Méthodes d’analyse d’un dispositif électromagnétique

         t H H t E E         (II.3)

Notant que la source des ondes électromagnétiques sont les antennes rayonnantes ; le dipôle électrique oscillant et le dipôle magnétique oscillant sont les plus petites antennes (source) émettant des ondes électromagnétiques [II.1].

II. Méthodes d’analysed’un dispositif électromagnétique

II.1. Introduction

Les équations (II.1) décrivent globalement tous les phénomènes électromagnétiques.

Mais à l’heure actuelle, on ne peut pas les résoudre directement dans la plupart des cas car

les dispositifs électromagnétiques sont généralement à géométries non canoniques et composés de plusieurs types de matériaux (conducteurs, isolants et aimantés).

Il est connu en électromagnétisme que pour certains dispositifs à géométries

particulières, s’il est possible de prévoir des solutions analytiques, ce n’est pas le cas pour

la majorité des dispositifs rencontrés en industrie. Il est donc devenu nécessaire, voire

indispensable, d’intégrer à la phase de conception et/ou de développement, des outils

numériques de calcul électromagnétique. Ces derniers servent à prédire le comportement des systèmes et des structures complexes. Ceci est encore plus vrai dans un domaine comme celui de la compatibilité électromagnétique.

II.2. Schéma global pour l’analyse d’un dispositif électromagnétique

Lors du traitement d’un problème d’électromagnétisme, la première importante

étape est sa mise en équation mathématique (modèle mathématique). Le choix du modèle mathématique est un compromis entre le problème posé (quelles grandeurs veut-on calculer et avec quelle précision) et les moyens disponibles pour y répondre. En fait, les

équations du modèle retenu sont soumises à un certain nombre d’hypothèses basées sur les sciences de l’ingénieur et il faut connaître leur domaine de validité pour pouvoir vérifier

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Si le modèle mathématique n’admet pas de solution analytique, il est alors nécessaire

de chercher une solution approchée de ce modèle. Dès lors, la discrétisation du problème

correspond au choix d’un modèle numérique permettant de traiter les équations

mathématiques. Il est important de savoir distinguer et hiérarchiser les différents niveaux

d’hypothèses utilisés pour modéliser un phénomène physique.

Les techniques numériques tentent de résoudre les équations fondamentales directement sous réserve de la limite des contraintes posées par la géométrie. De façon

générale, les différentes étapes d’analyse d’un problème physique s’organisent suivant le

processus schématisé par la figure (II.1) suivante :

Figure II.1. Processus d’analyse utilisant un modèle numérique.

Nous partons d’un problème physique. Le cadre précis de l’étude est défini par les

hypothèses simplificatrices qui permettent de déterminer le modèle mathématique approprié. La difficulté est de savoir choisir parmi les lois de la physique, celles dont les équations traduiront avec la précision voulue la réalité du problème physique. Un bon choix doit donner une réponse acceptable pour des efforts de mise en œuvre non

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En résumé, les questions essentielles auxquelles on devra répondre si on veut effectuer une analyse par un modèle numérique dans de bonnes conditions, sont les suivantes :

- Quel modèle mathématique utiliser ?

- Quel modèle numérique faut-il lui associer ?

- Quelle est l’erreur d’approximation commise ?

- Quelle est l’erreur numérique commise ?

-Peut-on améliorer le modèle numérique ?

- Faut-il changer le modèle mathématique ?

- …etc.

Toutes les méthodes d’approximation numérique ont un même objectif, remplacer un

problème mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équation matricielle) de dimension finie que l’on sait résoudre numériquement. Nous rappelons dans le paragraphe suivant les différentes méthodes principalement utilisées pour l’analyse des problèmes de

Compatibilité Electromagnétique.

II.3. Approches de calcul en électromagnétisme

Le calcul en électromagnétisme retient de plus en plus l'attention non seulement dans les domaines de recherches mais également dans les domaines industriels. Une modélisation électromagnétique implique de résoudre directement les équations de Maxwell et/ou indirectement en général.

 Approche indirecte

Dans l'approche indirecte, une théorie de circuit ou de ligne de transmission est utilisée. En effet, en régime quasi-statique, on montre qu`a partir des équations de Maxwell [II.2] que toute l’électrodynamique peut se formuler en termes d’équations courant-tension et de circuits impliquant des inductances, des capacités et des résistances, auxquels on applique les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles).

A fréquence industrielle, dans un circuit, Il n’y a pas de phénomènes de propagation d’ondes électromagnétiques. Par contre, lorsque la fréquence augmente, en présence de propagation électrique entre deux circuits reliés par un fil conducteur, on passe d’une

connexion de type fil électrique à une connexion par ligne de transmission qui est définit par deux équations aux dérivées partielles.

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Une solution analytique où numérique des équations des lignes permet de traiter un

bon nombre de problèmes de l’électromagnétisme.

 Approche directe

Les méthodes de résolution des équations de Maxwell directement ou d’une forme

équivalente (équation en champ électromagnétique déduite partir des équations de Maxwell) peuvent être classées en une méthode à base d'équations différentielles et une méthode à base d'équations intégrales [II.3].

Il existe de nombreuses méthodes électromagnétiques numériques utilisées pour le calcul des transitoires électromagnétiques, nous citons seulement cinq méthodes bien connues et souvent rencontrées en CEM :

 Finite Difference Time Domain (FDTD);  Finie Element Method (FEM);

 Transmission Line Matrix, Method (TLM);  Method of Moment (MoM);

 Partial Element Equivalent Circuit (PEEC).

Notons que les méthodes numériques sus-citées sont utilisées pour résoudre des équations aux dérivées partielles (FDTD et FEM) ou intégrales (MoM et PEEC). Aussi chacune de ces méthodes à ses avantages, ses inconvénients et son domaine de prédilection ; sachant que les avantages d’une méthode par rapport à une autre dépendent

surtout de la nature du problème à résoudre et du domaine d’application.

La résolution directe des équations de Maxwell par FDTD nécessite le maillage de

l’espace libre (air et sol) ainsi que la prise en compte du saut de conductivité et des frontières ouvertes lors des simulations, ce qui la classe parmi les méthodes les plus gourmandes en coût de calcul.

Pour la FEM en se basant sur son approche volumique, elle aura un coût de calcul, en temps et en mémoire considérable principalement à des fréquences élevées qui nécessitent un maillage 3D fin approprié.

L’inconvénient majeur de la TLM réside dans sa difficulté pour la prise en compte des

problèmes ouverts.

La principale contrainte de la méthode PEEC est que le circuit global obtenu devient lourd pour des géométries complexes et doit être analysé à l’aide d’un simulateur bien

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