Méthodes de calcul et dimensionnement en conditions dynamiques

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Figure III.14: Modèle 3D – Schéma de calcul sur ¼ de plot (Laurent et al.2003).

En ce qui concerne les lois de comportement des matériaux, il existe un nombre

considérable de modèles pour simuler le comportement d’un sol. La plupart des auteurs

utilisent des lois comme Cam clay, Cam-clay modifié pour le sol compressible, et un

modèle élastique linéaire, plastique parfait de type Mohr-Coulomb, ou un modèle

élastoplastique avec écrouissage isotrope (CJS2) pour simuler le comportement du matelas

de transfert. Pour le géosynthétique, un comportement élastique linéaire est souvent

considéré.

Ces modèles numériques permettent de simuler les phénomènes observés

expérimentalement. Ils permettent, en particulier, de réaliser des études paramétriques. Le

changement des paramètres géométriques, les caractéristiques mécaniques des matériaux

du modèle sont très simples. Pourtant, les modèles numériques sont basés sur des

hypothèses, des lois de comportements qui ont déjà été simplifiées. Ces modèles

numériques sont, en général, évalués par comparaison avec les approches analytiques et

expérimentales. [13]

III.2.3. Méthodes de calcul et dimensionnement en conditions dynamiques

On trouvera dans Hassen (2006) une synthèse des principales méthodes de calcul et

de dimensionnement des fondations sur pieux ou renforcées par inclusions rigides décrites

précédemment, soumises à des conditions de chargements statiques ou quasi-statiques, y

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compris dans le cas de la prise en compte d’un comportement non-linéaire (de type

élastoplastique) des matériaux jusqu’à la rupture. Nous nous proposons de passer ici

rapidement en revue quelques-unes des modélisations du comportement élastodynamique

de ces ouvrages, en particulier pour ce qui concerne l’évaluation de l’impédance

dynamique de ce type de fondation.

III.2.3.1. Approche fondée sur le modèle de Winkler

Largement utilisé pour les calculs en statique de fondation sur groupes de pieux, le

modèle de Winkler est également employé pour évaluer la raideur dynamique (impédance)

de ce type d’ouvrages. Son principe repose sur une modélisation des inclusions comme des

poutres, l’action du sol étant représentée par une distribution des ressorts et d’amortisseurs

exerçant une densité efforts horizontaux q(z). Cette dernière est reliée au déplacement

correspondant Y (z) du pieu-inclusion par une relation du type de celle donne par

Mylonakis et Gazetas (1999) pour une pulsation ω :

^{( )} ( ) ( ) ^{( ) (III.19)}

Où la fonction λ (z, ω) est donnée par :

( ) * ^{( )} + ^⁄ (III.20)

Dans laquelle EI et m désignent respectivement la raideur en flexion et la masse du

pieu par unité de longueur, tandis que ( ) ( ) ( ) représente

l’impédance complexe qui tient compte de la raideur, de l’inertie et des amortissements

radiatif et matériel du sol.

Le travail le plus important dans l’utilisation du modèle de Winkler consiste à

déterminer les caractéristiques du réseau de ressorts et d’amortisseurs à introduire dans les

calculs. On trouve ainsi dans la littérature de nombreuses méthodes conçues à cet effet :

Gazetas et Dobry, 1984 ; Novak, 1974 ; Novak et Sheta, 1982 ; Pacheco, Suárez, Pando,

2008, etc. Novak (1974) par exemple donne une solution analytique permettant de

déterminer le comportement dynamique d’un seul pieu sous l’hypothèse de déformation

plane, dans laquelle le sol est schématisé comme un ensemble de couches horizontales

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infinitésimales agissant sur le pieu. Novak et Sheta (1982) ont montré que les fonctions

impédances sont affectées par l’interaction entre pieux, et avec le sol, ainsi que la

fréquence, l’espacement entre pieux, le rapport de rigidité entre le sol et les pieux. Gazetas

et Dobry (1984) ont proposé une méthode simple permettant d’estimer les caractéristiques

d’amortissement d’un pieu enfoncé dans le sol soumis à un chargement horizontal :

( ) ∫ ( ) ( ) (III.21)

Où c (z, ω) est l’amortissement distribué le long du pieu.

