Une augmentation de l’amortissement (Rabinowicz [138], Oden et Martins [129]), une augmentation de la raideur du ressort (Rabinowicz [138] et Gao [56]), une diminution de la masse du pion glissant (Oden et Martins [129]) et un amortissement des vibrations normales au contact (Tolstoi [168]) sont autant de facteurs qui peuvent permettre une diminution des amplitudes de stick-slip.

Nous allons maintenant pr´esenter de fa¸con plus d´etaill´ee les principaux r´esultats du ph´enom`ene de stick-slip pour un syst`eme `a un degr´e de libert´e prenant en compte deux ph´enom´enologies distinctes : - le coefficient de frottement est plus ´elev´e en phase ”coll´ee” qu’en phase ”gliss´ee”. Afin que les deux ´etats soient observ´es (et notamment le ph´enom`ene ”gliss´e”), la vitesse de glissement `a l’´equilibre doit ˆetre faible.

- le coefficient de frottement d´epend continuellement de la vitesse de glissement. Cela revient `a observer le ph´enom`ene de mani`ere ”macroscopique” pour pouvoir n´egliger la discontinuit´e.

Dans les deux cas, nous consid´erons une loi de frottement de type Coulomb. Nous allons maintenant ´etudier de mani`ere plus d´etaill´ee la stabilit´e et les trajectoires d´ecoulant des diff´erentes mod´elisations possibles.

1.2.2.1 Cas 1 : coefficient de frottement discontinu

L’une des premi`eres mod´elisations envisag´ees pour caract´eriser les vibrations dues au frottement consid`ere comme origine physique un coefficient de frottement statique µ_s sup´erieur au coefficient de frottement dynamique µ_d. Le syst`eme le plus simple pour expliquer ce ph´enom`ene consiste `a consid´erer une masse pos´ee sur un tapis roulant, comme indiqu´e `a la figure 1.4. Pour ce mod`ele, l’expression µ<sub>s</sub>N correspond au seuil de d´eclenchement du glissement et µ<sub>d</sub>N d´efinit le module de la force de frottement lorsque la vitesse relative est diff´erente de z´ero. Durant la phase gliss´ee, il n’y a pas de changement de la force de frottement qui tente de faire en sorte que la masse recolle au tapis roulant. Physiquement, le ph´enom`ene de stick-slip s’explique par le fait que la force de glissement augmente jusqu’`a ce qu’elle atteigne la force de frottement statique maximale. Alors, la masse commence `a glisser sur le tapis. Celle-ci continue de glisser jusqu’`a ce que la force qui cause le glissement redevienne inf´erieure `a la valeur de la force de frottement statique. Ainsi, le ph´enom`ene de stick-slip peut se reproduire de fa¸con r´ep´etitive.

Si le coefficient de frottement statique µ_s est ´egal au coefficient de frottement dynamique µ_d, le ph´enom`ene de ”coll´e” ne peut se produire. La masse est en glissement continu et il n’y a pas apparition de vibration du syst`eme.

1.2. M´ecanismes de frottement et stabilit´e 11 Nous allons maintenant examiner les conditions de stabilit´e associ´ees `a un tel syst`eme. L’´equation dynamique relative `a ce syst`eme masse-ressort s’´ecrit sous la forme :

m.¨x + c. ˙x + k.x = T ( ˙x − V ) (1.5) avec |T (0)| ≤ µ_s.N adh´erence T [( ˙x − V ) ≥ 0] = µ_d.N < µ_s.N glissement positif T [( ˙x − V ) ≤ 0] = −µ_d.N > −µ_s.N glissement n´egatif (1.6)

Ce qui peut aussi s’´ecrire sous la forme :    |T | ≤ µ_s.N (V − ˙x) .T − |V − ˙x|.µ_d.N = 0 (1.7) D’apr`es cette formulation, nous pouvons statuer sur les diff´erentes trajectoires issues des conditions initiales (en n´egligeant l’amortissement), comme illustr´e en figure 1.5:

- il existe un point stationnaire A_L(x_e, 0) pour lequel le syst`eme est en ´equilibre stable. Aussi, tout syst`eme contenu dans la r´egion du cercle de centre A_Let de rayon inf´erieur `a V , est un syst`eme oscillant sur le cercle de centre A_Let passant par ses conditions initiales propres (x₀, ˙x₀).

- si le syst`eme est tel que les conditions initiales v´erifient ˙x = V et −x<sub>a</sub>< x < x<sub>a</sub>(points adh´erents), celui-ci atteint le point A<sub>D</sub>(x<sub>a</sub>, V ) et d´ecrit un cycle Γ<sub>L</sub>, pour le ”quitter” au point A<sub>R</sub>. Ce ph´enom`ene est le ph´enom`ene de ”stick-slip” `a proprement parl´e avec une phase de glissement `a partir du point A<sub>D</sub> suivi d’un recollage au point A<sub>R</sub> jusqu’`a A_D, et ceci de mani`ere cyclique.

