2.2.1 Présentation de la méthode.
Cette catégorie de méthodes multi-échelles est la plus ancienne historiquement parlant, puisqu’elle comprend la première méthode multi-échelle, construite à par- tir d’une méthode d’Éléments Finis. Elle fut introduite par deux publications : tout d’abord Hou et Wu [120], qui présenta la méthode numérique ainsi que quelques exemples d’applications, puis Hou et al [121] qui en établit la convergence théo- rique.
Le principe de la méthode est relativement simple, puisqu’il s’agit de résoudre le problème grossier (2.1) par une méthode d’Éléments Finis d’ordre 1. Cependant, la base d’Éléments Finis (ΦI)
1≤I≤p n’est pas composée de fonctions analytiques,
mais à partir de solutions de problèmes de cellules.
Sur chaque macroélément K ∈ TH(Ω), on résout donc :
−∇ · (D∇ΦIK) = 0 (2.3)
Le problème (2.3) nécessite des conditions aux limites sur∂K pour être bien posé. On choisit d’imposer àΦI
K d’être linéaire sur∂K, et de prendre pour valeur
1 en le noeud I, et 0 aux autres noeuds. Ces problèmes sont résolus numérique- ment sur des maillages fins Th(K). La fonctionΦIest ensuite définie morceaux par
morceaux à partir des fonctionsΦI
K correspondantes. Dans le cas d’une discrétisa-
tion grossière en rectangle, on doit ainsi résoudre quatre problèmes de cellules par noeud du maillage TH(Ω).
Une fois la famille (ΦI)
1≤I≤pobtenue, on peut assembler la méthode d’Éléments
Finis. Si on s’affranchit des conditions aux limites du problème général (2.1), on a : VH=Vect{(ΦI)1≤I≤p} (2.4) B(uH,vH) = Z ΩD∇uH· ∇vH (2.5) a(vh) = Z Ωf vH (2.6)
On résout donc numériquement le problème (2.2) afin d’obtenir une solution CH, un vecteur disposant d’une valeur par sommet I de TH(Ω).
La construction à l’échelle fine de CH,h ne demande pas de résoudre un pro-
blème supplémentaire. En effet, pour obtenir CH,h, il suffit de pondérer les fonctions
(ΦI)
1≤I≤ppar les valeurs correspondantes deCH:
CH,h(x) =
∑
1≤I≤pCH2.2. MÉTHODES DE GALERKIN DIRECTES. 33 Cette construction demande cependant une manipulation informatique des fonc- tions fines {ΦI
K} pour réaliser les opérations de sommation et de multiplication. À
cela s’ajoute un problème d’interpolation entre maillages si, pour un même ma- croélément K, les fonctions {ΦI
K} ont été résolues sur des maillages fins Th(K)
différents.
On trouvera à la Figure 2.2 (en haut) une illustration de l’ensemble des problèmes fins qu’il est nécessaire de résoudre pour utiliser cette méthode. En bleu autour du sommet I apparaissent les quatre problèmes de cellules. Pour obtenir la solution sur l’élément K (trait gras rouge), aucun problème supplémentaire n’est nécessaire.
2.2.2 Améliorations.
Depuis son introduction, la méthode d’Éléments Finis multi-échelle de Hou et Wu a fait l’objet de plusieurs améliorations. Sur le plan théorique notamment, elle a été intégrée à un cadre plus général de méthodes d’Éléments Finis multi-échelles d’ordre quelconque par les travaux de Babuška et al. [33, 32] et Matache et al. [140]. Deux sources d’erreurs ont de plus été identifiées et corrigées.
La première et plus importante, est un phénomène de couche limite. En effet, compte tenu des conditions aux limites imposées aux problèmes de cellules (2.3), on impose à la solution CH∈ VHd’être linéaire sur les frontières des macroéléments
K ∈ TH(Ω), ce que n’est pas C. Pour résoudre ce problème, une méthode de sur-
échantillonnage a été proposée dès l’article originel de Hou et Wu, même si son apport réel n’a pu être quantifié que quelques années plus tard [90].
