4.2 M´ethode de Gumbel
4.2.4 Choix de la surface d’analyse
La m´ethode de Gumbel n´ecessite la d´ecomposition en blocs d’analyse. Le choix de la taille et le nombre de ces blocs est un probl`eme rarement discut´e dans la litt´erature. Shibata ([Shi96]) a discut´e ce probl`eme en concluant que le bloc d’analyse doit contenir un nombre minimal de piqˆures, et la th´eorie des valeurs extrˆemes n’est plus valable `a partir d’une taille critique du bloc d’analyse. Melsher ([Mel08]) a pos´e le probl`eme de la « surface repr´esentative » et a conclu que, pour r´ecolter les donn´ees, il faut adapter la taille des blocs en fonction des profondeurs des piqˆures. Ainsi, un grand bloc est n´ecessaire dans le cas des grandes profondeurs, et un petit bloc dans le cas des petites profondeurs. Il propose un autre crit`ere du choix de la surface d’analyse, en se basant sur la remarque que l’h´et´erog´eneit´e, en terme de profondeur, est la cons´equence du ph´enom`ene de m´e- tastabilit´e des piqˆures. Ainsi, l’auteur propose comme crit`ere de choix, des surfaces pour lesquelles le pourcentage des piqˆures m´etastables ne d´epasse pas 10%.
Dans cette section, un crit`ere de d´ecoupage est propos´e. Une fois que la taille des blocs d’analyses est d´etermin´ee, le nombre de ces blocs peut ˆetre choisi de telle sorte qu’ils stabilisent les estimations. Cette stabilisation est quantifi´ee en terme de variation de l’estimation lors du passage de p `a p + 1 blocs. En d’autres termes, on va consid´erer que les estimations se sont stabilis´ees si le rapport entre l’estimation `a p+1 blocs et celle `a p blocs est inf´erieure `a un certain seuil qu’on peut fixer `a l’avance. 4.2.4.1 Discussion d’un crit`ere de d´ecoupage en blocs d’analyse
Les deux approches de simulations num´eriques pr´esent´ees dans la section pr´ec´edente consistent `a comparer les estimations dans le cas de « bloc-diff´erent »et le cas de « bloc-´egal ». La conclusion, est que les deux estimations sont proches en terme de biais et de variance. Sachant que dans la premi`ere approche, les coordonn´ees des piqˆures sont g´en´er´ees selon une CSR, la m´ethode des
quadrats pr´esent´ee au troisi`eme chapitre est la plus appropri´ee pour d´ecouper la surface d’´etude en blocs d’analyse. En effet, elle permet de trouver l’´echelle pour laquelle la structure spatiale des piqˆures est une CSR. En outre, cette ´echelle permettra d’avoir des blocs d’analyse pour lesquels l’hypoth`ese d’´egalit´e des nombres de piqˆures n’est pas rejet´ee. Ainsi, la m´ethode des quadrats permet de s’approcher des conditions th´eoriques de l’application de la m´ethode de Gumbel. A noter que la m´ethode ne permet pas toujours l’obtention de l’´echelle CSR, car en pratique la structure spatiale des piqˆures peut ˆetre fortement agr´eg´ee. Dans ce cas l’estimation de la densit´e spatiale et son int´egration dans des simulations num´eriques `a l’image du calcul pr´esent´e dans la section pr´ec´edente, peut donner des r´eponses quant au meilleur d´ecoupage en terme de biais et de variance. La figure (4.29) montre les r´esultats de la m´ethode des quadrats appliqu´ee aux positions 3 et 4 de la bande 1 (issue de la tˆole 1) pr´esent´ee dans la section (4.1.3).