- si le syst`eme est tel que les conditions initiales sont ext´erieures `a ce cycle alors, ce syst`eme se cale obligatoirement sur la courbe d’adh´erence ( ˙x = V et −x<sub>a</sub>< x < x<sub>a</sub>) au bout d’un certain temps. Le ph´enom`ene observ´e est alors le mˆeme que pr´ec´edemment : c’est le ph´enom`ene de stick-slip. Le cycle Γ<sub>L</sub> ainsi d´efini est appel´e cycle attracteur limite du syst`eme.

1.2.2.2 Cas 2 : coefficient de frottement continu, fonction de la vitesse de glissement Dans le cas pr´ec´edent, l’origine physique des vibrations provenait du coefficient de frottement sta-tique sup´erieur au coefficient de frottement dynamique. Une deuxi`eme mod´elisation possible, consiste `a consid´erer cette fois un coefficient de frottement dynamique d´ecroissant avec la vitesse relative de glissement. D`es 1938, les travaux de Mills [113] mettent en avant le fait que les ph´enom`enes de vi-bration de squeal sont dˆus `a la diminution du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement. Du fait de la pente n´egative de l’´evolution du coefficient de frottement, l’´etat d’´equilibre du syst`eme devient instable et g´en`ere des vibrations induites par le frottement.

Pour ´etudier ce ph´enom`ene, nous pouvons consid´erer un syst`eme masse-ressort classique sur tapis roulant comme illustr´e en figure 1.6.

Fig.1.6: Syst`eme masse-ressort avec frottement variant en fonction de la vitesse de glissement

Afin de regarder les conditions de stabilit´e associ´ees `a un tel syst`eme, nous consid´erons le cas o`u le coefficient de frottement est d´efini comme un fonction lin´eaire par rapport `a la vitesse de glissement. L’´equation dynamique s’´ecrit alors sous la forme :

m.¨x + c. ˙x + k.x = T ( ˙x − V ) = µ( ˙x − V ).N (1.8) avec |T (0)| ≤ µ_d.N adh´erence T [( ˙x − V ) ≥ 0] = µ_d.N.(1 − α(V − ˙x)) glissement positif T [( ˙x − V ) ≤ 0] = −µ_d.N.(1 + α(V − ˙x)) glissement n´egatif (1.9)

D’apr`es le r´esultat obtenu en (1.4), r´eduit au cas o`u la fonction G ne d´epend que du terme ˙x, la condition de stabilit´e du syst`eme devient :

c + N.^dµ d ˙x^{( ˙x0).sg( ˙x0)} 2 > 0 (1.10) Soit dµ d ˙x^{( ˙x0) >} c N ^(1.11)

De ce dernier r´esultat, le syst`eme est toujours stable si ^dµ

1.2. M´ecanismes de frottement et stabilit´e 13 physique, il s’av`ere que l’´evolution du coefficient de frottement en fonction de la vitesse est plutˆot caract´eris´ee par une fonction d´ecroissante. Donc, nous avons ^dµ

d ˙x<sup>( ˙x0) < 0 et le syst`eme est par nature</sup> instable, mˆeme si ce dernier peut ˆetre stabilis´e en ajoutant de l’amortissement par exemple. Comme le d´ecrit Chambrette [28], la litt´erature consid`ere deux grandes familles de lois d’´evolution d´ecroissante du coefficient de frottement en fonction de la vitesse: la premi`ere loi propose tout simplement une ´evolution lin´eaire du coefficient de frottement en fonction de la vitesse, tandis que dans le deuxi`eme cas, une loi explicite exponentielle est envisag´ee. Nous allons maintenant expliciter ces deux grandes familles.

Loi lin´eaire:

En consid´erant des variations lin´eaires de µ, nous pouvons alors d´ecrire cette ´evolution sous la forme : µ( ˙x) = µ₀+ µ₁. ^˙x

V₁ ^(1.12)

avec µ0le coefficient de frottement au point d’´etat et ^µ1

V₁ ^{d´efinissant la pente d’´evolution du coefficient} de frottement en fonction de la vitesse de glissement.

Ainsi, nous avons

dµ d ˙x^{( ˙x0) =}

µ1

V₁ ^(1.13)

Soit le syst`eme est stable si et seulement si µ₁ V₁ ^{> −}

c

N ^{∀(x0, ˙x0) (1.14)}

Loi explicite exponentielle:

La litt´erature d´ecrit ´egalement des lois plus complexes pour d´efinir l’´evolution d´ecroissante du coeffi-cient de frottement en fonction de la vitesse de glissement. Nous obtenons alors des lois de la forme suivante :

µ( ˙x) = µ_d+ (µ_s− µ_d).e − ˙x

V_{1 (1.15)}

en consid´erant toujours le coefficient de frottement dynamique µ_dinf´erieur au coefficient de frottement statique µ_s et avec V₁ > 0.

