Méthodes rigoureuses

Les méthodes basées sur la théorie rigoureuse de l’électromagnétisme reposent sur les

équations de Maxwell [I.14]. Elles sont qualifiées de rigoureuses car elles résolvent les

équations de Maxwell (sous forme intégrale ou différentielle) sans introduire

d’approximation sur celles-ci. Elles sont destinées à l’analyse de dispositifs hyperfréquences

ayant pour dimensions dans certains cas quelques dizaines de fois la longueur d’onde de

travail.

La complexité de ces équations ne permet pas, en général de fournir une solution

analytique pour un problème donné. On a alors recours à des méthodes numériques [I.15]

permettant de résoudre les formulations intégrales, ou différentielles par un échantillonnage

de l’espace, et du temps dans le cas des méthodes temporelles. Pour atteindre un niveau de

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

22

convergence suffisant, cet échantillonnage doit s’effectuer avec un pas spatial et temporel

suffisamment fin (dans le cas des méthodes temporelles), ce qui limite rapidement la

dimension spatiale des structures pouvant être analysées de cette manière, car le volume de

calcul augmente de manière exponentielle. La résolution numérique doit donc s’effectuer dans

un domaine borné qui nécessite de définir des conditions aux limites (aux frontières). Par

conséquent, ces méthodes sont bien adaptées à la résolution de problèmes en zone de champ

proche et à des structures électriquement petites.

Deux approches fondamentales peuvent être utilisées pour résoudre les équations de

Maxwell. D’une part, si l’opérateur est différentiel, la procédure numérique s’applique alors

aux champs qui existent dans tout l’espace de calcul ; on parle alors de méthode volumique.

On voit ici poindre la difficulté avec ce type de formulation lorsqu’elle s’appliquera aux

problèmes ouverts sur l’espace libre dans lequel les champs s’étendent théoriquement jusqu’à

l’infini. En effet, le domaine de validité des méthodes basées sur un échantillonnage, ne peut

être considéré que pour une région finie de l’espace. On aborde les structures ouvertes en

introduisant des conditions aux limites absorbantes qui simulent l’espace libre. D’autre part, si

l’opérateur est intégral, la procédure numérique s’applique aux champs qui existent à la

surface de la structure étudiée ; on parle ici de méthode surfacique. Le champ en tout point de

l’espace pourra être déduit à partir de la connaissance des champs de surface.

Ces deux approches trouvent leurs équivalents dans les domaines temporel et

fréquentiel. Le choix des inconnues impose le type d’échantillonnage. Si ce sont les champs

électromagnétiques ⃗ et ⃗⃗ ou les courants , l’échantillonnage sera volumique et surfacique

respectivement. La procédure numérique s’applique uniquement sur le domaine de calcul.

Ces méthodes fournissent un système d’équations linéaires ou non qu’il faut résoudre et

dont le nombre d’équations augmente lorsque la structure est de grande dimension. De plus

les méthodes temporelles nécessitent de diminuer le pas temporel pour satisfaire leur

condition de stabilité, ce qui a pour conséquence d’augmenter le temps de calcul.

V.2.1. Modélisation d’une prise de terre

Dans la littérature plusieurs approches numériques sont rencontrées pour la

modélisation d’une prise de terre :

 L’approche par circuit électrique ;

 L’approche par champ électromagnétique (MoM, FEM et FDM);

 L’approche hybride ;

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

23

 L’approche par ligne de transmission.

Dans ce sous paragraphe nous présentons un aperçu sur les approches circuit et

électromagnétique (résolution d’une équation intégrale par la méthode des

moments « MoM », résolution des équations aux dérivées partielles par la méthode des

éléments finis « FEM »).

Pour exposer ces différentes modélisations, nous présentons en figure I.11 la

configuration générale de notre problème. Il s’agit d’une grille de mise à la terre enterrée dans

un sol de conductivité finie ; la grille est un ensemble de conducteurs en cuivre de forme

carrée ou rectangulaire.

Figure I.11. Exemple d’une prise de terre (grille).

Dans les deuxième et troisième chapitres de cette thèse nous présentons respectivement

l’approche complète par champ électromagnétique basée sur la résolution des équations de

Maxwell par les différences finies et son application à une grille de mise à la terre dans un sol

stratifié (notre première contribution) puis nous développerons notre deuxième contribution

élaborée à partir de l’approche des lignes de transmission.

V.2.1.1. Approche par circuits électriques

Un des modèles numériques souvent utilisés pour modéliser le comportement transitoire

des systèmes de mise à la terre ayant des géométries complexes est basé sur une approche par

des circuits électriques, développée pour la première fois par Meliopoulos et.al en 1983 [I.16].