20 40 60 80 100 40 60 80 100 120 Nombre de blocs Valeur du chi−deux Position 3 Observé théorique 20 40 60 80 100 40 60 80 100 120 Nombre de blocs Valeur du chi−deux Position 4 Observé théorique
Fig. 4.29: M´ethode des quadrats pour les positions 3 et 4 de la bande 1
Le d´ecoupage respecte la condition CSR si la valeur observ´ee est inf´erieure `a la valeur th´eorique du Chi-deux. On remarque qu’en pratique (pour les plaques attaqu´ees), il est possible de trouver le d´ecoupage pour lequel l’hypoth`ese de l’´egalit´e entre les nombres de piqˆures par bloc n’est pas rejet´ee. La difficult´e dans cette d´emarche r´eside dans le fait qu’il est parfois difficle d’extraire les coordonn´ees des piqˆures.
D´esormais, on va s’int´eresser `a l’influence du choix de la taille des blocs d’analyse ainsi qu’`a celui de leur nombre sur les estimations des quantiles extrˆemes. Pour cela, on simule une surface de 50× 50 cm2 d’une fa¸con identique `a celle de 10000 cm2 (mˆeme densit´e de 8 piqˆures par cm2
et r´epartition spatiale), ce qui conduit `a la simulation de 20000 piqˆures selon une structure CSR. La r´eduction de la taille de la surface objective simul´ee a seulement pour objectif la r´eduction du temps de calcul. Les conclusions restent les mˆemes.
Le proc´ed´e de calcul consiste `a d´ecouper la surface objective en plusieurs blocs entre 100 et 1600, et d’y appliquer la m´ethode de Gumbel. Pour comparer les estimations pour les diff´erents
d´ecoupages, le nombre de blocs sera proportionel `a la taille de la surface objective. En d’autres termes, si on d´ecoupe toute la surface objective en 100 blocs, et si on en choisit 5 pour estimer les quantiles extrˆemes (soit 5% de la surface totale ´etant analys´ee) alors, pour le d´ecoupage en 200 blocs, on va en analyser 10. Dans ce travail, cette surface analys´ee varie entre 5% et 30% de la taille totale de la surface objective. Cela permet d’avoir des estimations comparables pour analyser l’impact de la taille des blocs sur les estimations. Pour chaque d´ecoupage, 1000 blocs ont ´et´e choisis al´eatoirement. Vu que toutes les m´ethodes d’estimations aboutissent aux mˆemes conclusions, seule la r´egression lin´eaire sera pr´esent´ee. La figure (4.30) montre les moyennes des 1000 estimations des quantiles associ´ees `a chaque d´ecoupage ainsi que leurs ´ecarts-types. A noter que dans la suite, c’est l’approximation de Hazen qui sera utilis´ee pour la m´ehode de la r´egression lin´eaire.
5 10 15 20 25 30 180 185 190 195 Pourcentage
Moyenne des quantiles
5 10 15 20 25 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Pourcentage
Moyenne des écarts−types
100 200 400 500 800 1000 1600 Max−simul
Fig. 4.30: Comparaison des estimations en fonction de la taille des blocs (m´ethode de la r´egression) : a-Moyennes des quantiles , b-Moyennes des ´ecarts-types des quantiles
Pour la mˆeme taille de surface analys´ee (´egale au nombre de blocs fois la taille d’un bloc), les esti- mations des quantiles varient. On remarque que plus les blocs ont une grande taille, plus le biais des estimations est faible ; en contre partie la variance augmente. Pour un d´ecoupage donn´e, l’augmen- tation du nombre de blocs n’influe pas sensiblement sur les estimations des quantiles contrairement `a leurs tailles. En r´esum´e, en fixant une surface `a analyser, la d´ecouper en grands blocs aboutira `a des estimations `a faibles biais mais avec une variance plus importante, et la d´ecouper en petits blocs conduira `a des surestimations mais avec une variance moins importante. Selon le besoin et l’objectif du travail, on peut privil´egier un d´ecoupage par rapport `a un autre. Par exemple, si on choisit un d´ecoupage en petit blocs, on aura une probabilit´e plus ´elev´ee de surestimer l’´ev´enement extrˆeme ´etudi´e ce qui ´evitera le risque de la sous-estimation qui peut s’av´erer dangereux. En contre partie il faudra ´evaluer le coˆut de cette surestimation pour pouvoir trancher.