Le principal avantage des méthodes basées sur l’utilisation du modèle de Winkler est

la relative simplicité de mise en œuvre, la variation des propriétés de rigidité de sol avec la

profondeur z étant tout naturellement prise en compte. Le principal défaut de ce type de

modèle est qu’il ne prend nullement en compte l’interaction entre les ressorts, de sorte que

le sol n’est plus modélisé comme un milieu continu classique. [12]

III.2.3.2. Méthode des éléments finis et des éléments de frontière

Compte tenu du caractère authentiquement tridimensionnel d’un ouvrage renforcé

par inclusions rigides pour lequel il convient de prendre en compte les interfaces entre le

sol et les inclusions, la méthode des éléments finis semble la plus appropriée pour traiter le

problème du calcul élastodynamique de ce type d’ouvrage dans le cadre d’une telle

modélisation. Mais cette approche se heurte à de nombreuses difficultés liées :

- Au faible diamètre des pieux qui nécessite de mailler très finement le modèle au

niveau des pieux et à leur proximité immédiate ;

- Au nombre parfois très important d’inclusions mises en jeu conduisant à la

résolution de problèmes de très grande taille ;

- À la nécessité de modéliser les interfaces sol/inclusions ;

- Au fort contraste des propriétés des matériaux constituant le massif et l’inclusion,

qui peut engendrer des problèmes de stabilité des calculs et de risque de divergence

du résultat.

Il en résulte des temps de calcul prohibitifs, non compatibles avec la nécessité pour

l’ingénieur de disposer d’une évaluation rapide des performances de l’ouvrage.

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En raison de cette complexité, les analyses approfondies d’ouvrages renforcés par

inclusions rigides, conduites à l’aide de la méthode des éléments finis, sont donc

relativement rares. On peut citer à titre d’exemple quelques études récentes consacrées à la

simulation par éléments finis tridimensionnels de ce type de problème :

 Guoxi Wu et Liam Finn (1997) ont présenté une méthode des éléments finis quasi

tridimensionnels, dans laquelle l’équation des ondes 3D est utilisée pour décrire la

réponse dynamique du sol.

 Étude du comportement dynamique d’un groupe de pieux mis en place dans un

massif de sol compressible (Messioud et al., 2011). Une modélisation complexe de

l’ensemble sol-inclusion-remblai a été mise en œuvre par la méthode des éléments

finis à l’aide du code ASTER (Figure III.15).

Figure III.15 : Quart modèle de système sol-inclusion-remblai (Messioud et al. 2016). [13]

Afin de surmonter la complexité et la lourdeur de la méthode des éléments finis

ci-dessus, d’autres approches numériques sont proposées :

 La méthode des éléments de frontière ("boundary element method") dans laquelle

seuls les contours du sol, c’est à dire l’interface entre le sol et les inclusions d’une

part, entre le sol et le radier d’autre part, sont discrétisés (Poulos et Davis, 1980 ;

Maeso et al. 2005, etc.) ;

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 La méthode des éléments finis couplée à celle des éléments de frontière où le sol

est séparé en deux blocs : l’un contenant les inclusions modélisées par éléments

finis, l’autre entourant le premier bloc modélisé par éléments de frontière (BE

bloc). Ces deux blocs sont assemblés en utilisant la technique de Craig-Bampton

(Taherzadeh et al. (2002), Coda, Venturini, 1998 ; Padron, Aznarez, Maeso, 2006,

etc.).

C’est sur la base de l’utilisation systématique conjointe des méthodes des éléments

finis et des éléments de frontière que Taherzadeh et al. (2002) ont établi des formules

analytiques permettant d’évaluer l’impédance dynamique d’un radier de fondation

reposant sur un groupe de pieux flottants ou encastrés, soumis à des sollicitations

dynamiques latérales ou de renversement. De telles formules sont fondées sur la

construction d’un modèle général de matrice d’impédance (Figure III.16) relative au

comportement global de l’ouvrage : chacun des termes de cette matrice est alors identifié à

partir de simulations numériques. L’avantage de cette démarche est de pouvoir disposer de

formules analytiques simples, d’application directe, per- mettant d’évaluer les propriétés

dynamiques de la fondation en fonction d’un certain nombre de paramètres géométriques

et mécaniques, notamment pour des ouvrages comportant un grand nombre d’inclusions.

