Méthodes de type front capturing

Décrire la surface et la paramétrer est facile lorsqu'elle est une partie du bord du maillageouencore décritepar des particules de type marqueurs. Maisonpeut aussi mo- déliser les surfaces libres sans pour autant devoir les localiser précisément à l'aide de la frontière d'unmaillage.Il est possible d'aborderlesproblèmes de mouvement de surfaces libres et d'interfaces de manière Eulérienne [17]. Pour cela, on considère un champ sca- laire qui évolue en fonction du temps grâce à une équation de transport et un champ de vitesse. Ces méthodes sont appelées capture d'interface. Contrairement aux méthodes d'interfacetracking,lacapture d'interfaceauneapproche globalequiconsidèrede façon Eulérienne tous les sous domaines présents dans un écoulement en même temps. Pour traiter le calcul des surfaces libres et des interfaces de façon Eulérienne, le domaine de calcul

Ω

est supposé xe aucours du temps.Parcontre, il est composé de plusieurs sous domaines qui eux ne sont pas xes et qui dépendent du temps. Alors que dans les mé- thodes d'interface tracking l'interface est suivie explicitement par les bords du maillage, celle-cipasse à travers les élémentsdu maillagedans les méthodes de capture d'interface (gure3.3).

Il reste maintenant à introduire une fonction servant à diérencier les sous domaines etàcapturer l'interface.Deux diérentes techniques permettentcela: leVolumeofFluid etla Level-Set.

3.2.2.1 Méthode Volume of Fluid

Plutôt que de suivre directement l'évolution de l'interface, les méthodes de type Vo- lume of Fluidsont basées sur la descriptionlocale de la phaseen présence.

On construit pour cela une fonction caractéristique

F (x, t)

, constante par élément et re- présentant le taux de remplissage de chaque élément (

1

lorsqu'il est entièrement rempli,

Figure3.3 Maillage avec une méthode Eulérienne

0

lorsqu'il est videetintermédiaires'ilest traversé). L'interface peut ensuite être recons- truite en suivant les isovaleurs de la fonction VoF. Cette méthode permet de prendre en comptede manièrenaturelleleschangements topologiquesd'interface tels quelesrecolle- mentsou séparations.

L'évolutionde lafonction VoF est décrite par une équation de transport:

∂F

∂t

+ u· ∇F = 0

avec

F

∈ [0, 1]

(3.2) Laconvectiondelafonction

F

constantepar élémentsefaitgrâceàuneméthodede type Galerkin discontinu, en résolvant la conservation des ux dans chaque élément, ce qui permet d'assurer par construction la conservation des phases en présence [3, 28]. Cette méthode est également inconditionnellement stable, ce qui la rend très robuste pour dé- crire des écoulements complexes.

Cependant, l'utilisationd'une fonction P0 ne permet pas de décrire àchaque instant et de manière exacte la position de l'interface. Les élémentscontenant des valeurs inter- médiaires de la fonction VoF deviennent de plus en plus nombreux à chaque incrément, ce quicréeune grandediusionnumériqueetperturbelerésultatnal.Pour limitercette diusion, on peut avoir recours à des méthodes d'adaptation de maillage autourde l'in- terface [6].

Bien que la robustesse de cette méthode soit un atout indéniable, ce dernier incon- vénient ne permet pas de décrire de manière réaliste un écoulement complexe et sur un grand nombre d'incréments, commele montre lagure 3.4.

Figure 3.4  Ecroulement de barrage avec méthode Volume of Fluid et adaptation de maillageanisotrope[11]

3.2.2.2 Méthode Level-Set

La méthode Level-Set a été initialement développée en 88 par [26] pour décrire la propagation de fronts de amme. Elle a ensuite été élargie aux écoulements multiuides et améliorée par de nombreux auteurs [10, 27, 31]. La fonction utilisée par la méthode level-set,contrairementàlafonction VoF qui est liéeà chaque phaseen présence, est liée directement àl'interface:elleest déniesur chaquen÷uddu domainecommeladistance signée à l'interface (positive à l'intérieur du domaine et négative à l'extérieur). A partir de cette fonction continue, linéaire par élément, onpeut reconstruire à tout instant l'in- terface comme l'isosurface de valeur

0

. Celle-ci est décrite de manière exacte et permet de délimiterdistinctement deux domaines sans aucune diusion numérique. Lecaractère régulier de cette fonction la rend également intéressante pour traîter numériquement de nombreux phénomènes proches de l'interface.

DemêmequelafonctionVoF, lafonctionlevel-setest transportéeviauneéquationde convectionpure,cette méthode permetdonc égalementde prendreen comptede manière naturelleleschangements topologiquestels queles recouvrementsou lesséparations.Ce- pendant,larésolutionde l'équationde transportn'estpas aussisimplequelaprécédente, étantdonnéquelafonction est déniesurlesn÷uds du domainesetnon leséléments.Le caractèrehyperboliquede l'équationlarenddicileàrésoudrepar uneméthode Galerkin standard, il fautpour cela utiliser une stabilisation adaptée [15].

Unautre inconvénientinitialde la méthode level-set était ladétérioration de ses pro- priétésalgébriqueslorsque celle-ciesttransportéedansunécoulementcomplexetelqu'un écoulementturbulent. Cettedétérioration altèred'une part lastabilité de la méthode, et empêche l'utilisationde ses particularitésintéressantes. Il est alors nécessaire d'eectuer une réinitialisation de la fonction grâce aux équations de Hamilton-Jacobi qui lui per- mettent de retrouver un caractère régulier.

Denombreusesaméliorations,tantsurlarésolutiondutransport,delaréinitialisation, que sur la forme de la fonction, ont permis de rendre la méthode stable, peu coûteuse, et facile à implémenter. Ces diérentes améliorations, ainsi que la possibilité de pouvoir décrire de manière exacte l'interface en font une méthode intéressante et ecace pour décrire de nombreux phénomènes multiphasiques [40, 41], de fronts instables [17], de so- lidication[39, 30,34, 18]ouencore d'écoulements turbulents.

vvitesse donné. Cependant, bien que cette équation soitexactement

3.2.2.3 Méthode VoF-LS

Il existe également une méthode mixte VoF/Level-Set, développée par Sussman et al [32]ayantpourbutdecompenserlapertedemasseinduiteparlafonctionLevel-Setgrâce

VoFetunefonctionLevel-Set,lafonctionLevel-Set transportéeest ensuitecorrigéeselon lafonction VoF transportée.On reconstruitaprès la nouvelle fonctionVoF àpartir de la Level-Set corrigée

Bien que cette méthode permette de corriger la conservation liées aux erreurs lors de la résolution de l'équation de transport, elle n'évite pas les pertes liées à la situation représentée gure3.5.Cetteméthoden'estdepluspasavantageuseauniveaudutempsde calculétantdonnée qu'ellerequiert larésolution du transportVoF ainsique dutransport Level-Set.

Dans le document Éléments finis stabilisés pour le remplissage en fonderie à haut Reynolds (Page 46-50)