Dans [ZLF96], l'approche est plus calculatoire qu'analytique. La méthode consiste d'abord à prendre deux paires stéréoscopiques avec le même système stéréo, et à calculer à partir de correspondances de points les matrices fon- damentales liant les deux images droites entre elles, les deux images gauches entre elles, et les images droites aux images gauches (ce qui fait trois matrices fondamentales, Frr,FlletFrl). Ensuite, une estimée initiale des paramètres
extrinsèques et intrinsèques (sauf les coordonnées des points principaux de chacune des caméras, qui sont supposées connues) est calculée à partir de ces matrices fondamentales, en résolvant les équations dites de Kruppa [FLM92]. En n ces paramètres sont optimisés par une méthode de moindres carrés non- linéaires appliquée aux distances de chaque point image aux droites épipo- laires issues des autres caméras pour en n trouver les matrices de projection de chacune des caméras et le mouvement entre les deux prises de vue. Cette méthode utilise beaucoup de chemins détournés pour résoudre un problème simple, et passe notamment par la résolution des équations de Kruppa qui est réputée instable [Luo92].
Lorsque le mouvement du système entre les deux prises de vue stéréosco- piques est un vissage, Beardsley et al. ont montré qu'on pouvait unique- ment retrouver la structure a ne de l'espace 3-D, et ont présenté une appli- cation de ce résultat en robotique mobile pour la navigation [BZM94, BZ95].
1.5 Méthodes utilisées au cours des expériences
Lors de nos expérimentations sur des lentilles à distorsion faible (chapitre 4 et annexe B) nous avons utilisé les deux méthodes de calibrage hybride décrites 1.3.1, à partir du calibrage fort de [Rob95] couplé au calibrage faible de [ZDFL95]. Le calibrage fort utilise la mire de la gure A.3 page 119. Pour corriger la distorsion lorsque c'était nécessaire nous avons utilise [LT88] lorsque des données terrain (l'image d'une mire de calibrage p.ex.) étaient disponibles, dans tous les autres cas nous avons corrigé la distorsion à l'aide de [DF95a] sinon.
21
Chapitre 2
Recti cation des paires
d'images
Lewis Trondheim, Le Crabar de Mammouth
L
a rectificationlation puisqu'elle permet en eet de se ramener à une géométrie épi-est une étape importante de la stéréoscopie par corré- polaire simple, dans laquelle les droites épipolaires sont parallèles aux lignes des images. Après recti cation des deux images, les points se correspondant ont nécessairement la même ordonnée dans les deux images, et la recherche du point de la deuxième image correspondant à un point donné de la pre- mière image se limite donc à une recherche monodimensionelle le long d'une droite horizontale de la seconde image située à la même ordonnée, plutôt qu'une recherche bidimensionnelle dans une région de la seconde image. La recti cation est une transformation des paires d'images stéréoscopiques qui dépend uniquement de la géométrie du système stéréoscopique, c'est-à-dire du modèle et des paramètres des caméras ainsi que de leur position relative, et elle permet sans information a priori sur la scène observée de simpli er le processus de mise en correspondance.Nous nous limitons dans ce chapitre au cas d'un système stéréoscopique de caméras perspectives. Dans le cas ou les caméras comportent des distor-
sions non linéaires, on se ramène au modèle projectif linéaire (ou sténopé) par l'application de l'inverse de la fonction de distorsion de l'image (voir 1.2.4). Dans le cas d'autres types de capteurs, notamment des capteurs
((pushbroom ))[HG94], les mathématiques et les transformations des images
mises en jeu sont complètement diérentes.
Nous allons montrer que dans le cas d'un modèle de caméra perspec- tif linéaire, une manière simple de recti er une paire d'images consiste à appliquer une certaine transformation homographique à chacune des deux images. Nous verrons que l'ensemble des transformations homographiques permettant de recti er les deux images d'une paire stéréoscopique est une famille à neuf paramètres, et que le problème de la recti cation se résume donc à choisir la paire d'homographies qui convient le mieux pour l'appli- cation considérée (en ce qui nous concerne, la stéréoscopie par corrélation), en fonction de la géométrie des caméras, et nous tenterons d'en déduire une stratégie de choix de ces homographies de recti cation.
2.1 Le point de vue tridimensionnel
La technique la plus simple de recti cation dans le cas d'une paire sté- réoscopique prise avec des caméras projectives est de reprojeter les deux images des plans rétiniens Πr et Πr sur un même plan Π, dit (( plan de
recti cation)), parallèle à la droite(CC
) joignant les deux centres optiques
( gure 2.1) [Fau93, AH88]. Les centres optiques de chacune des images res- tant les mêmes, cette opération revient à appliquer une transformation bidi- mensionnelle à chacune des images et ne requiert aucune connaissance sur la géométrie de la scène observée. Puisque l'opération de reprojection du plan image est une projection linéaire, la transformation à eectuer sur chacune des images est une homographie.
Par cette transformation, on voit que les épipôles de chacune des images sont reprojetés à l'in ni dans les images recti ées, dans la direction de la droite (CC). On choisit cette direction comme droite des abscisses, et les
droites épipolaires sont donc horizontales.
Soit une paire d'images prises avec un système stéréoscopique de caméras sténopé, et soit la matrice fondamentale F associée. Une condition néces-
saire pour que deux points m et m se correspondent est qu'il satisfassent
la contrainte épipolaire, mTFm = 0. Lorsque la paire d'image est recti ée,
les droites épipolaires sont horizontales et deux points qui se correspondent ont nécessairement la même ordonnée, pour préparer a la stéréoscopie par corrélation. La matrice fondamentale de la paire d'images recti ées, aussi appelée matrice fondamentale recti ée, a alors la forme:
00 00 −10
0 1 0
2.2. À PARTIR DE LA GÉOMÉTRIE ÉPIPOLAIRE 23