II.4 L’assimilation de données
II.4.2 Méthodes d’assimilation de données
Il existe plusieurs méthodes d’assimilation de données, qui diffèrent en terme d’approche, de complexité ou de coût. Dans cette section, nous allons décrire quelques techniques parmi les plus utilisées en prévision numérique du temps.
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II.4.2.1 Best Linear Unbiased Estimator (BLUE)
Le BLUE, ou le meilleur estimateur linéaire non-biaisé est une méthode d’interpolation statistique aux moindres carrés et représente la base de la plupart des méthodes d’analyse en météorologie. C’est une forme de régression linéaire dans laquelle on apporte une correction linéaire à l’état du modèle à partir des observations. La méthode du BLUE se base sur les deux équations II.2 et II.3 suivantes :
L’analyse xa à l’instant t s’écrit [Ide et al., 1997] :
xa(t) = xb(t) + Kd (II.2)
où d = yo − H[xb(t)] est le vecteur innovation, xa est l’analyse, xb est l’ébauche, yo est l’observation, H est l’opérateur d’observation et K est la matrice de gain.
La matrice de gain K s’écrit sous la forme :
K = BHT(HBHT+ R)−1 (II.3)
où B est la matrice de covariances d’erreurs d’ébauche, H est l’opérateur d’observation li-néarisé et R est la matrice de covariances d’erreurs d’observation.
Pour que l’analyse soit optimale, différentes hypothèses doivent être vérifiées. D’abord, le BLUE suppose que les erreurs d’ébauche (xb− xt) et les erreurs d’observation (yo− H(xt)), où xt est la réalité, ont des moyennes nulles. L’analyse BLUE suppose également que les erreurs d’ébauche et d’observation ne sont pas corrélées entre elles. Les variations de l’opéra-teur d’observation au voisinage de l’ébauche sont supposées linéaires. Finalement, l’analyse BLUE suppose une connaissance a priori des matrices de covariances d’erreurs d’ébauche et d’observation.
Outre sa forme matricielle, la méthode BLUE admet une écriture d’optimisation variation-nelle sous la forme :
J (x) = Jb(x) + Jo(x) = 1 2[x − x b ]TB−1[x − xb] +1 2[y − H(x)] TR−1[y − H(x)] (II.4)
où J est la fonction coût de l’analyse, Jb est son terme d’ébauche et Jo est son terme d’observation. L’équation II.4 est équivalente à l’équation II.2 avec J ’(xa) = 0. La différence entre les deux formes, matricielle et variationnelle, réside dans le cas d’une grande dimension du système où le calcul explicite de la matrice gain K devient compliqué.
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II.4.2.2 L’Interpolation Optimale (OI)
L’Interpolation Optimale [Lorenc, 1986] est une application simplifiée de l’analyse sta-tistique aux moindres carrés (BLUE). Elle se base sur le principe de blocs. En effet, l’In-terpolation Optimale suppose que pour chaque variable un nombre restreint d’observations est suffisant pour le calcul de l’incrément d’analyse. Ainsi, l’espace du modèle est découpé en blocs, et à chaque bloc est associée une sélection d’un nombre limité d’observations à assimiler comme décrit sur la figure II.9. Il est alors nécessaire de définir les paramètres de sélection des observations afin de dimensionner les blocs d’observations à assimiler en chaque point de grille.
Figure II.9 – La sélection d’observation pour l’Interpolation Optimale (CERFACS)
L’approche de l’Interpolation Optimale est de calculer la matrice de gain K (II.3) par blocs d’observations. Ainsi, la quantité d’observations sélectionnée dimensionne la matrice de gain à calculer.
L’intérêt de la méthode d’Interpolation Optimale réside en son efficacité lorsqu’un nombre limité d’observations est disponible vu son faible coût de calcul. Cette méthode présente éga-lement des limitations. Par exemple, les analyses des différents blocs d’observations sont réalisées indépendamment les unes des autres. D’autre part, plus la dimension de la ma-trice gain est grande, plus il est complexe de la calculer et ainsi de réaliser l’analyse. Cette limitation favorise le choix de la forme variationnelle de l’équation d’analyse du BLUE (II.4).
II.4.2.3 L’assimilation variationnelle 3D-Var
Dans des problèmes d’analyses complexes, où il devient difficile voire impossible de calculer la matrice de gain K, l’objectif est de se rapprocher de la solution sans avoir à la calculer
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tement. Ainsi, l’analyse devient une approximation de cette solution. La forme variationnelle (II.4) de la méthode BLUE représente une alternative efficace. La méthode d’assimilation variationnelle 3D-Var se base alors sur cette approche qui procède à la minimisation d’une fonction coût J (II.4).
Par ailleurs, le problème de minimisation étant très complexe, une approche de résolution par la méthode du gradient est favorisée. Ce problème se réduit alors en l’annulation du gradient de la fonction coût :
∇J(x) = B−1(x − xb) − HTR−1(y − H(x)) (II.5)
Figure II.10 – La minimisation de la fonction coût dans le système d’assimilation de données 3D-Var (Bouttier, F. Support de cours d’assimilation de données - 2004)
L’assimilation 3D-Var se base sur le principe qu’il existe un nombre fini d’itérations suf-fisantes à la minimisation de la fonction coût J (x). Ainsi, deux contraintes peuvent être appliquées comme critères d’arrêt de la minimisation, à savoir un taux minimum de diminu-tion du gradient ou bien un nombre maximum d’itéradiminu-tions.
Pour les problèmes linéaires, l’assimilation de données 3D-Var et l’Interpolation Opti-male permettent de converger vers des analyses équivalentes. Toutefois, dans des problèmes complexes, la méthode d’assimilation variationnelle 3D-Var permet d’éviter la condition de linéarité de l’opérateur d’observation ainsi que la nécessité de la sélection d’observations.
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Au cours d’une assimilation variationnelle tridimensionnelle ou une interpolation opti-male, les observations acquises dans une fenêtre d’assimilation sont considérées comme va-lides au même instant. Toutefois, d’autres méthodes comme l’analyse variationnelle quadri-dimensionnelle tiennent compte du temps de l’observation.
II.4.2.4 L’assimilation variationnelle 4D-Var
Si l’assimilation de données 3D-Var ne tient pas compte explicitement du temps, l’assimi-lation 4D-Var est une formul’assimi-lation de la méthode variationnelle en ajoutant la dépendance à la composante temporelle. L’équation (II.4) devient alors :
J [x(t0)] = 1 2[x(t0) − x b(t0)]TB−10 [x(t0) − xb(t0)] + 1 2 n X i=0 [yi− yo i]TRi−1[yi− yo i] (II.6) où i est l’indice temps se trouvant dans l’intervalle temporel d’assimilation, yo
i est l’obser-vation à l’instant i et yi est l’observation estimée à partir du modèle à l’instant i.
L’assimilation de données 4D-Var vise à trouver l’état initial qui donne la trajectoire la plus proche des observations et de l’ébauche. Contrairement à l’assimilation variationnelle 3D-Var, les observations sont considérées à leur instant de mesure. La figure II.11 schématise le fonctionnement d’un système d’assimilation 4D-Var.
Figure II.11 – Le système d’assimilation de données 4D-Var sur une fenêtre d’assimilation de 12 h (CEPMMT)
-Comme décrit dans la figure II.11, l’assimilation variationnelle 4D-Var permet de calculer une trajectoire représentant la prévision analysée, contrairement à l’assimilation 3D-Var qui
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permet de calculer un état analysé ponctuel comme décrit sur la figure II.8.