M´ethode de Gumbel et r´egression lin´eaire

Avant de traiter le probl`eme du choix de l’approximation empirique, une discussion autour de l’application de la m´ethode de Gumbel est pr´esent´ee. Cela concerne le choix des axes de la r´egression lin´eaire et l’utilisation des quantiles comme valeur pour donner des estimations des profondeurs maximales.

4.2.2.1 Choix des axes pour la r´egression lin´eaire

L’estimation des param`etres de la loi de Gumbel `a l’aide de la r´egression lin´eaire peut se faire de deux fa¸cons. Cette diff´erence concerne le choix des axes de la r´egression, ou en d’autres termes, le choix de la variable `a expliquer et la variable explicative. Rappelons que le mod`ele de la r´egression lin´eaire s’´ecrit sous la forme y = ax + b + , o`u y repr´esente la variable `a expliquer, x la variable explicative et  le r´esidu qui suit une loi normale de moyenne nulle.

La distinction entre les deux variables x et y n’est pas toujours facile et d´epend souvent de ce qu’on souhaite faire ([DS98]). En g´en´eral, la variable explicative est suppos´ee d´eterministe, alors que la variable `a expliquer est suppos´ee al´eatoire ([CL07]). Dans la litt´erature ([Shi96, Shi91]), cette m´ethode est appliqu´ee avec un choix de x assimilable aux profondeurs observ´ees et y ´egale `a − log(− log(1 − 1

T)), alors que dans ce travail (voir 2.2.4.1), c’est le choix inverse qui a ´et´e fait.

Pour la pr´esentation des r´esultats, nous appelons « axes classiques », l’approche pr´esent´ee dans la litt´erature, et « axes invers´es » l’approche pr´esent´ee dans ce travail.

Avant d’´evoquer les raisons de ce choix, revenons sur la notion de p´eriode de retour en d´esignant par S la surface objective pour laquelle on souhaite connaitre une estimation de la profondeur maximale, et par s la surface ´echantillon (ou bloc d’analyse). Soient F l’une des trois distributions des valeurs extrˆemes et Y la v.a des profondeurs. Si on note Ne la v.a qui correspond au nombre

d’´echantillons (blocs) n´ecessaires pour d´epasser pour la premi`ere fois la profondeur z, alors :

P (Ne= k) = (1 − F (y)) F (y)k−1 (4.1)

En d’autres termes, P (Ne = k) correspond `a la probabilit´e que les profondeurs des piqˆures

restent inf´erieures `a la valeur z apr`es l’observation de k ´echantillons. Ne est une v.a suivant la loi

g´eom´etrique de param`etre 1−F (y), ainsi l’esp´erance de la variable al´eatoire Neest ´egale `a l’inverse

du param`etre, et on ´ecrit :

E [Ne] = _{1 − F (y)}1 = T (y) (4.2)

Ainsi, la p´eriode de retour d´efinie au deuxi`eme chapitre par l’´equation (2.32) correspond au nombre moyen de blocs n´ecessaires pour d´epasser pour la premi`ere fois la valeur y. Par cons´equent, on retrouve la d´efinition de cette notion comme ´etant le rapport entre la surface objective et le bloc d’analyse s et on ´ecrit T = S/s. Enfin, il faut rappeler que cette notion de p´eriode de retour suppose une homog´eneit´e du point de vue environnement dans lequel la surface objective est expos´ee, et une homog´eneit´e spatiale quant `a la distribution des piqˆures ([Kow94]).

En tenant compte de la d´efinition de la p´eriode de retour et l’aspect th´eorique de la r´egression lin´eaire, le choix des axes dans les deux approches peut se pr´esenter de la fa¸con suivante :

– Axes classiques : La variable des profondeurs est la variable explicative. Dans ce cas l’ex- trapolation se fait par rapport `a la surface objective. En d’autres termes, pour une profondeur donn´ee, quelle est la surface pour laquelle cette profondeur sera d´epass´ee pour la premi`ere fois ? (d´etermin´ee `a partir de la connaissance de la droite de r´egression).

– Axes invers´es : La variable explicative s’exprime en fonction de la p´eriode de retour (plus exactement − log(− log(1 − 1

T))), dans ce cas l’extrapolation se fait en terme de profondeur,

plus pr´ecisemment, pour une surface objective S, on estime la profondeur maximale des piqˆures.

La deuxi`eme approche apparaˆıt la plus adapt´ee au probl`eme de l’extrapolation, en effet on fixe la p´eriode de retour et on estime la profondeur correspondante. Dans la litt´erature, malgr´e l’utilisation des axes classiques, la p´eriode de retour est fix´ee, puis la profondeur correspondante est d´etermin´ee `a partir de la connaissance de la droite de r´egression ([Shi96, Shi91]). En outre, pour tester la qualit´e de l’ajustement, il est necessaire de v´erifier la normalit´e des r´esidus. Un r´esidu est d´efini comme ´etant la diff´erence entre la valeur observ´ee et la valeur ajust´ee, cette v´erification est plutˆot adapt´ee aux r´esidus concernant les profondeurs que ceux concernant les p´eriodes de retour. 4.2.2.2 Utilisation des quantiles

L’int´erˆet de l’application de la th´eorie des valeurs extrˆemes en corrosion par piqˆures est d’esti- mer la profondeur maximale. En pratique ce sont les quantiles extrˆemes qu’on estime. Ainsi, une profondeur critique d´epass´ee pour une surface objective sera toujours associ´ee `a une probabilit´e et cela est dˆue `a la d´efinition mˆeme de la p´eriode de retour. N´eanmoins, on peut s’int´eresser `a l’esp´erance des valeurs maximales en admettant l’approximation que la loi du maximum sur chaque bloc de taille s suit une loi des valeurs extrˆemes. Ainsi, si on d´esigne par MT le maximum pour une

p´eriode de retour T , alors l’esp´erance de cette variable est donn´ee par : E [MT] = Z +∞ −∞ y GT 0 (y)
0 dy = γ∗σ0+ µ0+ σ0log (T ) (4.3) o`u (G0(y)) 0

est la d´eriv´ee de la distribution de Gumbel d´efinie par l’´equation (2.29).