de la méthode. Comme dans le cadre linéaire, une méthode de sur-échantillonnage permet cependant de réduire efficacement ce phénomène.
Enfin, on peut citer les travaux de Chen [67] puis Chen et al. [68] qui, par le biais de réécritures précises du problème de Galerkin (2.2), ont grandement amélioré les estimations d’erreurs liant CH,het C, que la méthode soit conforme ou non.
2.3 Méthodes de Galerkin approchées.
On présente dans cette section les méthodes multi-échelles de Galerkin appro- chées, qui ont été introduites par E et Engquist sous le nom de Heterogeneous multiscale methods [86]. Deux composants articulent la méthode : d’une part la sélection d’un solveur macroscopique, correspondant à l’étape (Alg. 2.1 L.1), et d’autre part l’estimation des données nécessaires à ce schéma par la résolution de problèmes locaux, correspondant à l’étape (Alg. 2.1 L.2). Contrairement aux mé- thodes de Galerkin directes, le choix de la méthode macroscopique ne dépend pas des informations dont on dispose à l’échelle fine. C’est la mise en œuvre de cette méthode, c’est-à dire le calcul de termes matriciels ou de flux à l’étape (Alg. 2.1 L.2), qui fait intervenir l’échelle fine du problème.
La méthodologie multi-échelle hétérogène présentée par E et Engquist est en fait une méthodologie générale permettant de construire des algorithmes multi- échelles économes. Les échelles du problème étant séparées, on peut notamment travailler sur des modèles différents d’une échelle à l’autre.
2.3.1 Présentation de la méthode.
Dans le cadre du problème de Galerkin (2.2), la méthode proposée par E et al. dans [87] s’appuie, à l’échelle grossière, sur une méthode d’Éléments Finis d’ordre 1. On note (ΦI)
1≤I≤pla base d’Éléments Finis correspondante.
Si on s’affranchit des conditions aux limites, le problème (2.2) est défini par :
VH=Vect{(ΦI)1≤I≤p} (2.10) B(uH,vH) = Z ΩDH∇uH· ∇vH (2.11) a(vh) = Z Ωf vH (2.12)
où DH représente la valeur effective de D à l’échelle grossière. En effet, on ne
peut utiliser ici la valeur fine Dh, puisque le schéma grossier doit être indépendant
de l’échelle fine.
Afin d’assembler le schéma grossier, il est nécessaire de calculer les différents termes (B(ΦI,ΦJ))
ΦI a ΦIb ΦI c ΦId I {φ.,aI } {φ.,bI } {φ.,dI } {φ.,cI } I Ψa K ΨbK ΨcK Ψd K ΨeK ΨKf ΨgK Ψh K ΨiK ΦK˜a ΦK˜b F
FIGURE2.2 – Illustration des méthodes de Galerkin directes (en haut), de Galerkin
approchées (au milieu) et de Volumes Finis multi-échelles (en bas) sur un maillage grossier. En bleu, les problèmes fins relatifs au noeud I ou à la face F, selon la méthode. En rouge, les problèmes à résoudre a posteriori pour obtenir une solution fine sur l’élément grossier K (en rouge, trait épais).
2.3. MÉTHODES DE GALERKIN APPROCHÉES. 37 par une formule de quadrature. Soit K ∈ TH(Ω) un élément du maillage grossier
TH(Ω), de volume |K|. On note xmles points de quadratures appartenant à K et pm
les poids associés. On a alors : B(ΦI,ΦJ) =Z ΩD∇Φ I· ∇ΦJ B(ΦI,ΦJ)≈
∑
K∈TH(Ω) |K|∑
xm∈K pm(DH∇ΦI· ∇ΦJ)(xm)DHétant une quantité grossière, on ne dispose pas de sa valeur en xm. On va donc
déterminer une valeur de (DH∇ΦI· ∇ΦJ)en xmpar le biais de problèmes locaux.