(a) (b)

Figure III.16: Schéma de modèle simple pour groupe de pieux (a) flottant (b) encastré

(Taherzadeh et al. 2002). [12]

III.2.3.3. Les approches par homogénéisation

Prenant en compte les difficultés évoquées précédemment concernant la mise en

œuvre d’approches numériques dans lesquelles les inclusions et le sol doivent être

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considérés comme des éléments distincts, les techniques d’homogénéisation permettent de

surmonter ces difficultés en s’intéressant au comportement macroscopique du composite

"sol renforcé". Dans le domaine du comportement dynamique de ce type de milieux, on

peut citer un certain nombre de travaux :

 Postel (1985) a caractérisé le comportement dynamique d’une fondation profonde

assimilée à un milieu composite fibré dont les rigidités des constituants sont du

même ordre de grandeur.

 Se référant particulièrement à la méthode des développements asymptotiques,

Boutin et Auriault (1993) se sont intéressés aux correcteurs d’ordres supérieurs

relatifs aux phénomènes de diffraction d’ondes dans un milieu hétérogène

périodique.

 Fish et Chen (2001, 2002), ainsi que Nagai et al. (2002) ont développé un modèle

non-local stabilisé pour la dispersion des ondes dans un milieu hétérogène

périodique en utilisant deux paramètres d’échelle d’espace et de temps. Ce modèle

a été aussi mis en œuvre par la méthode des éléments finis.

 Parnell et Abrahams (2006, 2008), ont établi l’équation d’onde homogénéisée à

basse fréquence qui gouverne la propagation d’une onde SH parallèlement et

perpendiculairement à l’axe des renforts.

 Adrioanov et al. (2008) ont étudié la dispersion des ondes élastiques de

compression dans une barre unidimensionnelle et de cisaillement transversal dans

un composite périodique à fibres circulaires (2D).

 Tout récemment Soubestre (2011), Boutin et Soubestre 2012 ont modélisé le

comportement macroscopique de milieux périodiquement renforcés par inclusions

linéaires en régime dynamique. Se référant au petit paramètre ε classiquement

introduit, différents ordres de grandeur du contraste de rigidité entre les modules de

cisaillement des deux constituants sont pris en compte. Ils ont par exemple trouvé

qu’un contraste d’ordre deux entre les rigidités génère un couplage entre le

comportement de type poutre en flexion des renforts et le com- portement élastique

de la matrice. La dynamique du système composite est alors décrite pour

différentes gammes de fréquences, passant de l’état statique aux états

quasi-statiques puis dynamiques, la limite étant atteinte à des fréquences très élevées

pour lesquelles l’absence de séparation d’échelle empêche d’utiliser la méthode

d’homogénéisation.

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Figure III.17: Milieu renforcé par inclusions linéaires. (a) Réseau de poutres droites

identiques distribué périodiquement dans une matrice. (b) Géométrie et dimensions de la

période (Soubestre, 2011). [12]

III.3. Conclusion

Ce chapitre confronte les méthodes de dimensionnement rencontrées dans la

littérature. Les méthodes de dimensionnement permettent de déterminer le transfert de la

charge vers les inclusions par effet voûte et certaines méthodes permettent également de

dimensionner la nappe de renforcement. [16]

La première partie de ce chapitre présente les différentes méthodes de

dimensionnement dans le cas statique des sols, dans la deuxième on a présenté les

méthodes de dimensionnement connues en conditions dynamique (cas d’un chargement

séismique).

En conclusion, ce chapitre met en évidence que les différentes méthodes donnent

des résultats souvent divergents, et qu’il n’existe pas de méthode simplifiée qui décrirait

toutes les configurations rencontrées dans la pratique. Il reste donc à développer une ou

plusieurs approches simplifiées et robustes, couvrant un domaine clairement défini.

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IV.1. Introduction

Le renforcement des sols compressibles par des inclusions rigides verticales est un

problème complexe qui met en jeu des phénomènes d’interaction sol-structure à différents

niveaux d’échines. Les éléments en interaction sont le sol compressible, les inclusions

rigides, le matelas de transfert de charge et une éventuelle nappe de renforcement. Ces

conditions complexes justifient l’utilisation d’une étude numérique adaptée pour prendre

en compte le comportement global de ce type d’ouvrage. Cette dernière est réalisée par un

certain nombre de méthodes d’analyse qui existent dans la technologie géotechnique. Afin

d’obtenir une solution théorique exacte ; les conditions de la compatibilité d’équilibre,

comportement matériel et états de frontières doivent tous être satisfaites tandis que toutes

les méthodes ont leurs avantages et inconvénients respectifs, seulement l’analyse

numérique complète satisfait toutes les conditions exigées et est donc capable de

rapprocher suffisamment la solution exacte à n’importe quel problème géotechnique.