Une autre méthode consiste à remplacer les conditions linéaires par des condi- tions oscillantes [28, 120]. Le principe est d’utiliser la solution d’un problème de cellule à la dimension d −1 comme conditions aux limites des problèmes de cellule en dimension d. Cette technique est très efficace, et on constate une disparition to- tale du phénomène de couche-limite. Elle est cependant difficile à mettre en œuvre, surtout dans un contexte 3D, puisqu’elle nécessite alors de résoudre, non pas un problème par sommet, mais un problème par arête, par face et par sommets de K.
La seconde source d’erreur est un problème de résonance de cellule, qui ap- paraît dès que K ∈ TH(Ω) n’est pas une cellule de périodicité du problème. Pour
limiter cette erreur, Hou et al. [119] ont introduit une méthode multi-échelle de Petrov-Galerkin. Dans cette méthode, l’espace des solutions Vect{(ΦI)
1≤I≤p} reste
inchangé, mais les fonctions tests vhsont choisis dans un espace d’Éléments Finis
classique.
Dans [28], Allaire et Brizzi proposent un nouveau jeu de problèmes de cellules. Sur chaque macroélément K ∈ TH(Ω), on ne résout en fait que d problèmes, où d
est la dimension du domaine. Les fonctions (ΦI)
1≤I≤p sont alors définis par com-
position d’une fonction d’Éléments Finis classique par les solutions des problèmes de cellules. De cette manière, le nombre de problèmes de cellules est indépendant de l’ordre de la méthode d’Éléments Finis multi-échelle choisie, au contraire de la méthode introduite par Hou et Wu. Plus récemment, Owhadi et Zhang [152, 153] ont utilisé une approche similaire, en utilisant cette fois-ci des problèmes correc- teurs au lieu de problèmes de cellules.
2.2.3 Extensions et applications.
Les méthodes d’Éléments Finis multi-échelles ont été étendues à d’autres pro- blèmes linéaires. Par exemple, Efendief et Wu ont présentée une analyse détaillée de la méthode des Éléments Finis multi-échelles pour un nombre d’échelles quel- conque [92]. On applique dans Hou et al. une méthode d’Éléments Finis multi- échelles à un problème de saut aux interfaces [119].
Les méthodes de simulations multi-échelles ont été appliquées à la formulation mixte du problème (2.1) par Chen et Hou [69]. Il s’agit de déterminr (q,C) solutions de :
∇·q = f dansΩ,
q = −D ∇C dans Ω. (2.8)
On construit alors une base d’Éléments Finis mixtes multi-échelles en s’ap- puyant sur les méthodes d’Éléments Finis mixtes classiques [55, 156]. On obtient alors une méthode de Galerkin directe très similaire à la méthode originale de Hou et Wu. Les différences ne tiennent, au final, qu’au choix des termes sources et des conditions aux limites des problèmes de cellule. Les Éléments Finis mixtes multi- échelles ont notamment été appliqués au transport incompressible d’un mélange eau-huile à travers un milieu poreux par Aarnes [1] et Aarnes et al. [4].
En 2008, Aarnes et al. [2] ont étendu cette formulation à un cadre plus général permettant notamment l’étude du transport diphasique en milieu poreux. Une ana- lyse mathématique rigoureuse y est décrite, prouvant la convergence de la méthode. On peut également citer l’existence d’une méthode multi-échelle de Galerkin dis- continue, qui combine les travaux de Aarnes et al. sur les Éléments Finis mixtes et ceux de Hou et Wu sur les Éléments Finis [3].
La méthode des Éléments Finis multi-échelles a été appliquée au cas général des équations elliptiques non linéaires par Efendiev et al. dans [91]. Le problème à résoudre est alors :
− ∇ · (D(x,C,∇C)) + a(x,C,∇C) = f dans Ω (2.9) La méthode semble bien s’adapter aux non-linéarités du problème, et on ob- serve les mêmes forces et faiblesses que dans la cadre linéaire. En particulier, on
2.3. MÉTHODES DE GALERKIN APPROCHÉES. 35