Méthode d’optimisation

Lorsque les modèles des différents indicateurs de qualité du malt sont établis, un outil d'optimisation est nécessaire pour déterminer les conditions opératoires qui conduisent simultanément à une humidité fin de trempe HFT faible (37-38%) et à une qualité acceptable du malt.

L'outil d'optimisation utilisé dans cette étude est un algorithme génético-évolutionnaire. Il est appelé ainsi car il met en œuvre les techniques issues à la fois des algorithmes génétiques (croisement des individus par des opérateurs "entier") et des algorithmes évolutionnaires (croisement des individus par des opérateurs "réels"). Les principales caractéristiques de cet algorithme sont présentées dans cette section.

1.1.2.1. L’algorithme génético-évolutionnaire

Il s’agit d’affecter l’évolution d’une population d’individus divers (généralement tirée

aléatoirement au départ) à laquelle on applique différents opérateurs (recombinaisons, mutations…) et que l’on soumet à une sélection, à chaque génération. Si la sélection s’opère à partir de la fonction d’adaptation, alors la population tend à s’améliorer (Bäck, 1996) la Figure 19 montre un simple schéma avec les étapes essentielles pour l’évaluation d’un algorithme génétique en général

Un tel algorithme ne nécessite aucune connaissance du problème : on peut représenter celui-ci par une boîte noire comportant des entrées (les variables) et des sorties (les fonctions objectif). L’algorithme ne fait que manipuler les entrées, lire les sorties, manipuler à nouveau les entrées de façon à améliorer les sorties, etc. (Whitley, 1993).

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Figure 19 Schéma montrant les étapes d’évaluation d’un algorithme génétique

L’atout principal de ces algorithmes est leur capacité à travailler directement sur les fonctions sans nécessité de dérivation compliquée. C’est un processus itératif d’optimisation qui manipule une population d’individus plutôt qu’un point (Massebeuf, 2000). Leur évaluation se fait à partir de la connaissance du milieu.

1.1.2.2. Principe général

Pour une fonction multi variable, les variables sont représentées par vecteur désigné par son code génétique (chromosome(s)). Il existe des algorithmes haploïdes et d’algorithmes diploïdes. Ils se distinguent par leur codage et par leurs propriétés de convergence (temps de calcul et efficacité à trouver des optima globaux) (Fonteix et al, 1995)

algorithme haploïde : chaque individu y représenté par un seul chromosome qui correspond exactement à son phénotype. La formule utilisée pour faire un croisement entre deux individus haploïdes est X =

α

α

algorithme diploïde : on a besoin de trois vecteurs pour codés les individus diploïdes deux chromosomes chacun entre eux a tous les paramètres à optimiser un vecteur de dominance qui est responsable de déterminer pour chaque gène quelle version va s’exprimer.

Population initiale

Évaluation des individus

Sélection de croisement mutation

Viabilité des enfants

Nouvelle population

97 1.1.2.3. Initialiser la population

La population initiale correspond à l’ensemble des individus sélectionnés au lancement de l’algorithme. Et le taille de cette population effectue les performances et l’efficacité de l’A.G. Selon (Viennet ,1997) Dans l’algorithme utilisé, la population initiale est définie aléatoirement. Plusieurs études ont montrés l’influence de la composition de la population initiale sur la vitesse de convergence et la capacité à éviter les optimums locaux à l’optimum global (Bicking ,1994).

1.1.2.4. Evaluation de la population

C’est l’étape où les fonctions à optimiser sont évaluées pour chacun des individus d’une génération. Les valeurs obtenues permettent d’évaluer les individus les uns par rapport aux autres afin de les classer des meilleurs aux plus mauvais. Si un enfant est moins bon que le plus mauvais des parents de la génération précédente, il n’est pas conservé : c’est la mortalité infantile.

1.1.2.5. Génération des nouveaux individus

Il se trouve deux moyens principaux pour créer de nouveaux individus : d’un côté Le croisement qui est le moyen principal et privilégié pour générer un nouvel individu, permet d’élargir la population. Il s'effectue en choisissant aléatoirement deux parents de la population et donnent naissance à un nouvel individu (enfant).

Il existe 3 méthodes de génération de nouveaux individus : le croisement hétérozygotes, le croisement homozygotes et la mutation.