IV.2. Présentation de l’étude numérique

Dans cette partie, une modélisation numérique tridimensionnelle en éléments finis du

système sol-inclusions (SIRR) surmonté par un remblai (constitué par plusieurs couches de

sol) a été étudiée avec le code Aster pour le calcul tassements et des sollicitations sous

remblai. On suppose que les inclusions sont posées sur un substratum indéformable. Des

groupes d’inclusions intégrés dans un espace semi-infini élastique sont étudiés. Le sol,

inclusions et le remblai sont modélisés par des éléments volumiques. Les conditions aux

limites horizontales sont mises en place de manière à empêcher les déplacements verticaux

et horizontaux et d’avoir un sol au repos. Les modèles ont été simulés en prenant compte

l’exécution réelle des inclusions rigides et la mise en place du remblai sur le chantier

expérimental. Le remblai a été posé sur le sol compressible en six couches suivant la

configuration du maillage.

Cette étude est présentée en deux étapes :

1. La première étape présente l’étude d’une cellule élémentaire y compris le tassement

de remblai et le taux de transfert de charge à la tête d’une inclusion rigide.

2. La deuxième étape montre l’effet de groupe des inclusions et les mécanismes de

transfert de charge de remblai sur les inclusions.

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Le nombre de paramètres caractérisant ce type d’ouvrage est très élevé. Aussi, se

basant sur une configuration réaliste, la présente étude propose, par l’utilisation d’un

modèle numérique, d’évaluer l’influence de quelques-uns des paramètres de l’ouvrage

(épaisseur du matelas granulaire, compressibilité du sol support, présence d’un dallage ou

d’un géotextile) sur son efficacité. La modélisation numérique permet une reproduction

très satisfaisante du comportement des matériaux granulaires. On peut ainsi réaliser des

tests sur de nombreuses configurations d’ouvrages. Cette approche est donc un

complément pertinent à l’expérimentation en vraie grandeur. L’objectif est ainsi de

parvenir à une meilleure compréhension des mécanismes de transferts de charges mis en

jeu dans le matelas granulaire pour, ensuite, en dégager des dispositions pratiques de

conception et de dimensionnement.

La détermination des tassements et des contraintes d’un point de l’inclusion rigide ou

du remblai sous l’effet des phases de construction des remblais nécessite, en principe, la

connaissance des propriétés mécaniques du sol par l’intermédiaire de loi de comportement.

En utilisant en plus, les équations de l’équilibre et les conditions aux limites (forme du

massif, contraintes initiales, actions extérieures) on peut obtenir directement la valeur des

sollicitations et du tassement recherchées par une simulation numérique. Il est donc

obligatoire de donner une loi de comportement approchée.

Les modules d’élasticités et le coefficient de poisson des sols compressibles, des

couches de remblai et du béton sont données dans les tableaux suivants :

IV.3. Présentation des modèles numériques

IV.3.1. Géométrie et conditions aux limites

Le volume de sol étudié a pour dimensions 36 x 36 x 20 m. Les analyses numériques

ont été effectuées sur 30 éléments rigides. Des inclusions rigides en béton armé de 10 m de

longueur sont modélisées ; le diamètre de celles-ci est de 0,38 m et conduit à des rapports

longueur/diamètre 33. Une maille rectangulaire de 2 m x 2 m a été retenue (soit un taux de

recouvrement de 2.2 %).

La couche de sol compressible a une hauteur de 10 m et est posée sur une couche

dure de hauteur 5 m (Figure IV1). En fonction de la configuration géométrique et du type

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de modèle, les inclusions traversent la couche compressible et s’arrêtent à 10 m, la figure

IV.2 représente le maillage carré dont la disposition en plan des inclusions rigides.

Figure IV.1 : Géométrie de modèle globale (plot de 30 inclusions).

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IV.4. Etude d’une cellule élémentaire

Dans cette section : une seule cellule du massif de sol renforcé a été analysée, les

calculs sont effectués sous l’effet de la mise en place des couches de remblai sans matelas

de transfert de charge.

Pour les conditions de symétrie, seul un quart de la maille élémentaire

rectangulaire de 1m×1m est représenté comme explicité sur la figure IV.3.

Afin de simplifier le problème, les couches de sol et de remblai sont supposées

horizontales dans un milieu semi-infini. La base du massif du sol est supposée rigide. Les

conditions aux limites horizontales sont mises en place de manière à empêcher les

déplacements verticaux et horizontaux et d’avoir un sol au repos.

