M´ ETHODES D’INTERACTION POUR QUBITS SUPRACONDUCTEURS

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Fig. 4.1: Qubits coupl´es en parall`ele `a une inductanceL.

le calcul tol´erant aux imperfections n’a pas encore ´et´e ´evalu´e dans le cas o`u l’interac-tion qubit–qubit est toujours pr´esente. Il est `a esp´erer que ce seuil n’est pas trop bas, ce qui rendrait ce type d’approche impossible `a utiliser en pratique.

Notons qu’en rempla¸cant la jonction reliant les qubits par un SQUID, il est possible de contrˆoler l’amplitude du couplage `a l’aide d’un flux externe [171]. En pratique toutefois, les jonctions formant le SQUID ne seront pas identiques et une interaction r´esiduelle sera toujours pr´esente.

Une troisi`eme approche, mise de l’avant par le groupe de G. Sch¨on, utilise une inductance connect´ee en parall`ele avec les qubits, figure 4.1 [78, 108]. Dans cette approche, l’inductance est choisie de fa¸con `a ce que la fr´equence ω_LC = 1/p

N C_qbL de l’oscillateur associ´e soit plus grande que les ´energies typiques des qubits (E_J etE_C).

Ici,C_qbest la capacit´e effective d’un qubit C_qb⁻¹ = 1/C_g+ 1/C_J etN est le nombre de qubits connect´es `a l’inductance. Dans ce cas, les qubits ne peuvent exciter l’oscillateur LC et c’est plutˆot grˆace aux excitations virtuelles de celui-ci que le couplage qubit–

qubit est possible.

En ´ecrivant l’hamiltonien du syst`eme qubits + oscillateur puis en ´eliminant les variables de ce dernier on trouve l’interaction qubit–qubit effective suivante [78, 108]

H_int =−X

i<j

B_x(Φ_xi)B_x(Φ_xj)

E_L σ_yiσ_yj, (4.2)

avec E_L = (C_J/C_qb)²Φ²₀/π²L et B_x(Φ_xi) = 2E_Jcos(πΦ_xi/Φ₀). Cette interaction sera pr´esente dans la mesure o`u les fluctuations de la phase Φ du circuit LC sont faibles :

phΦ²i C_JΦ₀/C_qb.

Cette approche a comme avantage que l’interaction entre les qubitsietj (o`uietj ne sont pas n´ecessairement voisins) peut ˆetre ferm´ee en ajustantB_x(Φ_xi) ou B_x(Φ_xj)

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a z´ero. Toutefois, cet avantage implique en contrepartie plusieurs probl`emes. En effet, on remarque premi`erement qu’il est impossible de faire des rotations simultan´ement selonxsur des qubits diff´erents sans faire interagir ceux-ci avec le termeH_int. Il est par cons´equent impossible de faire des op´erations en parall`ele (sauf les rotations `a un qubit selon z) avec ce design. On ne peut donc tirer avantage des optimisations discut´ees

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a la section §1.7. Ce qui est plus grave est que les techniques de calcul quantique tol´erant aux imperfections n´ecessitent un haut degr´e de parall´elisme classique [172].

Un ordinateur quantique construit avec cette approche pour l’interaction qubit–qubit ne pourra donc pas atteindre le seuil de tol´erance du calcul tol´erant aux imperfections.

Un probl`eme encore plus important concernant cette approche est que, afin d’avoir une interaction suffisamment importante et ainsi des op´erations `a deux qubits rapides, l’inductance doit ˆetre L ≥ 1µH [108]. Un design l´eg`erement diff´erent permet plutˆot de prendre L&1nH [173]. Sachant qu’une inductance microfabriqu´ee standard a une inductance par unit´e de longueur d’environ ∼1pH/µm [174], il apparaˆıt clairement que l’inductance n´ecessaire pour r´ealiser l’interaction entre qubits m´edi´ee par les excitations virtuelles d’un oscillateur LC serait difficile `a fabriquer et `a int´egrer en pratique. Une approche r´ecente et l´eg`erement diff´erente r`egle, en principe, le probl`eme d’int´egration mais souffre toujours de l’impossibilit´e de faire des op´erations logiques en parall`ele [175].

Finalement, une technique alternative utilise le couplage inductif mutuel entre les SQUIDs formant les boucles des qubits de charge [176]. Puisque la self de ces boucles est en pratique tr`es faible, il semble que ce couplage inductif soit petit et donc que les op´erations r´esultantes soient lentes.

4.1.2 Qubits de phase

Pour les qubits de phase du type `a trois jonctions ou SQUID-rf, l’interaction qui semble la plus naturelle est le couplage inductif. En pla¸cant les boucles de deux qubits

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a proximit´e, on obtient un terme M I₁I₂ dans l’hamiltonien, avec M l’inductance

4.1. M´ETHODES D’INTERACTION POUR QUBITS SUPRACONDUCTEURS

mutuelle et I_i le courant dans la boucle du qubit i [121]. Selon que l’on couple ainsi les boucles principales ou secondaires des qubits, on obtient un terme d’interaction ayant la sym´etrie σ_zσ_z, σ_zσ_x ou σ_xσ_x. Les temps caract´eristiques pour l’interaction qubit–qubit sont du mˆeme ordre que ceux des op´erations `a un bit [108].