Dans le croisement hétérozygote, chaque parent donne aléatoirement la composition d’un de ses deux chromosomes à l’enfant. Selon les dominances des allèles, le vecteur de dominance de l’enfant suit les règles du Tableau 6.

Dans le croisement homozygote, les deux chromosomes du génotype des nouveaux enfants sont identiques. Le phénotype est calculé sur un principe identique au croisement de l’individu haploïde. Il est bon pour étendre les caractéristiques des meilleurs parents. Le croisement homozygote reste le meilleur pour une diversité plus grande.

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Tableau 6 le choix des dominances lors de la génération d’un nouvel individu

La mutation est une autre méthode pour donner des nouveaux individus où les chromosomes et la dominance sont faits aléatoirement. Elle aide à élargir le domaine de recherche et à créer de diversité dans la population.

Dans tous les cas, les nouveaux individus sont soumis à un test de viabilité, les enfants qui ne sont pas meilleurs que le dernier parent de la population initiale est éliminé. Les nouveaux individus viables sont ajoutés à la population pour atteindre sa taille initiale.

1.1.2.6. Critère d’arrêt

L’algorithme lancé ne peut pas arrêter tout seul, il a besoin d’un critère d’arrêt capable de l’arrêter quand il est arrivé à construire une population répondant aux attentes. Pour cela, une valeur très petite (précision) est définie. Elle constitue un critère d’arrêt qui est utilisé quand la reconstruction de la population est terminée. Si la différence de performance entre le meilleur et lepire individu ??? est inférieure à cette précision, l'algorithme s'arrête.

L’algorithme génétique présenté constitue la base de la recherche de solutions optimales parmi une population d’individus. Cet algorithme, conçu pour trouver une solution optimale: le premier individu de la population.

L’algorithme génétique utilisé dans ce projet (AG, LSGC. Hariri ,2003) a une caractéristique spéciale qui a été ajoutée pour adapter la convergence de cet algorithme vers un domaine de solution plutôt que vers une seule solution.

Un exemple du modèle HFT / OH a été choisi pour expliquer comment on a fait pour adapter la fonction objectif pour une optimisation par domaine

On définit une fonction objective classique permettant d'atteindre une spécification donnée :

¤ f = ;¤¥ f − ¦§. ¨ 5 ₍₂₅₎

F(X) représente la différence entre le taux de humidité calculé et celui ciblé. Cette fonction conduit à un seul optimum. L’algorithme cherche les conditions opératoires qui donne une valeur optimale de (HFT = 37.5) Dominant Domninace aléatoire Dominance de l'allèle du chromosome 2 Dominance de l'allèle du chromosome 1 Fonction du meilleur parent

Dominant

Domainance de l'allèle sélectionné pour le parent 2

Récessif

Domainance de l'allèle sélectionné pour le parent 1

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Dans la Figure 20 la courbe en pointillé illustre l'allure de la fonction d’optimisation F(x).On choisit ensuite une précision ε qui décrit l'écart toléré sur la valeur à atteindre. La fonction objective utilisée par l'algorithme est alors définie comme suit :

Pour le modèle utilisé dans cet exemple, on utilise ε =(0.5)² c'est-à-dire les valeurs acceptables de l’humidité fin de trempe sont (37.5 ±0.5) La courbe en trait continu illustre l'allure de la fonction J(x). Elle montre que toutes les valeurs de HFT entre (37-38) correspondent à une même valeur nulle de J(x) et sont acceptables.

Si © t = ª©« t − 37.5 \ ≤ #

Alors J(x) = 0

Sinon J(x)=F(x)- ε (26)

Figure 20 Fonction objectif pour l'optimisation par domaine

Ce travail est refait pour toutes les autres mesures, chacune avec sa valeur ciblée et sa précision ε propre. On peut résumer le procédé de modélisation et le procédé d’optimisation par un schéma dans la Figure 21

J(x) x x x x 0 ε 37<= HFT < = 38 F(x) = (HFT(x) – 37.5)2

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Figure 21 Optimisation du maltage en utilisant l'algorithme génétique La valeur attendue

L’ensemble des outils d’optimisation ont été programmées sous Matlab (release 13) et les calculs sont réalisés sur un PC (Pentium IV, 2,8 GHz, 1 Go Ram)