Dans ce cas, le syst`eme est potentiellement instable quelle que soit la vitesse de glissement (du fait que µ est strictement d´ecroissant). Nous avons alors :

dµ d ˙x^{( ˙x0) = −} µ_s− µ_d V₁ ^.e − ˙x V_{1 (1.16)}

Soit le syst`eme est stable si et seulement si µs− µ_d

V₁ ^< c

N ^{∀(x0, ˙x0) (1.17)}

Ainsi, `a ce stade de l’avancement, nous remarquons l’importance de l’´evolution du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement et la complexit´e qui en d´ecoule. Nous rappelons que tous ces d´eveloppements sont valables pour des vitesses relatives faibles.

Nous pouvons donc `a pr´esent examiner l’allure des trajectoires li´ees `a un coefficient de frottement ´evoluant en fonction de la vitesse de glissement. Nous consid´erons une ´evolution lin´eaire du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement.

Nous rappelons l’´equation dynamique r´egissant le syst`eme :

m.¨x + c. ˙x + k.x = T ( ˙x − V ) (1.18) avec |T (0)| ≤ µ_d.N adh´erence T [( ˙x − V ) ≥ 0] = µ_d.N.(1 − α(V − ˙x)) glissement positif T [( ˙x − V ) ≤ 0] = −µ_d.N.(1 + α(V − ˙x)) glissement n´egatif (1.19)

Nous pouvons alors statuer sur les diff´erentes trajectoires issues des conditions initiales du syst`eme (en n´egligeant l’amortissement c et en supposant αV << 1), comme illustr´e `a la figure 1.7 :

- un syst`eme ayant ses conditions initiales telles que ˙x ≤ V d´ecrit des spirales divergentes centr´ees au point x⁺_e = µ_d.^N

k^{(1 − αV ). On est en r´egime de glissement positif. Ces spirales rencontrent, au} bout d’un certain temps, un point adh´erent d´efini par ˙x = V et −x_a< x < x_a.

- un syst`eme ayant ses conditions initiales telles que ˙x ≥ V d´ecrit des spirales divergentes centr´ees au point x⁻_e = −µ_d.^N

k^{(1 + αV ). On est en r´egime de glissement n´egatif. Ces spirales rencontrent, au} bout d’un certain temps, un point adh´erent d´efini par ˙x = V et −x_a< x < x_a.

- les points adh´erents sont d´efinis, comme dans le cas pr´ec´edent du coefficient de frottement dis-continu, par ˙x = V et −x_a< x < x_a (avec x_a= µ.^N

k^).

- il existe un point stationnaire unique x_e, instable par frottement. Le syst`eme, pour toutes condi-tions initiales aussi proches soient elles de x_e, s’´eloigne de l’´equilibre en oscillant autour de x_e.

- il existe un cycle limite attracteur Γ_L pour toute condition initiale : c’est un cycle comportant une phase de glissement et d’adh´erence, d´efinissant le ph´enom`ene de stick-slip.

1.2. M´ecanismes de frottement et stabilit´e 15 1.2.2.3 Conclusion sur le ph´enom`ene stick-slip

Nous venons de voir que le m´ecanisme de stick-slip permet de d´ecrire certaines instabilit´es li´ees aux vibrations induites par frottement sec. Les diverses mod´elisations envisag´ees se basent sur des consid´erations tribologiques consid´erant la discontinuit´e et l’´evolution du coefficient de frottement comme le facteur d´eterminant pour reproduire ces instabilit´es dues au frottement sec.

Bien que le m´ecanisme de stick-slip soit reconnu et tr`es largement utilis´e pour les probl`emes `a basses fr´equences, il est rapidement apparu qu’il n’´etait pas suffisant pour expliquer un certain nombre d’instabilit´es li´ees au frottement. En effet, les propri´et´es tribologiques du coefficient de frottement ne sont pas les seules causes des vibrations apparaissant dans les syst`emes frottants. Ceci a ´et´e observ´e sur de nombreuses ´etudes exp´erimentales (Liu [102], Boudot [18], Jarvis [83]) o`u des instabilit´es dues au frottement apparaissaient alors que le coefficient de frottement ´etait sensiblement constant. De plus, comme le pr´ecise Chambrette [28], le stick-slip suppose, en plus de la variation du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement, l’existence de p´eriodes au cours desquelles il n’y a aucun mouvement relatif des pi`eces en contact. Cette derni`ere hypoth`ese ne peut ˆetre consid´er´ee comme valable pour les ph´enom`enes de crissement par exemple, o`u les vitesses atteintes ne permettent pas d’envisager des phases de recollement et donc le ph´enom`ene ”coll´e”. C’est ainsi qu’en 1961, Spurr [161] proposa le mod`ele de sprag-slip comme explication et interpr´etation possible des ph´enom`enes de crissement dans les freins.