2.2 Détection de points clefs
2.2.2 Métrique pour la détection de blobs
Dans cette partie, les notations seront tirées de Lindeberg 2015. La définition ma-thématique d’un blob est nécessaire, la définition précédente (section 2.2) étant avant tout qualitative. Un blob est défini par des lignes de niveau closes sans croisement et monotones du bord du blob au centre de celui-ci (Cayley 1859). Cette définition conduit à définir un blob comme une zone strictement concave, elle peut également être faite pour des minimums locaux où celle-ci se traduit par une zone strictement convexe. Cette définition donnée dans le cadre d’étude topologique il y a plus d’un siècle fonctionne admirablement bien dans le cas d’images en niveaux de gris où l’on cherche à détecter des points clefs. La figure 2.5 permet d’identifier des blobs en fonction des lignes de niveaux les lignes bleues correspondent au contour d’un blob alors que les lignes jaune correspondent a des zone ne correspondant pas à des blob car elle elle contiennent plusieurs maxima.
2.2.2.1 Cas unidimensionnel
La dérivation seconde est couramment utilisée pour la détection de blobs que ce soit des bords ou des blobs. En effet, celle-ci permet une bonne représentation de la structure d’une image.
Pour calculer la dérivée d’un signal représenté par une fonction f(x) dérivable sur R, il est courant d’utiliser la dérivée d’une gaussienne G qui permet le filtrage passe-bas et la dérivation simultanément :
d
dx(G(x)∗f(x)) = dG(x)
dx ∗f(x). (2.12)
De même pour la dérivation seconde : d2
dx2 (G(x)∗f(x)) = d2G(x)
dx2 ∗f(x). (2.13)
Ainsi il est possible d’utiliser une seule opération pour faire le filtrage et le calcul des dérivées secondes. Pour le filtre passe-bas, la gaussienne est le plus souvent utilisée. En effet, celle-ci présente l’avantage de maximiser la localisation spatiale et de réduire au maximum la bande spectrale du filtre (Marr et al. 1980).
On peut utiliser le test de la dérivée seconde à chaque point où la dérivée première s’annule ceci permet de déterminer s’il s’agit d’un maximum d’un minimum local ou d’une zone sans information
d2f(x)
dx2 <0 minimum local (2.14)
d2f(x)
dx2 >0 maximum local (2.15)
d2f(x)
dx2 = 0 aucune information (2.16)
2.2.2.2 Cas bidimensionnel
L’extension naturelle de la dérivée seconde en deux dimensions est la matrice hessienne, soit une image I représenté par une fonction définie sur R2 soit G une fonction gaussienne bidimentionelle définie surR2 la dérivée seconde selon une composante est définie comme :
∂2I
∂x2 = ∂2G
∂x2 ∗ I Les dérivées croisées sont définies comme :
∂2I
La matrice hessienne quand a elle est définie comme : ma-trice hessienne est ainsi symétrique à valeurs réelles et donc diagonalisable. Les travaux de Frangiet al. (Frangiet al. 1998) permettent la caractérisation de la structure locale d’une image à partir des valeurs propres de la matrice hessienne, λ1 etλ2, telles que|λ1| ≤ |λ2|.
Seules deux combinaisons de valeurs propres correspondent à des blobs, à savoir : lorsque λ1 etλ2 ont des amplitudes élevées et sont du même signe (négatif pour les blobs clairs sur fond sombre et positif pour les blobs sombres sur fond clair).
Frangi et al. proposent une fonction donnant la probabilité pour qu’un point soit le centre d’un blob qu’ils appellent blobness définie comme cela :
Rb = λ1
λ2
. (2.19)
Cela correspond à un maximum lorsque λ1 = λ2 et donc les élongations dans les deux directions principales sont égales correspondant à un blob idéal. Il existe d’autres expressions permettant de détecter des blobs en diagonalisant la matrice hessienne. Cependant, cette opération est coûteuse en temps de calcul et il serait donc intéressant de pouvoir se passer de celle-ci. Des méthodes n’employant pas de diagonalisation seront présentées dans la suite de cette partie.
2.2.2.2.1 Laplacien de gaussienne Posons tout d’abord la définition du laplacien∇2 =
∂2
L’expression 2.22 permet de lier l’estimation du Laplacien et la matrice hessienne. Cette expression permet également de mettre en avant le fait que∇2I =P2
i=1λiavecλiles valeurs propres deHI. Le laplacien étant une mesure de la courbure locale dans l’image ; un extrême du laplacien correspond à un blob dans l’image.
Les dérivées étant calculées à l’aide de noyau gaussien, cette mesure est appelée LoG pour «Laplacian of Gaussian» et c’est ce nom que nous utiliserons par la suite.
Les blobs sont caractérisés par deux valeurs propres de même signe et de forte amplitude.
Ceci permet donc de déterminer qu’aux endroits correspondant à un blob un extremum du laplacien sera atteint. Cependant, des structures linéiques pourront également fortement répondre au laplacien. Il faudra donc que ces points puissent être détectés et enlevés de l’ensemble des blobs candidats.
2.2.2.2.2 Maximum du déterminant de la matrice hessienne On peut remarquer que, dans le cas des blobs, le produit des valeurs propres est positif de forte amplitude.
Or, il est possible d’exprimer le déterminant en termes de valeur propre pour toute matrice A∈Rn×n diagonalisable :
detA= Yn
i=0
λi. (2.23)
Ainsi, le signe du déterminant de la matrice HI peut indiquer la structure locale d’une image, ceci est résumé dans le tableau 2.1.
Signe de detH interprétation
+ Blob
- Point col
Table 2.1 – Structure locale de l’image en fonction dedet(HI)
Le déterminant de la matrice hessienne peut ainsi permettre d’associer à chaque point un score correspondant à la probabilité pour celui-ci d’être le centre d’un blob. En effet, comme indiqué dans le tableau 2.1, seules les valeurs fortement positives représentent un blob. Les autres cas sont : une zone sans structure particulière lorsque le déterminant est proche de 0, ou un point-selle dans le cas où les courbures sont de signes différents.
Le gain de temps que permet l’utilisation du déterminant vient avec une contrepartie, à savoir, l’impossibilité de distinguer les blobs sombres des blobs clairs, ce qui aurait été possible en diagonalisant la matrice hessienne. Cette différenciation sera donc faite dans la description des points d’intérêt.
(a)
(b) (c)
Figure2.6 – a- image d’origine I, b-tr(HI)avec σ= 5, c- det(HI)
La figure 2.6 présente une comparaison des images fournies par tr(HI) et det(HI). La figure b présentant l’image tr(HI) où il est visible que des structures linéiques répondent fortement. Sur la figure c, représentant l’image det(HI) les points sont bien mieux définis que sur l’image b. Il est cependant remarquable que les blobs détectés soient tous de la même taille, directement liée à l’échelle de la gaussienne utilisée pour calculer les dérivées. Donc pour obtenir une méthode versatile, il est nécessaire d’inclure ces détections dans un espace d’échelle.