Cette approche est similaire en esprit au couplage capacitif pour les qubits de charge et souffre du mˆeme probl`eme : l’interaction qubit–qubit est toujours pr´esente.

Une alternative utilise les excitations virtuelles d’un circuit LC coupl´e inductivement au registre de qubits [173]. Comme on peut s’y attendre, cette approche est ´equivalente

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a celle de la figure 4.1 et pr´esente les mˆemes complications.

Pour les qubits bas´es sur les supraconducteurs `a haute temp´erature critique, diff´erentes approches ont ´et´e sugg´er´ees. Pour les qubits bas´es sur les barri`eres de grain pr´esent´es `a la figure 3.10 a), un transistor `a ‘un ´electron’ supraconducteur (superconducting single electron transistor, SSET) entre les qubits permet une inter-action de la formeσ_zσ_z [5]. L’amplitude de l’interaction d´epend de l’´energie Josephson des jonctions du transistor. Celles-ci peuvent ˆetre choisies de telle sorte que le temps caract´eristique d’interaction soit du mˆeme ordre de grandeur que les op´erations `a un qubit. De mˆeme, en ajustant le voltage de grille du SSET, il est possible de fermer ou d’ouvrir le couplage entre qubits. Les SSETs ont l’avantage de commuter rapidement entre ces ´etats ouvert et ferm´e (qubits d´ecoupl´es ou coupl´es). Malheureusement, il ne s’agit pas d’un commutateur parfait et peut causer un couplage r´esiduel dans le mode o`u les qubits devraient ˆetre d´ecoupl´es.

Pour le qubit `a terminaux multiples de la Figure 3.10 b), le couplage qubit–qubit est possible grˆace `a un 2DEG suppl´ementaire reliant les qubits. Un voltage de grille sur le 2DEG permet de connecter ou d´econnecter une paire de qubits [162, 177].

Finalement, Blatter et al. ont sugg´er´e un m´ecanisme bas´e sur les jonctions π/2 pour coupler et d´ecoupler des qubits [161]. Dans cette approche toutefois, chaque commutateur requiert un grand nombre d’´el´ements (6 jonctions ‘0’, une jonction π et une jonction π/2 par commutateur) et impose des contraintes de fabrication importante (certaines paires de jonctions doivent avoir la mˆeme ´energie Josephson).

Il semble donc, encore une fois de plus, que cette approche ne soit pas utile en pratique.

4.1.3 Designs r´ ecents

Pour les qubits phase–charge de Saclay et le design bas´e sur une seule jonction Josephson (CBJJ) expos´es `a la section §3.4.3, peu de suggestions de couplage ont jusqu’`a pr´esent ´et´e pr´esent´ees.

Pour le qubit phase–charge, un couplage capacitif semble ˆetre une solution na-turelle. Comme d´ecrit pr´ec´edemment, un tel couplage donne une interaction ayant la forme σ_zσ_z dans la base de charge. Toutefois, puisque ce qubit op`ere dans une base form´ee de superpositions sym´etrique et antisym´etrique d’´etats de charge (i.e., (|n= 0i±|n = 1i)/√

2 dans l’approximation `a deux charges valide pourE_J/E_C petit), le remplacement (3.23) n’est plus valide. Dans cette nouvelle base logique, l’op´erateur de charge prend plutˆot la forme ˆn →(I−β σ_x)/2. Le facteur β peut facilement ˆetre

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evalu´e par diagonalisation exacte. Au point d’op´eration du qubit phase–charge, celui-ci prend la valeur β = 1 lorsque l’´energie de charge domine par rapport `a l’´energie Josephson et croˆıt avec une augmentation du rapport E<sub>J</sub>/E<sub>C</sub>. Dans cette base, l’in-teraction a donc la sym´etrie σ<sub>x</sub>σ<sub>x</sub>. Ce type d’interaction capacitive est probablement le plus simple `a r´ealiser en pratique mais a les d´esavantages ´enonc´es plus haut.

Pour le qubit du type CBJJ, un couplage capacitif a ´et´e sugg´er´e par J. Marti-nis [178] mais n’a pas ´et´e analys´e en d´etail. Dans la section suivante, cette id´ee est explor´ee de fa¸con plus approfondie. On appliquera ensuite les r´esultats de cette ´etude au couplage ajustable d’une paire de qubits phase–charge. Cette approche originale peut toutefois s’appliquer `a d’autres types de qubits. Les deux prochaines sections sont bas´ees sur la r´ef´erence [179].