On peut court-circuiter la méthode indiquée ci-dessus par une astuce géométrique (l’existence de relevés acycliques) et un peu d’algèbre homologique pour démontrer le résultat suivant.
Théorème 6.19. Soit F un corps de nombres quadratique imaginaire, n1 6= n2 et VZ =
Symn1O2
F ⊗ Symn2O
2
F. Soit Γn une suite de sous-groupes de congruence principaux ou de type Γ1 deux à deux distincts. Il existe une suite de sous-groupes Γ0n⊂ Γnd’indice 2 telle que l’on ait
lim inf n→∞ log |H1(Γ0n; VZ)tors| vol(Γ0n\H3) ≥ − 1 2t (2)(V n1,n2). (6.26) 6.5.1 Relèvements acycliques
Soit M une 3-variété hyperbolique complète de volume fini (orientée), on fixe une monodro- mie π1(M ) → PSL2(C). On dit qu’un réseau Γ ⊂ SL2(C) est un relevé de π1(M ) à SL2(C) s’il se projette bijectivement sur π1(M ) sous l’applcation SL2(C) → PSL2(C). Un résultat classique
(voir par exemple [Cul86, Corollary 2.3] affirme qu’un tel relevé existe toujours, et on a en fait le résultat suivant (cf. [MP11, Proposition 2.7]).
Lemme 6.20. L’ensemble des relevés de π1(M ) ⊂ PSL2(C) à SL2(C) est en bijection avec
Hom(π1(M ), Z/2) = H1(M ; Z/2). De plus il existe un tel relevé Γ qui vérifie Γ ∩ P 6⊂ N pour
6.5. Une autre méthode 165
Démonstration. On fixe un relevé Γ de π1(M ) à SL2(C) et on identifie le préimage totale Γ de π1(M ) dans G = SL2(C) avec Γ ⊕ Z/2. Pour α ∈ Hom(π1(M ), Z/2) = Hom(Γ, Z/2) le
sous-groupe
Γα= {(γ, α(γ)), γ ∈ Γ} ⊂ Γ
est alors un relevé de π1(M ). Réciproquement, si Γ0⊂ G est un relevé de π1(M ) on peut définir un morphisme α : π1(M ) → Z/2 par γ 7→ où (γ, ) ∈ Γ est l’unique préimage de γ dans Γ0 et
on a alors Γ0 = Γα, ce qui prouve que l’application α 7→ Γα est une bijection.
La seconde partie du lemme est beaucoup plus profonde : c’est une conséquence du théo- rème de chirurgie de Dehn hyperbolique de Thurston et de l’interprétation des relevés comme structures de spin sur M : on refère à [MP11, Proposition 2.7] pour la preuve complète.
On fixe un relevé Γ de π1(M ) qui vérifie ΓP 6⊂ N pour tous les paraboliques Γ-rationnels. On a alors une repreésentation linéaire π1(M ) ∼= Γ ⊂ G → SL(V ) et on note VΓ le système de
coefficients sur M associé. Noter que si α ∈ H1(Γ; Z/2) et Cα est la représentation de dimension 1 de Γ associée on a un isomorphisme π1(M )-équivariant VΓα → Cα ⊗ VΓ. Notre but est de démontrer le résultat suivant, qui justifie l’appellation “relevé acyclique” pour Γ.
Proposition 6.21. On fixe M, Γ comme ci-dessus et V = Vn1,n2 avec n1 − n2 impair. Alors
l’homologie H∗(M ; VΓ) est nulle.
Démonstration. Comme on est dans le cas fortement acyclique il suffit de montrer que H∗(T ; V ) =
0 pour toute composante T de ∂M . Pour H0c’est trivial vu que si tr(η) = −1 on a im(ρ(η)−1) =
V . Par dualité il suit que l’on a aussi H2 = 0, et comme la caractéristique de Poincaré de T est
nulle il suit que H1 = 0.
6.5.2 Preuve du théorème 6.19
Par le lemme 6.20 et la proposition 6.21 on obtient que pour tout n il existe un αn ∈ Hom(Γn, Z/2) tel que H∗(Γn; αn⊗ V ) = 0. On peut par ailleurs appliquer les théorèmes 4.14 et 6.5 à la suite de sous-groupes Γn,αn et comme il n’y a pas d’autre terme que la torsion dans la
définition (6.8) on obtient : lim n→∞ 1 vol Mnlog |H 1(Mn; αn⊗ VZ)tors| |H0(Mn; αn⊗ VZ)tors| = −t(2)(V ). (6.27) Le théorème 6.19 est alors une conséquence immédiate de (6.27), du lemme 6.11 et du résultat suivant.
Lemme 6.22. Soit Γ0n= ker αn, on a
log |H0(Γn; VZ⊗ αn)tors|, log |H0(Γ0n; VZ) = o(vol Mn), (6.28) log |H1(Γ0n, VZ)tors| ≥ log |H1(Γn, αn⊗ VZ)tors| + o(vol Mn). (6.29)
Démonstration. Les asymptotiques (6.28) sont prouvées exactement comme dans le lemme 6.11
ci-dessus.
