Méthodes d’homogénéisation

Les méthodes d’homogénéisation les plus utilisées sont les techniques basées sur l’analyse d’un Volume Élémentaire Représentatif (VER) de l’échelle microscopique. Elles consistent à déterminer un comportement homogénéisé du VER à partir d’une équivalence énergétique entre les représentations microscopique et macroscopique. Pour ce faire, des hypothèses sur le champ de déplacement ou le champ de contraintes

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du VER doivent être introduites. Le retour aux propriétés locales est effectué par un opérateur de localisation de la solution macroscopique.

Malheureusement, la définition a priori d’un modèle macroscopique reste péna-lisante lorsqu’il s’agit de traiter des problèmes avec forts gradients où les champs macroscopiques peuvent varier considérablement (près des bords, des trous, des fis-sures) et lorsqu’il s’agit de traiter des problèmes non linéaires.

Dans cette section, nous rappelons les bases de la théorie de l’homogénéisation des milieux périodiques basée sur l’analyse asymptotique [Sanchez-Palencia, 1980].

Théorie d’homogénéisation périodique

Cette technique est utilisable dans les problèmes où la structure résulte de la répétition périodique d’un VER, comme dans le cas des composites. La solution à l’échelle de la microstructure est alors supposée périodique (au moins loin des bords de la structure), ce qui permet de découpler les effets en deux différentes échelles.

On restreint l’étude à la résolution d’un problème d’élasticité linéaire en petites perturbations. Le principe de base consiste à introduire deux variables pour décrire la solution (voir Fig. 4.9) : une variable lente X à l’échelle de la structure (de longueur caractéristique L), et une variable rapide y pour décrire la microstructure à l’intérieur du VER (de longueur caractéristique l). Le rapport d’échelle est noté  = _L^l  1. On peut définir la variable de périodicité Y = ^y_. La solution est alors recherchée sous la forme d’un développement asymptotique en  :

u(X, y) = ⁰u₀(X, y) + ¹u₁(X, y) + ²u₂(X, y) + · · ·

Ce développement est d’autant plus judicieux que  est petit. La résolution des équa-tions du problème nécessite la différenciation du déplacement solution, qui s’écrit :

∂ ∂x^{u(x) =} ∂ ∂X^{u(X, y) + } −1 ∂ ∂y^{u(X, y) .}

On peut alors définir les tenseurs de déformation et contraintes comme : ε(u(X, y)) = ε_x(u) + ⁻¹ε_y(u) ; div(σ(X, y)) = div_x(σ) + ⁻¹div_y(σ) .

VER X y y l L

Fig. 4.9: Coordonnées macroscopiques sur la structure et coordonnées

Stratégies de résolution multiéchelles 75

L’opérateur de Hooke est K(X, y) = K(y), puisqu’il est périodique d’un VER à l’autre. La résolution des équations locales d’équilibre et de comportement conduit ainsi à différents problèmes en puissances de  distinctes. Les méthodes d’homogénéi-sation du premier ordre permettent de déterminer les champs u₀ et u₁, en résolvant consécutivement les problèmes suivants :

Problème en u₀ (⁻²) : div_y(K ε_y(u₀)) = 0. Ce problème montre que le déplace-ment macroscopique u₀ est indépendant de y. On notera ε₀= ε_x(u₀).

Problème en u₁ (⁻¹) : div_y(K ε_y(u₁)) = −div_y(K ε₀). Ce problème consiste à déterminer un champ déplacement microscopique u₁∈ U_{Y −per} (espace des champs vérifiant les conditions de périodicité sur le bord du VER) sous le chargement ε₀ uniforme suivant :

Trouver u₁∈ U_{Y −per} tel que ∀ u^?∈ U_{Y −per} :

Z V ER T r  ε_y(u₁)K ε_y(u^?)  dΩ = − Z V ER T r  ε₀K ε_y(u^?)  dΩ

Par linéarité, on construit alors un opérateur de localisation H(y) reliant la défor-mation locale à la défordéfor-mation macroscopique :

ε_y(u₁) = H(y)ε₀ (4.7)

Problème en u₂ (⁰) : div_x(K(ε₀+ ε_y(u₁))) + div_y(K(ε_x(u₁) + ε_y(u₂))) + f

d= 0.