Les principales étapes de ce modèle sont les suivants :

 Diviser le système de mise à la terre en plusieurs segments finis.

 Créer le circuit à constantes localisées équivalent pour chaque segment et calculer ses

paramètres, tels que l'auto-inductance , la capacitance , la conductance et la

résistance interne ;

ℎ

𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆𝒔𝒐𝒍−𝒂𝒊𝒓 𝒂𝒊𝒓: 𝜺

_𝟎

,𝝁

_𝟎

𝒔𝒐𝒍: 𝝆,𝜺

_𝒓

,𝝁

_𝒓

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

24

 Résoudre les équations nodales du circuit équivalent qui représente l'ensemble du

système de mise à la terre sur la base des lois de Kirchhoff. Les équations nodales

peuvent se présenter sous différentes formes en fonction du circuit équivalent du

système de mise à la terre adopté.

Dans cette approche, pour chaque segment on utilise des paramètres linéiques ( , ,

et ), indépendants de la fréquence, ils sont calculés à partir de l'équation de Laplace

( ( , , ) ) dans le milieu semi-infini de la terre. La partie intéressante de ce travail est

que chaque segment du fil de terre a été remplacé par une ligne de transmission sans perte

avec deux conductances shunt qui représentent les courants de fuites vers la terre comme le

montre la figure I.12 suivante :

Figure I.12. Circuit équivalent pour chaque segment de conducteur de terre par

l’approche des circuits.

L'équation nodal déduit à partir du circuit équivalent ci-dessus est donnée par l’équation I.3

[I.17] :

[ ][ ( )] [ ( )] + [ ( − )] (I.3)

Dans l'équation (I.3), [ ] est la matrice admittance nodale du circuit équivalent, [ ( )]

est le vecteur des tensions nodales à l'instant , [ ( )] est le vecteur de courant injecté au

niveau des nœuds du circuit et [ ( − )] est le vecteur sources de courants fictives. Il se

trouve que le modèle décrit par Meliopoulos et.al. [I.16] pour la modélisation de la réponse

transitoire du système de mise à la terre est compatible avec la méthode de solution utilisée

par le programme EMTP (Transient Electromagnetic Analysis) [I.18]. Par conséquent, les

modèles des conducteurs de terre peuvent être facilement interfacés avec EMTP [I.18], ainsi,

l’addition d’un avantage d’étudier les performances transitoires des systèmes électriques de

grande taille (postes, lignes de transmissions, etc.).

Plus tard, comme une extension du travail en [I.16], Meliopoulos et al, ont amélioré

[I.19] leur approche du circuit du système de mise à la terre pour les études de l’impact de la

foudre en calculant la réponse de chaque segment par apport au courant d'excitation par les

équations quasi-statiques de Maxwell [I.19], de sorte que les paramètres de chaque segment

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

25

dépendent de la fréquence. Une technique de convolution récursive a été utilisée pour faire

face au problème de la dépendance fréquentielle des paramètres.

En 1989, Ramamoorthy et al ont développé une approche simplifiée par circuit pour une

grille de mise à la terre [I.20]. Dans leur approche, après avoir divisé l'ensemble du système

de mise à la terre en segments, chacun a été présenté par un circuit localisé avec une

auto-inductance , une inductance mutuelle et une conductance qui représente les

courants de fuites vers la terre, Par conséquent, l'équation nodal du circuit équivalent du

système de mise à la terre est donnée par :

[ ]

^{[ ] {}

[ ]

^{− [ ]} [ ]} _(I.4)

En (I.4), [ ] est le vecteur de tension nodale, [ ] est le vecteur de courant nodal

injecté, [ ] est la matrice conductance nodal, [ ] est la matrice inductance nodal. Même si ce

modèle néglige le couplage capacitif, il est encore assez robuste pour l'analyse transitoire des

systèmes de mise à la terre dans des sols à faible résistivité [I.20].

Figure I.13. Circuit équivalent pour une mise à la terre carré.

L’Approche par Circuit est facile à comprendre dans le sens que le comportement

transitoire des systèmes de mise à la terre à géométries complexes peut se transformé en une

analyse transitoire simple d’un circuit électrique équivalent. Cette transformation rend le

problème plus observable. L’Approche par circuit peut facilement intégrer les phénomènes

d'ionisation du sol lors de l’injection de gros courant [I.21]. Le principal inconvénient de cette

approche est qu'elle ne peut pas prédire le retard de propagation.

