Méthodes d’homogénéisation

L’objectif dans une méthode d’homogénéisation multi-échelle est de coupler la précision du modèle microscopique avec la précision du modèle macroscopique. Par conséquent, il est important que la méthode multi-échelle ait un coût de calcul inférieur au solveur du modèle microscopique complet. Pour cela, il est nécessaire que le modèle microscopique ne soit utilisé que de manière limitée. Ce type de méthode est dédié à l’étude de structures fortement hétérogènes telles que les structures composites. Dans la littérature, il existe plusieurs méthodes d’homogénéisation [138–141]. Parmi ces méthodes on peut citer la méthode de projection de Dirichlet hiérarchique et la méthode des éléments finis à deux niveaux. Dans cette partie, nous décrivons les points importants de ces approches et présentons quelques stratégies de calcul.

6.2.1.1. Méthode de Projection de Dirichlet Hiérarchique (MPDH)

La méthode de Projection de Dirichlet Hiérarchique (MPDH) [139,142] a été initialement proposée pour résoudre les problèmes mécaniques linéaires de structures fortement hétérogènes. L'approche est basée l’estimation de l'erreur de modélisation introduite en remplaçant le tenseur exact de matériau à l’échelle micro par celle d'un matériau homogénéisé, pour raffiner successivement par la suite les propriétés du matériau jusqu'à ce qu'une tolérance d'erreur prédéfinie soit respectée. Les champs calculés sont ensuite projetés à partir de cette solution homogénéisée sur une partition présélectionnée du domaine Ω. Cette partition, ainsi que les conditions limites de type Dirichlet prescrites sur les limites de la partition, forment un ensemble de plus petits problèmes posés sur des sous-domaines Ω_𝑖 indépendants (voir Figure I.29).

Figure I.29. Maillage macro-micro de la MPDH.

Ces problèmes à condition limite locale sont ensuite résolus dans des régions où la solution homogénéisée est considérée inexacte en utilisant la microstructure exacte couplées aux conditions limites approximatives locales adéquates. Il est important de noter que ces conditions limites locales peuvent être hautement non uniformes en raison du chargement et de la géométrie externe. La combinaison entre les deux échelles (micro, macro) permet de définir

Ω

39 une solution, a priori plus précise sur le domaine global. Le champ résultant se peut ainsi s’écrire sous la forme suivante :

  0 1 0 0 1 i i i         u u u u u u (I.20)

En rapprochant les conditions aux limites locales cela introduit des erreurs. En outre, la qualité des solutions produites par cette approche est extrêmement sensible au choix des propriétés du matériau homogénéisé utilisées dans la construction de ces conditions limites locales, [143]. Par conséquent, il est très important de déterminer un ensemble optimal ou presque optimal des propriétés homogénéisées, ce qui minimise cette erreur. Les choix optimaux des propriétés homogénéisées sont ceux qui génèrent des solutions microstructurales qui minimisent un certain potentiel élastique augmenté. Si l'erreur estimée est intolérable, la partition est modifiée, c’est-à-dire que la taille des sous-domaines est augmentée. Par conséquent, de nouveaux matériaux optimaux sont recherchés. Le résultat final de ce processus est la détermination d'une approximation relativement peu coûteuse et précise des champs microstructuraux, et la solution MPDH peut ensuite être utilisée dans une analyse structurelle ultérieure. Etant donné que les sous-problèmes sont complètement découplés l'un de l'autre, le processus de solution global est bien adapté pour le calcul parallèle, donc le temps de calcul CPU peut être réduit en conséquence.

6.2.1.2. Méthode des éléments finis à deux niveaux (FE2)

La méthode des éléments finis à deux niveaux FE2 porte sur la modélisation des dégradations dans les matériaux composites fibreux périodiques. L’approche FE2 qui a été développée dans [144,145] nécessite le calcul simultané de la réponse mécanique à deux échelles différentes, l'échelle macroscopique et l’échelle microscopique sous-jacente à chaque point d'intégration macroscopique. La méthode FE2 est construite en utilisant trois principaux ingrédients :

 le comportement mécanique à l'échelle microscopique.

 la règle de localisation qui détermine les solutions locales à l'intérieur de la cellule unitaire, pour une déformation globale donnée.

 la règle d'homogénéisation donnant le tenseur de contrainte macroscopique, connaissant l'état de contrainte micromécanique.

A chaque point de Gauss macroscopique, le modèle permet de calculer le tenseur de contrainte à l’instant t sous réserve de connaître : d’une part la déformation et la vitesse de déformation à cet instant et d’autre part l'historique mécanique depuis l’instant initial. Dans les modèles phénoménologiques classiques, l'histoire mécanique est prise en compte par l'utilisation de variables internes. Dans la FE2, l’ensemble de variables internes est construit en assemblant toutes les données microscopiques requises directement par le calcul éléments finis à l’échelle de la microstructure et non pas à l’aide d’équations choisies a priori et homogénéisées. Cela comprend toutes les grandeurs utiles requises par la procédure des éléments finis. La solution

40 sur chaque cellule élémentaire consiste à additionner la solution d’une partie macroscopique indicée M, et celle d’une partie microscopique indicée m (voir Figure I.30(a)), à qui on impose des conditions limites. Ainsi, sur une cellule élémentaire :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M m M m M m M m                  _{ }  u x x u x u u x x x x x (I.21)

Figure I.30. (a) Représentation schématique en 2D de la méthode FE2, [146], (b) exemple de la distribution de contrainte équivalente à l’échelle macro et micro, [147].

La méthode de résolution peut être décrite par deux niveaux nécessaires à l’intégration du comportement non-linéaire du problème macroscopique au sein d’un algorithme itératif de type Newton-Raphson par exemple. La Figure I.30(b) donne un exemple de la solution en termes de contraintes équivalentes à l’échelle macro et micro d’une structure composite. La méthode FE2

associe chaque point d'intégration sur l'échelle structurelle à un modèle EF de la microstructure. Parce quela microstructure elle-même contient habituellement un nombre élevé de variables d'état internes et, en même temps, le problème structurel contient un nombre élevé de points d'intégration, le coût de calcul (temps CPU et stockage) est prohibitif, en particulier pour les problèmes tridimensionnels (3D). De même que pour la MPDH, les calculs microscopiques menés sur chaque cellule étant complètement indépendants, ils peuvent être aisément parallélisables. Cette technique, certes performante, présente les mêmes limitations que la théorie de l’homogénéisation classique : elle reste pertinente uniquement lorsque les échelles sont bien séparées.

Dans cette partie, le principe de fonctionnement de la première catégorie des méthodes multi-échelles dites d’homogénéisation a été présenté. Il existe d’autres méthodes d’homogénéisation. Un état de l’art sur ces méthodes peut être trouvé dans les travaux de Kanouté et al. [148]. Il est évident qu’on sera toujours confronté à la même difficulté de séparation des échelles quand cette catégorie de méthodes multi-échelles est utilisée. Néanmoins, cette question de la

Problème EF échelle micro Echelle macro

41 séparation des échelles persiste dans le cas où l’on souhaite prendre en considération des gradients plus importants tels que ceux provoqués par la présence d’une fissure par exemple. Malgré leur indéniable utilité, les méthodes d’homogénéisation induisent des coûts de calcul prohibitifs liés au couplage entre les différentes échelles, particulièrement pour les analyses tridimensionnelles. Bien que des techniques aient été proposées pour réduire les calculs [149,150], toutes ces méthodes sont des approches "concourantes", car elles impliquent des calculs simultanés aux deux échelles.