Seule la condition d’existence d’une solution u₂ à ce problème est exploitée :

Z V ER div_x(K(ε₀+ ε_y(u₁))) dΩ + Z V ER f_ddΩ = 0 .

Cette expression peut s’écrire, en utilisant l’Éq. (4.7) et en désignant par h · i =

1 vol(V ER)

R

V ER

· dΩ la moyenne sur le VER, comme : div_x(hK + K Hi ε₀) + hf_di = 0 .

Le comportement macroscopique est alors obtenu en moyennant sur le VER : σ^M = hK ε^mi = hK(ε₀+ ε_y(u₁))i = hK + K Hi ε₀,

ce qui permet de fermer le problème macroscopique global portant sur les inconnues (σ^M, u₀). Le comportement homogénéisé s’écrit : K^H = hK + K Hi.

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Théorie de l’homogénéisation pour les problèmes non linéaires

La théorie classique de l’homogénéisation a donné lieu à diverses extensions au cadre non linéaire. Certaines approches s’appuient sur des développements asymp-totiques de toutes les variables du problème : déformations anélastiques, paramètre d’endommagement [Fish et al., 1997], etc. D’autres stratégies dites d’analyse globale-locale furent également proposées. Elles sont basées sur une résolution de deux pro-blèmes imbriqués, un à l’échelle macroscopique, généralement résolu par la méthode éléments finis, et l’autre à l’échelle microscopique. Parmi celles-ci, on peut citer la méthode FE2 de [Feyel et Chaboche, 2000] et la Voronoï Cell Finite Element Method de [Ghosh, Lee, et Moorthy, 1995].

Ces techniques possèdent néanmoins des limitations : elles restent pertinentes lorsque les échelles sont bien séparées et les non-linéarités restent faibles. Des amé-liorations ont été proposées en couplant la méthode asymptotique numérique et la méthode FE2 [Nezamabadi et al., 2010] ou par une homogénéisation numérique d’ordre supérieur [Kouznetsova, Geers, et Brekelmans, 2002; Geers, Kouznetsova, et Brekelmans, 2010]. Dans la suite, la méthode FE2 est succinctement présentée.

La méthode FE2 est une approche éléments finis à deux niveaux qui propose de discretiser la structure macroscopique et d’associer à chaque point d’intégration une cellule de base du matériau périodique représentatif microscopique [Feyel et Chaboche, 2000]. L’idée est de rechercher la solution comme une décomposition en partie macro et partie micro. La contrainte macroscopique σ^M et la déformation ma-croscopique ε^M en un point d’intégration du maillage macroscopique sont supposées constantes sur la cellule microscopique associée à ce point.

Le principe de résolution est simple : la solution du problème macroscopique est recherchée de manière standard par un algorithme itératif non linéaire. À chaque itération, un incrément de déformation ε^M est calculé aux points de Gauss pour ensuite définir les conditions aux limites de la cellule élémentaire associée. Un pro-blème microscopique non linéaire est alors résolu de manière itérative sur chaque cellule. À convergence, ce problème microscopique permet de calculer la contrainte macroscopique σ^M= hσi ainsi que la matrice de rigidité tangente homogénéisée K^H. La connaissance de cet opérateur permet de résoudre le problème macroscopique et ainsi trouver un nouvel incrément de déformation macroscopique. La convergence est atteinte lorsque la contrainte moyenne σ^M vérifie les équations d’équilibre ma-croscopique. Notons que les calculs microscopiques sont complètement indépendants et sont donc aisément parallélisables.