Soitω(xm)⊂ K un domaine cubique centré en xm, on résout pour chaqueΦIle
problème suivant :
−∇(Dh∇φmI) = 0 surω(xm),
φI
m = ΦI sur∂ω(xm). (2.13)
Le terme (DH∇ΦI· ∇ΦJ)est alors calculé par moyenne de la quantité fine corres-
pondante : (DH∇ΦI· ∇ΦJ)(xm)≈ 1 |ω(xm)| Z ω(xm) Dh∇φmI · ∇φmJ
Une fois les termes (B(ΦI,ΦJ))
1≤I,J≤p calculés, on peut assembler et résoudre
le problème matricielle grossier, afin d’obtenir la solution grossière CH.
SoitΩh⊂ Ωµ deux sous-domaines deΩ, vérifiant dist(∂Ωh,∂Ωµ) >0. Si l’on
souhaite obtenir une valeur fine CH,h sur le domaineΩh, la méthode de E et al.
propose de résoudre :
−∇(Dh∇CH,h) = f surΩµ,
CH,h = CH sur∂Ωµ. (2.14)
On restreint ensuite la solution CH,hau seul domaine Ωh. Le problème (2.14)
n’est pas résolu directement surΩhafin de s’affranchir d’un phénomène de couche
limite.
On illustre à la Figure 2.2 (au milieu) l’ensemble des problèmes fins qu’il est nécessaire de résoudre pour utiliser cette méthode. En bleu autour du sommet I apparaissent les 4 × 4 problèmes fins utilisés pour calculer les {φI
m}, chacun sur un
domaineω(xm)distinct. Pour obtenir la solution sur l’élément K (trait gras rouge),
il est nécessaire de résoudre le problème (2.14) sur un domaine légèrement plus grand (en rouge).
2.3.2 Extensions et applications.
De nombreuses analyses théoriques ont été réalisées sur la méthode proposée par E et al. [86, 87].
Outre les éléments présentés dans l’article originel, on peut citer par exemple les travaux de Abdulle [15]. Celui-ci analyse l’influence des problèmes locaux (2.13) sur la méthode. Il présente notamment des estimations d’erreurs a priori liant la taille des domainesω(xm)et les erreurs de résolution de (2.13) à la conver-
gence de la méthode.
Ohlberger [151] propose une interprétation du problème de Galerkin appro- chée (2.10-2.12) comme la formulation variationnelle d’un problème homogénéisé limite, au sens de la convergence double-échelle [26]. Cette nouvelle formulation permet de retrouver les estimations d’erreurs a priori de E et al.et de Abdulle, mais aussi de construire des estimations d’erreurs a posteriori. Les travaux d’Ohlberger s’appuie cependant sur des hypothèses fortes de régularité, et des recherches pour déterminer des estimations d’erreurs a posteriori dans le cas général sont en cours [17].
L’influence des conditions limites imposées aux problèmes locaux (2.13) a fait l’objet de travaux par Yu et E [175]. Trois types de conditions limites sont étu- diées : les conditions de Dirichlet, les conditions de Neumann et les conditions périodiques. À partir de plusieurs simulations numériques, les auteurs concluent que les conditions périodiques sont plus efficaces. Les conditions de Dirichlet, res- pectivement de Neumann, semblent surestimer, respectivement sous-estimer, la dif- fusivité effective.
La méthode de E et al. a également fait l’objet d’adaptation afin de pouvoir traiter une plus large gamme de problèmes. Selon l’article originel de E et al., l’étude des problèmes elliptiques non linéaires ne pose pas de difficultés, :
−∇ · (D(x,C)∇C) = f dans Ω
La justification théorique et les estimations d’erreurs a priori de la méthode de- mandent cependant un travail particulier [87].
Dans [18], Abdulle et Schwab cherchent à résoudre le problème (2.1) sur un domaineΩ dont la surface comprend de fortes oscillations à l’échelle fine. Par le biais de transformations géométriques, les auteurs se ramènent à un problème sur un domaine de référence, en transférant les perturbations fines sur le terme source f . En plus de BH, il s’agit donc de construire une approximation de aHet la méthode
de Galerkin approchée est adaptée en conséquences.
On peut également citer une adaptation de la méthode au cas des problèmes d’homogénéisation paraboliques [144], et une méthode multi-échelle s’appuyant sur une méthode de Galerkin discontinue [16].