Méthodes heuristiques

Contrairementà

1BP

pourlequelontrouveessentiellementdesalgorithmesave garantie de performan e (voir [22,24,25℄), les méthodes proposées pour

2BP

sont en généraldes heuristiques. Pour une synthèse très omplète des travauxréalisés en une dimension,seréférer auxtravauxde Comanetal.[23℄.Lele teurintéressépar les s hémas d'approximation peut étudier les travaux de Sleator [56℄ et Zhang [58℄ pour

2BP

,et de Golan [38℄ pour le problème à orientation variable.

Au ours de la présente thèse, nous avons essentiellement travaillésur des mé- thodes exa tes pour

2BP

. Pour ette raison, nous n'utilisons que les heuristiques qui fournissent de bons résultats en pratique, même si elles n'ont pas de garantie de performan e. Elles peuvent être divisées en deux atégories : les méthodes en une ouen deux phase(s).Nous ommençonspardé rirequelques appro hes endeux phases qui permettent l'adaptation de résultatsobtenus pour le problème de strip- pa king

2SP

.Nous présentons ensuite quelques méthodes lassiques en une phase. Des synthèses omplètes sur le sujetont été réaliséespar Lodiet al.[47,49℄, nous y ajoutons lesrésultats obtenus plus ré emment par Bos hetti etMingozzi [8℄.

Pour améliorerla ompréhension, nous dé rivons aupréalable deux algorithmes lassiquesutiliséspour

1BP

,quisontsoitgénéraliséspour

2BP

,soitutilisés omme sous-routine dansdes algorithmesdédiésau

2BP

. L'algorithmeFirst Fit De rea- sing fon tionne de la manière suivante : les arti les

ai

sont onsidérés dans l'ordre dé roissantde leurlongueur

ci

.A haqueétape

i

,l'algorithmepla el'arti le

ai

dans lepremierbinquipeutl'a ueillir.L'algorithmeBestFitDe reasingfon tionnede manièresimilaire:laseule diéren erésidedans le hoixdubin danslequel l'arti le ourant est pla é.On utilise ette fois le bin leplus rempli qui puisse l'a ueillir.

1.4.1 Méthodes en deux phases

Les méthodes en deux phases fon tionnent de la manière suivante. Dans un premier temps, on her he une solution pour le problème de strip-pa king

2SP

suivant : l'ensemble des arti les est l'ensemble original

A

, et la largeur du bin est

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 6 7 4 5

Figure 1.7Méthode heuristique endeux phases

égale à

W

.On détermine unesolution pour leproblème

2BP

originalen dé oupant la bande obtenue en bins de hauteur

H

. Les méthodes qui suivent dièrent par les algorithmes utilisés dans les deux phases. La Figure 1.7 est une illustration du on ept de méthode en deux phases. La partie gau he de la gure représente la solutionpourleproblèmede strip-pa kinggénéréetlapartiedroitelasolutionpour

2BP

obtenue enrangeant lesbandes rééesdans des bins.Danslamajoritédes as, lepremieralgorithme rangelesarti lespar niveaux. Lorsqu'unarti le

ai

est rangéà gau he sur une nouvelle ordonnée

yi

, on her he à ranger les arti les suivants dans labandehorizontalesituéeentre

yi

et

yi+ hi

.Cetteméthodepermetde negérerque des bandes de largeur

W

etde hauteur variabledans la deuxièmeétape, etdon de pouvoirle traiter omme un

1BP

.

La méthode Hybrid Best Fit (

HBF

)aété proposée par Berkey etWang en 1987 [5℄. Au ours de lapremière phase, lastratégie Best Fit De reasing Height est employée :unarti leest pla éleplusàgau he auniveaudans lequelilvaminimiser l'espa e horizontal va ant. Si au un niveau ne peut le ontenir alors on en rée un nouveau. Au oursde ladeuxièmephase, 'est l'heuristiqueBest Fit De reasing qui est utilisée.On range leniveau ourant dansle bin qui peut le ontenir pour lequel l'espa e verti al va ant va être minimisé. On peut dénir la méthode Hybrid First Fit (

HF F

)de manièreéquivalenteen remplaçant Best Fit par First Fit.