Par ailleurs, la restriction de αn⊗ VZ au sous-groupe Γ0n est isomorphe à celle de VZ et la suite spectrale de Hochschild-Serre permet alors d’obtenir la suite exacte suivante :
H2(Γn; VZ0) → H2(Γn/Γ0n; H0(Γ0n; VZ)) → H1(Γ 0 n; VZ)Γn/Γ0n → → H1(Γn; αn⊗ VZ) → H1(Γn/Γ 0 n; H0(Γ0n; VZ)) → 0
(cf. [Bro82, Corollary 6.4 in Chapter VII]) ; on rappelle que pour un groupe H et un H-module
M on désigne par MH le quotient M/(H − 1)M . Vu que Γn/Γ0n∼= Z/2 on en tire :
A ⊗ Z/2 → H1(Γ0n; VZ)Γn/Γ0n → H1(Γn; αn⊗ VZ) → B ⊗ Z/2 → 0
où A, B sont des quotients de H0(Γ0n; VZ) de sorte que (6.28) implique que l’on a |(H1(Γ0n; VZ)Γn/Γ0
n)tors| = (1 + o(vol Mn))|H1(Γn; αn⊗ VZ)tors| (6.30)
Il reste à voir que la torsion du terme de gauche n’est pas beaucoup plus grande que celle de
H1(Γ0n; VZ), et pour ceci on doit montrer que la partie libre de ce dernier ne s’y envoie pas sur des
classes de torsion d’ordre trop grand. On note π la projection de H1(Γ0n; VZ) sur H1(Γ0n; VZ)Γn/Γ0
n
et σ l’élément non-trivial de Γn/Γ0n; pour tout v ∈ H1(Γ0n; VZ) on a 2v = (v + σ.v) + (v − σ.v),
d’où suit 4π(v) = 2π(v + σ.v) vu que π(v − σ.v) est de la 2-torsion. Comme π est injective sur l’image de l’application v 7→ v + σ.v on obtient
|(H1(Γ0n; VZ)Γn/Γ0
n)tors| ≤ 2
b1(Γ0n;VC)|H
1(Γ0n; VZ)tors|
Annexe A
Sous-groupes aléatoires invariants
des groupes de Lie simples
Le but de cet appendice est de donner une idée de la démonstration du théorème 4.1 et de décrire quelques constructions pour les groupes SO(n, 1).
A.1
Convergence de Benjamini-Schramm et sous-groupes aléa-
toires invariants
Si G est un groupe topologique localement compact l’ensemble SubGdes sous-groupes fermés est muni d’une topologie naturelle appelée topologie de Chabauty. Une base d’ouverts est formée par les
{H ∈ SubG, H ∩ K = ∅} et {H ∈ SubG, H ∩ U 6= ∅}
où K (resp. U ) parcourt les compacts (resp. ouverts) de G. L’espace SubG est alors un espace métrisable compact sur lequel G agit continûment par H 7→ gHg−1. Un sous-groupe aléatoire de G est une mesure de probabilité Borélienne sur SubG et il est dit invariant si G préserve cette mesure. On abréviera sous-groupe aléatoire invariant en SAI dans la suite. Pour les propriétés de base des SAI on renvoie à [ABB+, Section 2].
Si H ∈ SubG on a une application naturelle et G-équivariante v
G/H → SubG, gH 7→ gHg−1.
Si H = Γ est un réseau de G cette application permet de définir un SAI µΓ de G en poussant en avant la mesure de probabilité G-invariante sur G/Γ. Si G est un groupe de Lie simple le résultat suivant est un corollaire de la preuve de Furstenberg du théorème de densité de Borel, cf. [ABB+, Theorem 2.3].
Proposition A.1. Si G est un groupe de Lie simple alors les SAI de G qui ne sont pas la masse
de Dirac en G ou {1G} sont supportés sur les sous-groupes discrets et Zariski-denses.
On va maintenant définir rigoureusement la convergence de Benjamini-Schramm dans le cas général. Soit S l’ensemble des variétés Riemanniennes complètes localement isométiques à
S = G/K, i.e. l’ensemble des quotients de S par des sous-groupes discrets sans torsion de G.
Soit encore
qui est un espace métrique localement compact quand on le munit de la topologie de Gromov- Hausdorff pointée (on pointe une boule en son centre). Si µ est une mesure sur SubG supportée sur les sous-groupes discrets on définit une mesure mR(µ) sur XR par :
mR(µ)(A) = µ{Γ ∈ SubG, BΓ\S(K, R) ∈ A}.
On dit qu’une suite Mn = Γn\S de quotients de volume fini de S BS-converge si la mesure
mR(µΓn) a une limite faible. On a alors le résultat suivant (cf. [ABB
+, Lemma 3.6]), qui montre
en particulier que la limite d’une suite BS-convergente peut être interprétée comme un SAI.
Proposition A.2. Soit Γnune suite de réseaux de G et µ un SAI de G. Alors la suite de mesures
µΓ converge faiblement vers µ si et seulement si pour tout R > 0 la suite Γn\S BS-converge vers
mR(µ).
On a défini plus haut la “BS-convergence vers S” (cf. (4.1)), dans le cadre des IRS elle s’interprète donc comme suit.
Corollaire A.3. La suite Γn\S BS-converge vers S si et seulement si µΓn converge faiblement
vers la masse de Dirac en {1G}.