Méthodes approchées

Les méthodes approchées constituent une alternative très intéressante pour traiter les problèmes d’optimisation de grande taille si l’optimalité n’est pas primordiale. En effet, elles permettent d’obtenir des solutions de qualité intéressante en un temps de calcul ré-duit. Ces méthodes sont utilisées depuis longtemps par de nombreux chercheurs et dans différents domaines. Elles peuvent être classées en deux types, heuristiques et métaheuris-tiques. Les métaheuristiques sont encore plus générales que les heuristiques et s’adaptent à plusieurs problèmes d’optimisation. Dans le cadre de cette thèse, l’adaptation d’une mé-taheuristique s’avère primordiale pour proposer des solutions pratiques pour les problèmes de planification des soins à domicile. Parmi les méthodes approchées, on distingue trois grandes familles qui peuvent se combiner : les méthodes constructives (algorithme glouton, algorithme de listes, algorithme de colonies de fourmis), les méthodes à base de voisinages (recherche tabou, Variable Neighbourhood Search (VNS)) qui ont tendance à intensifier la recherche en exploitant une partie de l’espace de recherche et les méthodes à base de pop-ulation (algorithmes génétiques, essaims particulaires) ont plutôt tendance à la diversifier en explorant différentes parties de l’espace de recherche.

2.3. Méthodes de résolution 39 2.3.2.1 Les recherches locales

L’espace de recherche associé à un problème d’optimisation combinatoire est souvent non énumérable en un temps raisonnable. On essaie donc de relier certaines solutions entre elles. Ainsi, à partir d’une solution courante, un opérateur de voisinage est appliqué qui permet de définir un ensemble de solutions proches de la solution de départ initiale. Il est nécessaire de définir une relation de voisinage qui est une application qui associe à toute solution de l’espace de recherche un voisinage i.e. un ensemble de solutions (ne la contenant pas elle-même) appelées voisins. Les recherches locales sont des méthodes fondées sur une relation de voisinage et sur une procédure exploitant ce voisinage. L’algorithme s’arrête lorsqu’aucune solution améliorante n’est trouvée dans le voisinage. Les recherches locales se différencient par la procédure d’exploitation du voisinage, le voisinage pouvant être considéré comme un paramètre de celle-ci.

Les métaheuristiques représentent une classe de méthodes algorithmiques permettant de résoudre ou d’approcher la meilleure solution d’un problème d’optimisation combinatoire.

Or pour résoudre un problème d’optimisation combinatoire trois questions se posent : 1. Comment doit-on le modéliser ? (fonction objectif, relation de voisinage,

représenta-tion des solureprésenta-tions, contraintes du problème...)

2. Quelle métaheuristique est la plus favorable ? (méthode à base de population de solution, recherche locale et exploration du voisinage,...)

3. Quel est le paramétrage optimal ?

Pour répondre à ce genre de questions, il est possible de définir puis analyser une structure, appelée paysage, associée au problème d’optimisation à résoudre. La notion du paysage (ou paysage de fitness) consiste à représenter des individus par rapport à leur fitness et donner une structure géométrique au problème, ceci pour essayer de comprendre les dérives de l’évolution. Cette notion fut ensuite transposée à de nombreux domaines comme celui de l’optimisation combinatoire. Le paysage d’un problème d’optimisation combinatoire est défini par un triplet (Ω, f, V)tel que :

– Ω est l’ensemble des solutions réalisables (espace de recherche).

– f : Ω→R est une fonction objectif qui mesure la qualité des solutions réalisables.

– V : Ω→2^Ω est une relation de voisinage, une application qui associe à toute solution s de l’espace de recherche un ensembleV(s)de solutions réalisables, appelées voisins.

La recherche locale peut être défini dans l’algorithme 2.

La définition du paysage permet de définir une structure géométrique basée sur deux composantes à un problème d’optimisation : une relation de voisinage et une fonction ob-jectif. Dans le cadre d’une métaheuristique, la fonction objectif permet de faire des choix entre les solutions rencontrées et la relation de voisinage est considéré comme un élément important d’une recherche locale. Cette méthode représente la base de notre

métaheuris-Algorithme 2 : Algorithme d’une recherche locale

1: choisir une solution intiale s∈S

2: repeat

3: choisir s⁰ ∈V(s)

4: s →s⁰

5: until critère d’arrêt non verifiié

tique (recherche tabou) introduite dans la section 2.3.2.2 et développée plus tard dans la section3.3.4 du chapitre 3.

Par exemple, la figure 2.1 illustre deux paysages différenciés par leur relation de voisi-nage et pour un même problème d’optimisation. La figure montre deux graphiques de deux situations pour une recherche locale (ici, le Hill Climbing²) partant de trois solutions (en bleu). Dans le premier, alors qu’une solution première solution (à droite) trouve bien l’op-timum global (en rouge), les deux autres sont piégées par des optima locaux (en vert).

Ces solutions représentées dans le deuxième graphique (avec une relation de voisinage différente) conduisent alors à l’optimum global du problème d’optimisation. (Les flèches pleines correspondent à une application de l’opérateur contrairement à celles qui sont en pointillées).

2.3.2.2 Recherche tabou

La recherche tabou (en anglais "Tabu Search" (TS)) a été introduite par Glover [Glover & Laguna 1997] comme une nouvelle stratégie pour échapper aux optima locaux en utilisant une notion de mémoire. C’est une métaheuristique itérative qualifiée de recherche locale au sens large. Le principe est d’explorer un voisinage qui permet de se déplacer de la solution courante vers son meilleur voisin (celui-ci n’ayant pas forcément une qualité meilleure que la solution courante). Afin d’éviter de boucler entre un optimum local et son meilleur voisin, la méthode interdit de se déplacer vers une solution récemment visitée. Une liste tabou est donc tenue à jour contenant les attributs des dernières solutions visitées.

Chaque nouvelle solution considérée enlève de cette liste la solution la plus anciennement visitée. Ainsi, la recherche de la solution courante suivante se fait dans le voisinage de la solution courante sans considérer les solutions appartenant à la liste tabou. Néanmoins, la taille de cette liste est un paramètre de la méthode qui s’avère difficile à régler. De même, la méthode tabou nécessite de définir un critère d’arrêt.

Cette méthode peut est considérée parmi les meilleures approches de résolution pour

2. Une technique d’optimisation mathématique qui appartient à la famille de la recherche locale. C’est un algorithme itératif qui commence par une solution arbitraire à un problème, puis tente de trouver une meilleure solution en changeant de manière incrémentielle un seul élément de la solution. Si le changement produit une meilleure solution, un changement progressif est fait à la nouvelle solution, répéter jusqu’à ce qu’aucune amélioration ne puisse être trouvée.