Lodietal.[48℄ontproposéen 1998la méthode Floor-Ceiling(

F C

).Au ours de la première phase, la stratégie est la même que dans la méthode pré édente. Toutefois, lorsqu'un niveau est plein, on se permet de le retourner, é hangeant le haut et le bas, la gau he et la droite, puis de re ommen er à ranger des arti les à gau he. Au oursde ladeuxièmephase,l'algorithmeBest FitDe reasing est utilisé, ouunalgorithme exa tpour

1BP

.Lesmêmesauteursproposentaussi la méthode

1 2 3 4 7 6 5 8 Figure 1.8Heuristique FC

Knapsa k pa king (

KP

). Lorsqu'un niveau est initialisé,on le remplit en entier avantdepasserausuivant.Pour e faire,onrangeleplusgrandarti lerestanteton remplitaumaximumleniveau rééàl'aidedel'algorithmederésolutiondusa -à-dos en une dimension

1KP

,qui a une omplexitépseudo-polynomialede

O(W n)

.

1.4.2 Méthodes en une phase

Lesméthodesen unephase onsistentàrangerlesarti lesitérativementdans les bins. Deuxrèglessontàdénir:l'ordredanslequellesarti lessontexaminés,lebin et laposition dans laquelle on her he àles pla er en priorité.

Une des méthodes les plus naturelles onsiste à généraliser l'algorithme las- sique dédié au

1BP

First Fit De reasing. Cette méthode fon tionne de la manière suivante : on onsidère les arti les par ordre dé roissant de surfa e, et on her he toujours à pla er l'arti le ourant le plus en bas - à gau he possible dans le bin. On parle de l'algorithme bottom-left de reasing. Chazelle [15℄ en a proposé une implantatione a e.

Berkey etWang [5℄proposenteuxaussiune généralisationdel'algorithmeFirst- Fit qu'ils nomment Finite First Fit (

F F F

). Celle- i utilise un rangement en niveau omme les algorithmes en deux phases. L'algorithme range les arti les dans le premierniveau qui peut les ontenir.

Alternate Dire tions (

AD

) [48℄ est pro he de la méthode FC qui fon tionne en deux phases. Ce nouvel algorithme s'initialise ave

LB(A)

bins, où

LB(A)

est une borne inférieure pour le nombre de bins né essaires au rangement des arti les de

A

. Il ommen e par pla er en bas de es bins des arti les selon la règle BFD (Best Fit De reasing).Les arti les restants sont rangés un par un en bandes allant alternativementde gau he àdroite etde droite àgau he. Lorsqu'un arti lene peut être pla é dans au une dire tion dans le bin ourant, on l'ae te au pro hain bin initialisé ou on onstruit un nouveau bin. Les trois algorithmes de Lodi et al. [48℄ (

F C

,

KP

et

AD

) retournent de meilleurs résultats que Berkey et Wang sur les instan es de Berkey etWang ainsi que sur elles de Martello etVigo.

Bos hettietMingozzi[8℄proposentl'heuristiqueHBP.L'idéeestde onsidérer les arti les dans un ordre xé au préalable. Initialement, on ne onsidère qu'un seul bin. Quand on ne peut plus pla er au un arti le dans le bin ourant, on le

1 2 7 4 8 3 9 5 6 10 11 12

Figure1.9 Heuristique AlternateDire tions

répètel'opérationtantquetouslesarti lesne sontpasrangés.L'heuristiquedépend fortement de l'ordre dans lequel les arti les sont onsidérés. Pour ela, les auteurs proposent de relan er la méthode ave des ordres diérents. A haque itération, l'ordre est déterminé en fon tion d'un paramètre lié aux arti les, pondéré par une quantité aléatoire. Les ritères retenus sont les suivants : la surfa e, la hauteur, la largeur etle périmètre. La part de l'aléatoireest déterminéeau préalable.

Dans le document Bornes inférieures et méthodes exactes pour le problème de bin packing en deux dimensions avec orientation fixe (Page 30-33)