Nous allons ici détailler rapidement les méthodes numériques utilisées pour effectuer nos simu- lations. Tous nos programmes ont été rédigés en Fortran 77/90 et du code Python a parfois été rédigé pour traiter les données. Nos calculs sont effectués sur un cluster de calcul Linux de 21 noeuds Xeon pour un total de 160 coeurs. Nous allons voir dans un premier temps les méthodes d’intégrations employées : la méthode d’intégration de la dynamique et la méthode d’intégration utilisée pour obtenir la fonction perturbatrice. Dans un deuxième temps nous nous pencherons sur la structure du programme utilisé pour itérer l’application.
2.3.1 L’intégration
Dans ces études concernant les comètes nous avons eu recours à des méthodes d’intégrations numériques tout à fait standard. Pour l’intégration numérique des équations du mouvement, nous avons employé une méthode Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4).
Méthode Runge-Kutta
Soit un système d’équation du type problème de Cauchy. Pour plus de simplicité nous écrirons le système avec une unique équation y(t) mais le raisonnement serait en tout point identique avec un système de N équations différentielles.
˙y = f (y, t) (2.21)
En effectuant une discrétisation du temps, il est possible d’approcher la valeur de la fonction y(t) au temps tn+1 en utilisant un développement de Taylor.
y(tn+1) ' y(tn) + τ f (y, t) (2.22)
où τ est le pas de discrétisation du problème. On obtient ainsi une méthode d’intégration de la fonction y(t) appelée méthode d’Euler qui est d’ordre 1 en τ .
La méthode Runge-Kutta vise à améliorer l’ordre d’intégration en effectuant des pas inter- médiaires à l’intérieur du pas τ . Ici nous nous intéressons à la méthode RK4 qui nous donne une méthode d’intégration à l’ordre4 en τ . L’obtention de la formule analogue à l’équation 2.22 est un peu fastidieuse, nous écrirons seulement le résultat
y(tn+1) ' y(tn) + 1
La dynamique chaotique des comètes p. 47 avec : k1 = τ f (tn, y(tn)) k2 = τ f tn+ 1 2τ, y(tn) + 1 2k1 k3 = τ f tn+ 1 2τ, y(tn) + 1 2k2 k4 = τ f (tn+ τ, y(tn) + k3)
On peut justifier l’emploi de cette méthode par le fait que nous sommes intéressés à un temps relativement court. Pour les temps d’intégration plus longs, une méthode symplectique est requise. Avec la méthode RK4 l’énergie a tendance à subir une dérive numérique due à l’accumulation des erreurs. Notons simplement que certain type d’intégrateur évite ce problème. Par exemle, au cours d’autres études que nous n’évoquerons pas dans cette thèse, nous avons utilisé des intégrateurs de type symplectique. Citons par exemple l’intégrateur à l’ordre6 de Yoshida [95].
Pour l’intégration de la fonction perturbatrice, lorsque nous prenons pour orbite osculatrice une ellipse, nous devons déterminer l’anomalie excentrique E dans l’équation de Kepler (2.18). Cette équation étant transcendantale nous avons employé une méthode de Newton-Raphson pour la résoudre.
Méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton-Raphson se base sur un développement de Taylor à l’ordre 1 de la fonction y(x) dont on cherche la racine. Pour ce faire, on choisit un point x0 de départ et on effectue le développement de Taylor à l’ordre 1 autour de ce point, on obtient
y(x) ' y(x0) + dy
dx(x − x0) (2.24)
qui n’est autre que la tangente de la fonction au point x0. On cherche ensuite y(x) = 0. Une fois ce point trouvé, on l’appellera x1. On réitère le processus avec pour point de départ le point x1. En itérant ce processus n fois, le point xn convergera vers la racine de la fonction y(x). Le processus itératif prendra donc la forme
xn+1= xn− y(xn) y0(x
n)
(2.25) où y0(xn) = dydx |x=xn. Dans notre cas l’équation à évaluer pour le cas elliptique sera a
3/2t − E+ esin(E) = 0 où a est le demi-grand axe de l’ellipse.
Après avoir effectué la méthode Newton-Raphson (ou utilisé l’équation (2.15) pour le cas parabolique) afin d’obtenir la position et la vitesse de la particule sur son orbite osculatrice, nous avons intégré numériquement l’équation (2.12) avec une méthode de Simpson.
Méthode de Simpson
L’intégrale d’une fonction peut être réalisée numériquement par la méthode des trapèzes. Cette méthode permet, en choisissant un pas d’intégration h, de réaliser une intégrale entre deux points proches de la fonction en assimilant l’aire sous la courbe à l’aire d’un trapèze.
Z x2 x1 y(x)dx = h 1 2y(x1) + 1 2y(x2) + O(h3) (2.26)
La somme de l’ensemble des trapèzes nous donne l’intégrale de la fonction sur la plage de x désirée. Cette méthode comporte l’inconvénient d’avoir une erreur d’ordre3 en h. La méthode de Simpson
La dynamique chaotique des comètes p. 48
suit simplement une autre règle d’intégration à trois points de la forme Z x3 x1 y(x)dx = h 1 3y(x1) + 4 3y(x2) + 1 3y(x3) + O(h5) (2.27)
où cette fois l’erreur est d’ordre5 en h. En fait cet algorithme peut être vu comme une succession d’application de la méthode du trapèze. Pour plus de détails voir [77].
Les deux techniques d’intégrations précédentes nous permettent d’obtenir la fonction F(x) par deux méthodes différentes. Ces deux méthodes seront détaillées dans la section concernant nos résultats numériques. La méthode Runge-Kutta nous permet aussi d’obtenir une simulation au temps court de la dynamique de la comète. Cela montrera les limites de la méthode d’itération de l’application symplectique. L’intégration dévoile en effet des phénomènes non pris en compte dans la fonction perturbatrice qui encode l’interaction à trois corps.
2.3.2 L’itération
Pour réaliser la méthode d’itération, les résultats obtenus par intégration numérique ont été ajustés. Pour cela nous avons ajusté F(x), obtenue en utilisant une méthode des moindres carrés avec une série de Fourier. La fonction perturbatrice doit être périodique. En effet, lorsque le binaire retourne à sa position d’origine après une rotation, la fonction F(x) est identique. L’ajus- tement par une série de Fourier semble, par conséquent, tout à fait adéquat. Pour ce faire, nous avons réalisé un script Scilab pour ajuster la courbe.
Nous avons ensuite itéré l’application dont les résultats nous ont révélé la section de Poincaré en énergie en phase de rotation du couple Soleil-Jupiter. Le pseudo-code du programme utilisé est visible sur la Figure 2.6. Plusieurs conditions initiales sont injectées dans la section, en prenant soin de toujours rester en deçà de la dernière courbe invariante de KAM ainsi qu’a l’extérieur des îlots de stabilité. Les conditions initiales de la comète(w0, x0) sont par conséquent toujours injectées dans la mer chaotique. Une injection dans l’un des îlots de KAM ou au dessus de la courbe invariante de KAM aurait un comportement périodique qui empêcherait toute sortie. Nous laissons ensuite le programme itérer un nouveau wn et un nouveau xn. Nous considérons que la comète est éjectée du système lorsque w <0. En effet, dans ces conditions son énergie E est positive et la comète passe d’une orbite elliptique à une orbite hyperbolique. Ceci constitue l’arrêt de la dynamique et l’injection d’une nouvelle particule.