Améliorer la méthode lassique : LMAO

Nous proposons une amélioration de la méthode lassique qui évite un grand nombre de répétitions au ours de la pse. A haque n÷ud de l'arbre de re her he, notre méthode génère auplus

nk+ 1

ls,qui orrespondent aurangementdans une position unique des

nk

arti les restants, ainsi qu'à la possibilité de ne rien pla er à etteposition.Dans edernier as,la oordonnée orrespondanteneseraplusjamais utilisée.

Nousdé rivons maintenantnotreméthodeen détail.Nousdénissons le on ept de positions a tives et ina tives. Initialement, toutes les positions sont a tives. La position a tive la plus en bas à gau he est notée

c

. A haque n÷ud de l'arbre de re her he, l'algorithme teste la possibilité de ranger haque arti le à la position

c

. Dans e as, la possibilité de ne rien ranger à et endroit est aussi testée : on ne reviendra plus jamais sur ette position. Cette position est dite ina tive. Nous

Quandunarti le

ai

estrangéàlaposition

c = (x, y)

,lasurfa esituéeàlagau he de

ai

est supprimée. En eet, la possibilité de ranger un arti le dans ette position est énumérée dans une autre bran he de l'arbre. En pratique, un arti le fa ti e est réé et ajouté à gau he de

ai

: une nouvelle position a tive est réée à la position

yi

+ hi

. Lorsque et arti le fa ti e est ajouté, la surfa e totale des arti les peut devenir supérieure à elle du bin et onduire à une oupe dansl'arbre de re her he.

Dénition 4.1. Un ordre

LMAO

est une séquen e de hoix qui onduisent à une solution en suivantl'algorithme

LMAO

. Ilest omposédu hoixdu pro hain arti le

ai

à ranger dans la position dominante

c

:

(ai, c)

et du hoix de ne ranger au un arti le dans la position dominante :

c

.

La méthode

LMAO

a l'avantage de réduire le nombre d'ordres sur les arti les qui onduisent àlamême solution.Cetordre est unique pour une solutiondonnée : par exemple, la onguration de la Figure4.5 ne peut être atteinte que par l'ordre qui suit :

π = [(a1, (0, 0)), (a4, (0, 8)), (0, 9), (a2, (3, 0)), (3, 7), (a3, (5, 0))]

Proposition 4.5. Pour une onguration dominante

P

, il n'y a qu'un seul ordre

LMAO π

qui mène à

P

.

Démonstration. Soit

π1, π2

deux ordres

LMAO

distin tset

k

lepremierindi e pour lequel

π1(k) 6= π2(k)

. Comme les deux ongurations partielles obtenues avant l'étape

k

sont lesmêmes, deux as sont possibles.

1.

π1(k) = (ai, c)

et

π2(k) = (aj, c)

,

j 6= i

. Dans e as, l'arti le

ai

ne peut avoir la même position dans les deux ongurations obtenues ar

aj

est positionné à ette oordonnée si l'on suit l'ordre

LMAO π2

.

2.

π1(k) = c

et

π2(k) = (aj, c)

. Dans e as, la position

c

ne sera pas utilisée suivant l'ordre

π1

et l'arti le

aj

ne peut don pas être pla é en position

c

. Les ongurations obtenues ne peuvent pas être les mêmes.

Théorème 4.1.

LMAO

est une méthode valide pour le problème de faisabilité. Démonstration. Nousmontrons quepour toute onguration

P

énuméréepar

MV

, il existe un ordre

LMAO

qui mène à

P

. Comme

MV

est valide, le théorème est dire tementdémontré.

Soit

P

une ongurationobtenue par

MV

. Nous allons onstruire

π1

un nouvel ordre

MV

àpartirde

P

en séle tionnantitérativementl'arti lequiest rangédansla positionlaplusenbasàgau heàl'étape ourante.

π1

= [(a1, c1), (a2, c2), . . . , (an, cn)]

. A partir de

π1

, il est possible d'obtenir un ordre

LMAO π2

qui mène à

P

. Pour haque hoix

(ai, ck)

dans

π1

faitave

MV

,nousproposonsuneséquen e équivalente de dé isionspour

LMAO

.

1.

ck

est le oin leplus en bas à gau he. Le hoix

LMAO

onsisteaussi àranger l'arti le

ai

dans ette position.

2.

ck

n'est pas la position la plus en bas à gau he

cl

. Par onstru tion de

π1

, il n'existe pas d'arti le positionné en

ck

dans

P

. Le hoix

LMAO

onsiste à rendreina tifle oinbas gau he ourant tant qu'ilestdiérentde eluiutilisé par

MV

.Quandunepositionestdé laréeina tive, elasigniequ'ellen'estpas utiliséedans

P

,sansquoielleseraitégaleà

cl

.Ainsi,aprèsplusieursitérations, omme les deux ongurations ourantes sont les mêmes, la position

ck

est atteinte. 1 i ii 1 2 arti lefa ti e i' ii'

Figure 4.6Méthode LMAO

LaFigure4.6illustrelesdeuxprin ipesde

LMAO

.Lasituationgau he apparaît si au un arti le n'est pla é dans la position a tive dominante

i

: 'est la position

ii

quidevientdominante.Lasituationdroiteapparaîtsil'arti le

2

estrangéenposition

ii

. Un arti le fa ti e est inséré dans la surfa e située à gau he de l'arti le

2

. Une nouvellepositiona tive

i

′

est réée.

LMAO

et

MV

énumèrent le même ensemble de ongurations. Cependant, de nombreuses redondan es sont évitées ar toute onguration ne peut être atteinte que par un seul ordre

LMAO

.Quand une position

c

devientina tive,nous plaçons dire tementun arti le fa ti e de hauteur

1

à laposition

c

. Eneet, omme lataille des arti les est entière, quel quesoitl'arti le quivaentrer en interse tion ave

c

,la surfa e perduesera aumoins de hauteur

1

.

Dans le document Bornes inférieures et méthodes exactes pour le problème de bin packing en deux dimensions avec orientation fixe (Page 98-100)