Un quart de modèle d’une cellule élémentaire

Cellule élémentaire

Vue en plan

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Le sol compressible est constitué de deux couches possédant les caractéristiques suivantes :

H (m) E (pa) ν ρ (kg/m3) Angle de frottement

Sol compressible 01 2 2.65.10⁶ 0.3 2050 20°

Sol compressible 02 8 2.3.10⁶ 0.3 2050 20°

Tableau IV.1 : Les caractéristiques des couches compressibles.

E (pa) ν ρ (kg/m3) C (kpa) Angle de frottement

Couche de remblai 50.10⁶ 0.3 1910 17.3 36°

Substratum 100.10⁶ 0.3 2000 10 35°

Matelas 70.10⁶ 0.3 2100 61 36°

Inclusions rigides 18.10⁹ 0.2 2300 - -

Tableau IV.2 : Les caractéristiques des éléments de l’ouvrage.

Les modèles ont été simulés en prenant compte l’exécution réelle des inclusions

rigides et la mise en place du remblai sur le chantier expérimental. Le remblai a été posé

sur le sol compressible en six couches suivant la configuration du maillage. Les phases des

simulations sont décrites ci-dessous :

 Phase 1 : Initialisation de l'état de contrainte en place

 Phase 2 : Mise en place de la première couche (h = 0,35 m)

 Phase 3 : Mise en place de la deuxième couche (h = 0,20 m)

 Phase 4 : Mise en place de la troisième couche (h = 0,55 m)

 Phase 5 : Mise en place de la quatrième couche (h = 1,00 m)

 Phase 6 : Mise en place de la cinquième couche (h = 1,40 m)

 Phase 7 : Mise en place de la sixième couche (h = 1,50 m)

La première phase est l’initialisation de champ des contraintes et des déplacements,

elle est constituée de l’horizon compressible et de l’inclusion dont le mode de mise en

place n’est pas simulé. A la fin de chaque phase de calcul, on extrait le champ de

contraintes aux points de gauss et le champ de déplacements aux nœuds, les valeurs sont

ensuite introduites dans le modèle au début de la phase suivante. Dans ce cas le mode de

chargement est déterminé en fonction des caractéristiques du remblai, la masse volumique,

l’angle de frottement interne et la hauteur de chaque couche de remblai.

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 Utilisation du modèle CJS niveau 1 pour la simulation du remblai

Le modèle CJS a été développé à l’Ecole Centrale de Lyon par Cambou et Jafari (1988)

pour simuler le comportement des sols granulaires. Trois niveaux du modèle CJS ont été

intégrés dans le Code Aster. Les caractéristiques sont résumées dans le tableau suivant :

Mécanisme

élastique

Mécanisme plastique

isotrope

Mécanisme plastique

déviatoire

CJS 1 Linéaire Non activé Plasticité parfaite

CJS 2 Non linéaire activé activé Ecrouissage isotrope

CJS 3 Non linéaire activé activé Ecrouissage cinématique

Tableau IV.3 : Les caractéristiques des modèle CJS intégré dans le code aster.

Dans le Code Aster, le modèle Mohr Coulomb est remplacé par le 1er niveau du

modèle CJS avec une plasticité parfaite (CJS 1).

Le modèle CJS2 est néanmoins plus apte à reproduire un comportement réaliste des

sols. Il est composé d’une partie élastique non linéaire et deux mécanismes de plasticité. Il

représente le comportement des sols granulaires.

Le matelas et le remblai sont initialement modélisés par le modèle de comportement

CJS 1. Les paramètres du CJS peuvent être déduits à partir des paramètres du modèle Mohr

Coulomb.

( ) = (IV.1)

(IV.2)

= ^{( )} (IV.3)

β= (IV.4)

Le modèle CJS est basé sur une partie élastique non linéaire et deux mécanismes de

plasticité : un mécanisme déviatoire et un mécanisme isotrope. Il permet d’abord de

prendre en compte la non-linéarité du comportement sous faible niveau de contrainte et

l’existence de la dilatance avant d’atteindre la rupture pour les matériaux denses ou sur

consolidés, grâce à la prise en compte de l’état caractéristique.

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IV.4.1. Résultats et discussion

Le calcul des tassements a été effectué en fonction de la hauteur du remblai suivant les 7

phases à l’interface sol-remblai suivant l’axe xx’ (le côté) et l’axe yy’ (la diagonale).

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