V.2.1.2. L’Approche par champ électromagnétique

L’Approche par champ électromagnétique est la méthode la plus rigoureuse pour la

modélisation du comportement transitoire du système de mise à la terre, car elle résout les

équations de Maxwell avec un minimum d’approximations. Cette approche peut être mise en

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

26

œuvre soit par la méthode des moments (MoM) , par méthode des éléments finis (FEM). ou

bien par la méthode des différences finies (FDM) [I.12].

Le modèle utilisé pour l’analyse du comportement transitoire des systèmes de mise à la

terre basé sur la méthode des moments (MoM) a été développé pour la première fois par

Grcev [I.22], [I.23]. La figure I.14 illustre deux segments de conducteurs d’une mise à la

terre située dans un milieu conducteur et infini.

Figure I.14. Configuration de l’Interaction entre deux segments.

Pour une structure enterrée (Figure I.11), cette méthode commence à partir de l’équation

intégrale en champ électrique suivante [I.22]:

⃗⃗⃗⃗ _̇( − ) ∫ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ) ( , ) ^⃗⃗⃗ (I.5)

( , ) ( , ) + ( , ) + ( , ) (I.6)

Dans l'équation (I.5), ^⃗⃗⃗⃗ est le champ électrique total dispersé le long de la surface du

conducteur. ( ⃗⃗ ⃗⃗ ( )) est le courant circulant le long du conducteur. L’équation (I.5) est

l’équation intégrale en champ électrique ; sa résolution par la méthode numérique dite des

moments [I.23] donne la distribution axiale du courant recherché ( ).

̇ +

^{la permittivité électrique complexe du milieu,} ( + ) est la

constante de propagation de l'onde dans le milieu avec , et sont la conductivité, la

permittivité et la perméabilité, respectivement. ( , ) est la fonction de Green complète.

( , ) et ( , ) sont des fonctions dyadiques de Green pour le champ électrique au point

due à l’élément de courant et de son image [I.24] comme il est montré en figure I.15; ( , )

est un terme de correction (exprimé en termes d'intégrales de Sommerfeld [I.25]) qui permet

Segment "𝒎"

𝒕

Segment "𝒏"

S

𝒕

⃗⃗

l

0

𝒓

⃗

𝒓

⃗⃗⃗

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

27

de tenir compte de la conductivité finie du sol, ce qui est nécessaire pour la solution complète

de l’équation en champ électrique.

( , ) [ ( ⃗⃗ ⃗⃗ )( ⃗⃗ ) − ⃗⃗ ] ( , ) _(I.7)

avec :

( , ) _{| |} (− | − |): fonction de Green pour un espace infini.

Figure I.15. Elément de courant et son image.

Sur la surface du conducteur de terre de conductivité finie (avec pertes), le champ

électrique longitudinal doit satisfaire l'équation (I.8) :

( ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ ) (I.8)

Dans l’équation (I.8), ^⃗⃗⃗ est le champ électrique incident. est l’impédance de surface

du conducteur de terre par unité de longueur qui tient compte de l’effet de peau [I.24].

Il n’existe pas de solution analytique de l’équation (I.5) et seule une approche

numérique transformant l’équation intégrale en un système algébrique linéaire a inconnus,

qui représentent les courants sur chaque segment est possible. La méthode de résolution la

plus usuelle est la méthode des moments (MoM) [I.23]. L’intégration de l’équation en champ

électrique est réalisée par la méthode projective de Galerkine [I.26]. Une simplification de

cette intégration est réalisée en utilisant la méthode dite point-matching [I.27] (les fonctions

poids sont des impulsions de Dirac). La première étape dans ce concept consiste à calculer la

répartition des courants après construction d’un système matriciel à partir de l’équation

intégrale en champ électrique.

𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆𝒔𝒐𝒍−𝒂𝒊𝒓

𝒓

𝒔𝒐𝒍

𝒔𝒐𝒖𝒓𝒄𝒆

𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆

𝒛

𝟎

𝒓

𝑹

𝒉

𝒂𝒊𝒓

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

28

Pour une structure métallique enterrée et excitée par un générateur de courant en un de

ses points (segment 1), nous avons alors :

(le courant source), qui nous conduit alors au système à équations et −

inconnues (courants dans les segments 2 à ) [I.22] :

[

][ ] ^{[ ]}

(I.9)

Une fois les impédances déterminées [I.22], la distribution du courant est calculée

simplement en résolvant le système matriciel (I.9).

Si les courants sources pour l’ensemble des segments des conducteurs de terre sont

connus, le champ électrique au voisinage de la mise à la terre et le courant de fuite dans le sol

peuvent être aisément calculés en utilisant les équations fondamentales liant la source et le

milieu. Le potentiel électrique en différent point de la surface du conducteur est calculé par

intégration de la composante normale du champ électrique à partir du point sur la surface du

conducteur de terre au point du sol distant. Aussi, l’IFFT est utilisé pour obtenir une réponse

dans le domaine temporel. L’approche champ électromagnétique basée sur la méthode de

moment qui résout les équations de Maxwell complètes dans le domaine de fréquence est à

hypothèses minimales. En conséquence, cette approche est considéré comme très précise et

plus la fréquence des sources d'entrées est grande et plus la précision du champ

électromagnétique est haute. Un avantage majeur aussi étant celui du maillage uniquement de

la structure métallique.

Toutefois, ce modèle est trop complexe pour être mis en œuvre car nécessitant

l’utilisation des intégrales de Sommerfeld [I.28] dont le calcul n’est possible que

numériquement. En outre, lorsque la structure de mise à la terre est grande, le temps de calcul

est très grand. Un autre inconvénient de l'approche du champ électromagnétique est que, en

raison de sa procédure, elle ne peut pas être facilement modifiée pour inclure la non-linéarité

qui intervient lors de l'ionisation des sols. Enfin, les passages temps-fréquence et inversement

par transformée de Fourier pour l’analyse du comportement transitoire d’une prise de terre

peuvent conduire à des résultats erronés lorsque la fréquence maximale est mal choisie [I.22].

Une autre approche par champ électromagnétique utilisée pour l'analyse transitoire des

systèmes de mise à la terre a été développée pour la première fois par B. Nekhoul et al [I.29],

[I.30]. Cette modélisation est élaborée en utilisant la méthode numérique des éléments finis.

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

29

L’analyse du dispositif électromagnétique en figure I.11, montre que celui-ci est composé de

l’air et de milieux conducteurs (sol et conducteurs de terre en cuivre).

A partir des équations générales de l’électromagnétisme, il est possible de déduire des

modèles (formulations) faisant appel au potentiel électrique ainsi qu’au potentiel vecteur

magnétique [I.29]. Pour un milieu conducteur (sol et conducteur de terre) avec prise en

compte des courants induits nous avons la formulation dite ( − ) :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + ( ^⃗⃗ + ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} )+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ^⃗⃗ (I.10)

( ^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗} + ⃗⃗ ) (I.11)

Pour un milieu non conducteur (l’air) avec source de courant nous avons la formulation

dite en :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) (I.12)

L’application de la méthode de Galerkine [I.26] aux équations (I.10, I.11, I.12) et

diverses manipulations de l’analyse vectorielle permettent d’exprimer ces dernières avec des

fonctions poids. Ces équations ainsi exprimées sont utilisées pour déduire un système

d’équations en utilisant la méthode des éléments finis.

Dans l’approximation des éléments finis [I.31], le domaine à étudier est discrétisé en

éléments (volumique, surfacique et linéique). C’est une méthode générale qui s'applique à la

majorité des problèmes rencontrés dans la pratique : problèmes stationnaires ou dépendant

du temps, linéaires ou non, définis dans un domaine géométrique quelconque à une, deux ou

trois dimensions. En plus, elle s'adapte bien aux milieux hétérogènes.

Globalement, les équations de Maxwell écrites sous forme d’équations aux dérivées

partielles peuvent être résolues dans les domaines temporels et fréquentiels par une méthode

d’éléments finis [I.31], [I.32]. Le principe de cette méthode est de rechercher la solution du

système de Maxwell dans un espace de fonctions vérifiant les propriétés et la régularité du

champ électromagnétique, notamment des espaces fonctionnels, sur lesquels le rationnel ainsi

que les valeurs des champs sur le bord de l’espace sont définis.

La modélisation électromagnétique proposée par B. Nekhoul et al [I.29] et [I.30]. Offre

l’avantage de la prise en compte de l’ionisation du sol. Dans cette modélisation la prise en

compte des frontières ouvertes est réalisée moyennant l’utilisation d’une transformation dite

de l’infini. Cette modélisation fréquentielle, certes rigoureuse mais reste difficile à mettre en

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

30

œuvre et conduit à des systèmes matricielles de très grandes dimensions car nécessitant un

maillage volumique des différentes régions (air, sol et conducteur) et en chaque nœud nous

avons quatre (sol et conducteur de terre) ou trois (air) inconnues ; aussi un mauvais

conditionnement du système matriciel, à l’origine le saut de conductivité entre le sol et les

conducteur en cuivre, peut affecter la qualité de la solution [I.29]. Les passages

temps-fréquence et inversement nécessitent aussi l’utilisation de la transformée de Fourier.

Chapitre I : la prise de terre : notions et approches numériques

31

Références bibliographiques chapitre I

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